数学函数的应用题

1、函数的应用题【热点聚焦】最近几年的高试题，加强了对函数应用题的考查，主要的是将实际问题转化为函数模型, 比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、 指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义等等.【基础知识】运用函数概念建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法：1)建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数问题；2)运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；3)将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解，从而解决实际问题.根据收集到的数据的特点建立函数模型，解决实际问题的基本过程：【课前训练】1 .老师今年用7200元买一台笔记本.电子技术

2、的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一.三年后老师这台笔记本还值()A. 7200X ( 1) 3元 B. 7200X (2) 3元 C. 7200X (1) 2 元 D. 7200X (2 ) 2 元33332 .化学上常用 pH来表示溶液酸碱性的强弱， pH = 1g c (H+),其中f (H+)表示溶 液中H +的浓度.若一杯胡萝卜汁的 c (h + ) =1X105moi/L,则这杯胡萝卜汁的 pH是( )A. 2B. 3C. 4D. 53 .如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%,那么经过x年可以增长到原来邮寄包裹重量的函数关系式为3元收费，

3、邮费与5.某工厂八年来某种产品总产量C与时间t (年)的函数关系如图所示，下列四种说法:(1)前三年中产量增长的速度越来越快;(2)前三年中产量增长的速度越来越慢;(3)三年后，这种产品停止生产了；(4)第三年后，年产量保持不变.其中说法正确的是【试题精析】【例1】(2007年上海春季高考试题)某人定制了一批地砖.每块地砖 (如图1所示)是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边 BC和CD上， CFE、 ABE和四边形 AEFD均由单一材料制 成，制成 CFE、 ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米 价格之比依次为3:2:1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使 中间的深色阴

4、影部分成四边形EFGH .(1)求证：四边形 EFGH是正方形；A(2) E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？B【例2】(2003北京春)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每 增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为 3600元时，能租出多少辆车？图2(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少?【评述】本题贴近生活.要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决.【例3】

5、(2000全国卷)某蔬菜基地种植西红柿， 由历年市场行情得知， 从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图210中(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图210中(2)的抛物线表示.(1)写出图中(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f (t)；写出图中(2)表示的种植成本与时间的函数关系式 Q=g (t);(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/ 102 , kg,时间单位：天)【评述】本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力.【例4】

6、(2001上海卷)用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果 ，-、口一，口，1，一，口作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的-,用水越多洗掉的农药量也2越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用x单位量的水清洗 一次以后，蔬菜上残留的农药量 与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).(1)试规定f (0)的值，并解释其实际意义；(2)试根据假定写出函数 f (x)应该满足的条件和具有的性质；>1，一，一，(3)设f (x)=,现有a (a>0)单位量的水，可以清洗一次，也1 x2可以把水平均分成 2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较

7、少？说明理由.【评述】本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力.以及函数概念、性质和不等式证明的基本方法.【例5】据世界人口组织公布，地球上的人口在公元元年为2.5亿，1600年为5亿，1830年为10亿，1930年为20亿，1960年为30亿，1974年为40亿，1987年为50亿，到1999年底，地球上的人口数达到了 60亿.请你根据20世纪人口增长规律推测，到哪年世界人口将达到100亿？到2100年地球上将会有多少人口？【例6】(2007年襄樊市调研试题)通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学

8、生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间 t (分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析得知：2_t2 24t100 0 t10f(t)24010 t207t 38020 t40(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后 25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解 24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？【针对练习】31. (2007年襄樊市调研试题)用清水漂洗衣服，假定每次能洗

9、去污垢的“，若要使存留的污4垢不超过原有的1%,则至少要漂洗()A. 3次B. 4次C. 5次D. 6次2 .某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数 y与x的函数关系式是()Ay=2x(xC N*)B.y=2x(xC N*)C.y=2x+1（xC N*）D.y=log2X（xC N*）3 .对山东省某县农村抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率49%,电视机拥有率85%,洗衣机拥有率44%,至少拥有上述三种家用电器中两种以上的占63%,三种电器齐全的占25%,那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为（）A.35%B.10%C.15%D.资料不全，难

10、以判断4 .北京电视台每星期六晚播出东芝动物乐园，在这个节目中曾经有这样一个抢答题：小蜥蜴体长15cm,体重15g,问：当小蜥蜴长到体长为20cm时，它的体重大约是（）A. 20g B. 25gC. 35gD. 40g5 .向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 y与水深入的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（）1999年上海市完成 GDP （GDP6 . 1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%,即储蓄利息的20%由各银行储蓄点代扣代缴，某人在1999年11月l日存入人民币1万元，存期2年，年利率为2.25%,则到期可净得本金和利息总计 元.7 .已知

11、函数f （x）的图象如右图，试写出一个可能的解析式8 .根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告,是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%,市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%.若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均（GDP达到或超过1999年的2倍，至少需 年.（按1999年本市常住人口总数约1300万计算）9.我国水资源相对贫乏，某市节水方法是：水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最低限量 pm3时，只付基本费 8元和每户每月定额损耗费 q元；若用水量超过pm3时，除了付上述的基本费和损耗外，超过部分每m3付r

12、元的超额费，已知每户每月的定额损耗不超过5元，该市一家庭某季度的用水量支付如下表:月份用水量（m3）水费（元）1992151932233(1)写出水费y (元)与用水量 x (m3)的函数关系式(这里的p, q, r可作为已知(2)根据数据表，求 p, q, r的值.第七节参考答案【课前训练】1 .答案：B 解析：此题关键是读懂每隔一年价格降低三分之一的含义.设原价为1, 一年后降价为2 ,再过一年降价为2 X-,，三年后降价为2 X- X-= (-)3,故选B .33 33 3 332 .答案：D3.答案：D 解析：y= (1 + 0.104%) x,如图D(x 5)(x> 5)5x4

13、 .答案：f (x)=3x5.答案:(2) (3) (4)解析：从图形得知前三年的总产量增长趋势是先快后慢,所以(2)是正确的；三年后总产量不变，说明没有新的产量增加，所以(3)或(4)都是正确的.【试题精析】【例1】(1)证明：图2是由四块图1所示地砖绕点C按顺时针旋转90后得到，4CFE为等腰直角三角形，四边形EFGH是正方形.(2)解：设CE x,则BE 0.4 x,每块地砖的费用为 W,制成 CFE、 ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a (元)，则12c 1c 小 、c 121c 小 、Wx2 3a 0.4 (0.4 x) 2a 0.16x20.4 (0.

14、4 x) a2222a x2 0.2x 0.24 a (x 0.1)2 0.23 , 0 x 0.4.由a 0,当x 0.1时，W有最小值，即总费用为最省.答：当CE CF 0.1米时，总费用最省.【例2】解：(1)当每辆车的月租金定为 3600元时，未租出的车辆数为：3600 3000 =12,50所以这时租出了 88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f (x) = ( 100- x 3000 ) (x50x 3000x219 150) 500，整理得：f(x) =50+162x 21000=- 50 (x4050) 2+307050.所以，当x=4050时，f (

15、x)最大，其最大值为 f (4050) =307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.【例3】解：(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为300 t,0 t 200,f(t) =2t 300,200 t 300;由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g (t) =(t- 150) 2+ 100, 0qw300200(2)设t时刻的纯收益为h (t),则由题意得 h (t) = f (t) - g (t),t2即 h (t) =200t22001t 27t 2175 ,0 t21025 “c,200 2200,t 300.当04 w

16、200寸，配方整理得h1200(t 50) 2+ 100,所以，当 t=50 时，h (t)取得区间0, 200上的最大值100;当200vtw30cB寸，配方整理得 h (t)1c(t 350) 2+ 100,所以，当 t=300 时,200h (t)取得区间(200, 300上的最大值87.5.综上，由100>87. 5可知，h (t)在区间0, 300上可以取得最大值 100,此时t =50,即从二月一日开始的第 50天时，上市的西红柿纯收益最大 .【例4】解：(1) f (0) =1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样.f(0)=1, f (1)=-, 2(2)函数f (x

17、)应该满足的条件和具有的性质是:在0, + 8)上f (x)单调递减，且0Vf (x)<1(3)设仅清洗次,残留的农药量为,清洗两次后,a残留的农药量为f2 =a 21 (2)162 2(4 a )，则 f1 f2= -1162 2(4 a )22_a (a 8)22 2(1 a )(4 a )于是,当 a>2 J2 时，fi>f2；当 a=2 J2时, fi = f2；当 0vav2d2 时，fivf2.因此，当a>2 J2时，清洗两次后残留的农药量较少；当 a=2,5时，两种清洗方法具有相同的效果；当 0V av2/2时，一次清洗残留的农药量较少.【例5】解：题目中

18、的数据均为大致时间，粗略估计的量，带有较多的误差.因此寻找人口增长规律时不需要，也不应该过分强调规律与数据完全吻合.数据中20世纪以前的人口资料更加粗略，况且人口的预报准确程度主要受到20世纪人口增长规律的影响，因而组建预报模型时，不必考虑20世纪以前的数据资料，在20世纪人口增长速度是逐渐变快的，因此用直线变化(匀速增长)建模做预报是不恰当的.做为人口增长的模型，一般可以使用指数关系N (t) = ae,其中N (t)为t时人口数，a、r为参数.将N (t) = aen式取对数可得lnN (t) = lna+rt,它是关于t的线性模型，这里In为以e为底的对数.利用19301999年的数据可

19、以得到lna= 28.33, r= 0.0162, a= e 28.33 = 4.97 10一13模型为 N （t） = 4.97 X0 13e00162 t （亿）（ 19304W1999.模型的拟合效果如下表(人口单位：亿)年代19301960197419871999人口数2030405060拟合数19.4931.7039.7849.1156.61拟合效果较好，可用于预报.令N (t) =100,可求出t= 2030.84,故可知如果照此规律大约在2031年世界人口将达到100亿，而于2100年世界人口将达到 307亿.【例 6】(1)解：当 0VtW10寸，f t2 24t 100 (t

20、 12)2 244 是增函数，且 f (10) 240当 20VtW40 时，f(t) 7t 380 是减函数，且 f(20) 240所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续 10分钟(2)解：f(5) 195, f (25) 205,所以，讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中当 0vtW10寸，令 f(t) t2 24t 100 180 得：t 4当 20V tw40时，令 f(t) 7t 380 180 得：t 28.57则学生注意力在180以上所持续的时间28.57 4 24.57 24所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题。【针对

21、练习】1 .答案：B2 .答案：B 解析：从第二年开始，每年的细胞数是前一年的2倍.3 .答案B 解析：至少有一种家用电器的用户占49+85+44-(63+25) %=90%,故一种家用电器也没有的用户占10%.4 .答案：C 解析：假设小蜥蜴从 15cm长到20cm,体形是相似的.这时蜥蜴的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比.记体长为l的蜥蜴的体重为 1,因此有 20 =1520315335.56 (g),合理的答案应该是35g.5 . B 解析：本题要求根据上边函数关系的大约图象(粗略的)，对图中四个形状容器可能相符的容器作出判断， 这里没有数值的运算，甚至没有严格的形式推理，生活常识、图形的变化趋势(性质)是判断的依据.从上图图象可见，若水深 h从0变化到口时变化状况2与H到H变化状况相比，注水量在减少，符合这一性质的只有选项 B.此题也可取特殊值，2取h=可知Vi > .226 .答案：10364.05 解析：本金到期后本息和为 104 (1 + 2.2