【试卷】选择性必修第一册 第1章（3）空间向量 综合卷

1、期末复习 空间向量综合卷第I卷（选择题）一、单选题1若构成空间的一组基底，则( )ABCD2已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b)c,则x等于()A4B-4CD-63是空间的一个基底，向量，.若，则，分别为（ ）.A，B，1，C，1，D，1，4已知是两两垂直的单位向量，则与的数量积等于（ ）A15B5C3D15在如图所示的坐标系中,为正方体,给出下列结论:直线 的一个方向向量为(0,0,1);直线的一个方向向量为(0,1,1); 平面的一个法向量为(0,1,0);平面的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为()A1B2C3D46向量，若，且，则

2、的值为（ ）AB1CD47如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值为（ ）ABCD8如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）ABCD二、多选题9已知，,且与夹角为，则的取值可以是（ ）A17B-17C-1D110给出下列命题，其中不正确的命题为（ ）A若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；B若，则是钝角；C若为直线l的方向向量，则 (R)也是l的方向向量；D非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面11（多选题）如图，在长方体中，以直线，分别为轴、轴、轴，建立

3、空间直角坐标系，则（ ）A点的坐标为B点关于点对称的点为C点关于直线对称的点为D点关于平面对称的点为12如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A直线与所成的角可能是B平面平面C三棱锥的体积为定值D平面截正方体所得的截面可能是直角三角形第II卷（非选择题）未命名三、填空题13若向量，则=_14如图所示，在正方体中，M为棱的中点，则异面线与AM所成角的余弦值为_.15若向量1，且，则_16已知是空间的一个基底，若，则_.四、解答题17如下图所示，四棱锥中，底面，为的中点，底面四边形满足，（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值18如图，在四棱锥中，底面，底面

4、是边长为2的正方形，分别是，的中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在上是否存在一点，使得与所成角为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由19如图一所示，四边形是边长为的正方形，沿将点翻折到点位置(如图二所示)，使得平面和垂直.分别为的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，且，分别为，的中点.求：（1）点到平面的距离.（2）平面与平面的夹角的正弦值.21如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值22如图

5、，在三棱柱中，平面,，分别是的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由第一章综合参考答案1A2B3A4A5C6C7B8D9AC10ABCD11ACD12BC13131415：（）或（，）16017（）底面，如图以点为原点，直线、分别为、轴，建立空间直角坐标系，则，平面，平面，平面平面；（）设为平面的一个法向量，又，则，取，得设为平面的一个法向量，又，则，取，得，二面角的余弦值18（1）证明：以为原点，、分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，0，2，2，1，1，2，2，设

6、平面的法向量为，则，即，令，则，1，故平面（2）解：由（1）知，平面的法向量为，1，0，同（1）可求得平面的法向量，0，由图可知，平面与平面的夹角为钝角，平面与平面夹角的余弦值为（3）解：设，则，0，0，与所成角为，2，解得，故在上存在一点，使得与所成角为，点的坐标为，0，19（1）证明：取中点，连结，平面，平面，平面，（2）二面角是直二面角，两两垂直，以为原点，、分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，1，0，分别为，的中点，设，是平面的一个法向量，令，得，1，平面，平面的一个法向量，0，设平面与平面所成的锐二面角为，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为20（1）；（2）.（1）连接，因

7、为，所以，又平面平面，所以面；又底面为矩形，取中点，连接，则，两两垂直；以，为一组正交基底建立空间直角坐标系，因为，所以，又，所以为直角三角形，则，所以，则，设平面的一个法向量为，则，因此，不妨令，则，所以点到平面的距离为；（2）设平面的一个法向量为，因为，则，则，不妨令，则.设平面与平面的夹角为，故， 又因为，所以.21解：（1）由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以 DMCM.又 BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.（2）以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点.由题设得，设是平面MAB的法向量,则即可取.是平面MCD的法向量,因此，所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.22（1）证明:取的中点，连接，交于点，可知为的中点，连接，易知四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）分别以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，则，设平面的法向量为，则，即，令，可得，即，所以，所以直线