等差数列与等比数列 高中数学竞赛

1、等差数列与等比数列基础知识 1数列的概念 定义1. 按照某一法则，给定了第1个数，第2个数，对于正整数有一个确定的数，于是得到一列有次序的数我们称它为数列，用符号表示。数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。 定义2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。 定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即，这样的数列称为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即，这样的数列称为递减数列。 定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某

2、一个正数，即，其中是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。 定义5.如果在数列中，项数与具有如下的函数关系：，则称这个关系为数列的通项公式。 2等差数列 定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。 等差数列具有以下几种性质： （1）等差数列的通项公式：或； （2）等差数列的前项和公式：或； （3）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数； （4）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数；

3、 （5）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列； （6）设，是等差数列，则（是常数）也是等差数列； （7）设，是等差数列，且，则也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）； （8）若，则；特别地，当时，； （9）设，则有； （10）对于项数为的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，； （11）对于项数为的等差数列，有，； （12）是等差数列的前项和，则； （13）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则    

4、   为等差数列，公差为； （即）为等差数列，公差； （即）为等差数列，公差为.  3等比数列 定义7.一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母表示（），即。 等比数列具有以下性质： （1）等比数列的通项公式：或； （2）等比数列的前项和公式：； （3）等比中项：； （4）无穷递缩等比数列各项公式：对于等比数列的前项和，当无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项的和，记为，即； 

5、（5）设是等比数列，则（是常数），仍成等比数列； （6）设，是等比数列，则也是等比数列； （7）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）； （8）设是正项等比数列，则是等差数列； （9）若，则；特别地，当时，； （10）设，则有； （11）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则 为等比数列，公比为； （即）为等比数列，公比为； 典例分析 例1设等差数列的首项与公差均为非负整数，项数不小于3，且各项之和为972，则这样的数列有_个。

6、 解：设等差数列的首项为，公差为。由已知有，即。又因为，所以只可能取，又因为且均为整数，故； 若，由于为正数，则，即，故，这时有或； 若，则，这时有或。 例2设，A是S的三元子集，满足：A中元素可以组成等差数列，那么这样的三元子集有_个。 解：若成等差数列，则，从而首未两项奇偶相同，且首未两项一旦确定，那么等差数列也就随之确定了。但是值得注意的是，虽然成等差数列时，也成等差数列，但它们所对应的是同一个集合A=。 将S按数的奇偶性分成与两个子集。 从中取出两个数作为等差数列的首未两项，共有种不同的取法； 从中取出两个

7、数作为等差数列的首未两项，共有种不同的取法； 所以共有+种不同的取法。 例3设，A为至少含有两项且公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其它元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数（这里只有两项的数列也看作是等差数列）（1991年全国高中数学联赛二试第一题） 分析：可先对特殊的n（如n=1,2,3）通过列举法求出A的个数，然后总结规律，找出的递推关系，从而解决问题；也可以就A的公差时，讨论A的个数。 解法一：设元素集中满足条件的A有个，则，如此下去，可以发现。 事实上，比的A增加的公差为的1个，公差为的1个，公差为为偶

8、数)或为奇数）的增加1个，共增加个。 由的递推公式可得个。 解法二：设A的公差为，则，分为两种情况讨论： （1）当为偶数时，则当时，公差为的A有个，当时，公差为d的A有个，故当n为偶数时，这种A共有 个； （2）当为奇数时，则当时，公差为的A有个，当时，公差为d的A有个，故当n为奇数时，这种A共有 个； 综合（1）（2）得，所求的A共有个。 例4将数列依次按每一项，两项，三项，四项循环分成（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27）,（29，31，33），（35，37

9、，39，41），（43），则第100个括号内的各数之和是_。 解：每循环一次记为一组，则第100个括号是第25组的第4个括号。而每组中第四个括号内的各数之和构成以72为首项，以80为公差的等差数列，故为所求。 例5设数列是等差数列，是等比数列，且，（），又，试求数列的首项与公差。（2000年全国高中数学联赛一试第13题） 分析；题中两个基本量中的首项和公差是所需求的。利用，成等比数列和给定的极限可列出两个方程，但需注意极限存在的条件。 解：设所求的首项为，公差为。因为，故；又因为成等比数列，故，即，即，化简得：，解得，而，故； 若，则；若，则；

10、 但是存在，可知，于是不合题意，从而只有。于是由 解得，所以， 故数列的首项与公差分别为和。 例6若复数列的通项公式为 （1）将数列的各项与复平面上的点对应，问从第几项起，以后所有的各项对应的点都落在圆的内部； （2）将数列中的实数项按原来的顺序排成一个新数列，求数列的通项及所有项的和。 解：（1）设数列的各项在复平面上对应的点的坐标为，则，。 要使点落在圆的内部，只需，得即，故从第6项起，以后每一项都落在圆的内部。 （2）要使数列中的项为实数，则，得， 因此数列的通项公式为， 所以，

11、且 故数列是首项为1，公比为的无穷递缩数列，从而数列的所有项的和为：。 例7已知整数，是1，2，3，n的一个排列，求证：不可能构成一个等差数列，也不可能构成一个等比数列。（2006年山东省第二届夏令营试题） 证明：若构成一个等差数列，设其公差为，则，所以。 而，因为，所以 所以。 于是当时，则，于是  所以，矛盾！ 当时，则， 又因为所以，从而。 所以，所以，从而，矛盾！ 从而不可能构成一个等差数列。 下证不可能构成一个等比数列。 若构成了一个等比数列，考虑最后三项

12、。 有，所以。 而（，所以； 当时，显然 ； 当时，显然  ； 当时，有，知，所以即，所以或4；    当时，只能为1，6，6或2，6，3，但这两个都不是等比数列；    当时，所以故；又因为，所以矛盾！ 所以也不可能构成一个等比数列。 例8正整数序列按以下方式构成：为某个正数，如果能被5整除，则；如果不能被5整除，则。证明：数列自某一项起，以后各项都不是5的倍数。（2006年山东省第二届夏令营试题） 证明：首先证明中一定在存在相邻的两

13、项，它们都不是5的倍数。 （反证）若不然，数列中任意的两项都是5的倍数。 若，则； 若5  ，则，从而； 所以矛盾！（因为某个正数，不可能大于无穷多个正整数） 从而中一定在相在相邻的两项，它们都不是5的倍数。 设都不是5的倍数，则，其中， 有 因为，所以，所以只能取，即只能取，这说明不是5的倍数。 即从起以后每一项都不是5的倍数。 例9将与105互质的所有正整数从小到大排成数列，求这个数列的第三1000项。 解：设， 则；   

14、;    ；       ；      ；      ；       ；       ，所以。 在1到105之间与105互质的数有 + =105（35+21+15）+（7+3+5）1=48 设将与105互质的数从小到大排列起来为数列，则 ， 这是一个以48为周期的周数列，因为 所以； 而由于， ，；