二重积分的计算方法(1)

1、1 利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决在直角坐标系下，被积分函数在积分区域上连续时，若为型区域（如图1），即，其中在上连续，则有； （1）图1若为型区域（如图2），即，其中在上连续，则有1 （2）例1 计算，其中是由，及所围成 分析 积分区域如图3所示，为型区域确定了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解yy=xxy=1D2D1xO2112图3解 积分区域为型区域则 图41.2 积分区域非X型或Y型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的型或型区域，不能直接使用公式（1）或者

2、（2）进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干型或型区域，然后利用公式 （3）进行计算，例2 计算二重积分，其中为直线及所围成的区域分析：积分区域如图5所示，区域既不是型区域也不是型区域，但是将可划分为均为型区域，进而通过公式（3）和（1）可进行计算yxOx=2yy=2xx+y=3图5解 划分为，则 1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算OyxD1D2图6例3 计算二重积分，其中为区域，分析 由于被积函数含有绝

3、对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域划分为，两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得解 区域如图6可分为，其中，由公式（3）则2 利用变量变换法计算定理1 设在有界区域上可积，变换，将平面按段光滑封闭曲线所围成的区域一对一地映成平面上的区域，函数，在内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式，则 （4）（4）式叫做二重积分的变量变换公式，2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进

4、行计算例4 求，其中是由所围曲线（图7）分析 由于被积函数含有的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换：在变换作用下区域的原像如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了解 做变换 所以图8vuODyxO图72.2 根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有且，则把平面上的积分区域对应到平面上简单的矩形区域，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算例5 求抛物线和直线所围区域的面积分析 的面积实际是计算二重积分，其被积函数很简单，但是积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现；，如果设，则有，解 的面

5、积作变换，所以例6 求所围区域分析 积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T：，它把平面上的区域对应到平面上的矩形区域解 令在变换作用下，区域的原像， 所以2.3 利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有、或形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换，这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为.（1）如果原点，且平面上射线常数与积分区域的边界至多交于两点，则必可表示为， 则有 （5）类似地，若平面上的圆常数与积分区域的边界至多交于两点，则必可表示为

6、，那么 （6）（2）如果原点为积分区域的内点，的边界的极坐标方程为，则可表示成，则有 （7）（3）如果原点在积分区域的边界上，则为，那么 （8）例7 计算，其中为圆域：分析 观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为，且原点为的内点，故可采用极坐标变换，可以达到简化被积函数的目的解 作变换，则有yx图 8例8 计算二重积分，其中是由直线，以及曲线所围成的平面区域分析 首先根据题意，画出积分区域，由于积分区域与一起围成规则图形正方形，且为半圆区域，根据极坐标变换简化被积函数解 积分区域如图15所示，为正方形区域，为半圆区域，则有，而，又故原式 2.4 利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，

7、作如下广义极坐标变换：并且雅可比行列式同样有 （9）例9 计算，其中分析根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换，可以达到简化积分区域和被积函数的目的解作广义极坐标变换，由（9）知 3 某些特殊函数的计算3.1 利用积分区域的对称性简化二重积分的计算如果 可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分和，那么有如果在上各点处的值与其在上各对称点处的值互为相反数，那么如果在上各点处的值与其在上各对称点处的值恒相等，那么3例10 计算，其中为双曲线及所围成区域分析 首先根据题意，在坐标系中划出积分区域，观察到为的偶函数，另一方面关于轴对称，且在在上各点处

8、的值与其在上各对称点处的值恒相等，然后再化为累次积分计算xyOD1D211解 积分区域如图11所示：为在第一象限内的部分，关于轴对称，又为的偶函数，由对称性有宜选择先对后对的积分次序故原式3.2 分段函数和带绝对值函数的二重积分计算分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区域上被积函数的取值不变号例11 求，其中为围成的区域分析 被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得的两部分，在两部分上分别积分后，再相加解 为去绝对值号，将分成若干个子区域，即 在内 在内 故原式，利用极坐标计算有故原式