第五章 微分方程

1、第五章 微分方程 寻求变量之间的函数关系是解决问题时常见的重要课题,但是,人们往往并不能直接由所给的条件找到函数关系,却比较容易列出表示未知函数及其导数(或微分)与自变量之间关系的等式,然后再从中解得待求的函数关系这样的等式称之为微分方程本章将讨论几种特殊类型的微分方程及其解法,并初步介绍它们在一些实际问题中的应用第一节 微分方程的基本概念一 实例例1 一曲线通过点(4,8)且在该曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率为3,求这条曲线的方程 解 设所求曲线方程为y=f(x),由题意有,并且y|, 于是 (511)将y|代入上式,得8=64+C,故C= -56,从而得到所求曲线方程为 (512)例

2、2 在真空中,物体由静止状态自由下落,求物体的运动规律解 设物体的运动规律为s=s(t),由导数的物理意义得为重力加速度),并且s|,v|,于是 (513) , (514)将分v|,s|别代入式(613)和式(614),得 ,从而得到该物体的运动规律为 (515)例1例2都是从实际问题出发,利用已知条件,建立起含有未知函数的导数的一个等式,利用积分求出未知函数,我们给这种等式下一个定义二 微分方程的基本概念1 微分方程 含有未知函数的导数(或微分)的方程，称为微分方程2 常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程,称为常微分方程例如 都是常微分方程 注意:在微分方程中,自变量与未知函数可以不出现

3、,但未知函数的导数或微分必须出现本章只讨论常微分方程,并将它简称为微分方程3 微分方程的阶 在微分方程中,未知函数的导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶例如, 下列微分方程 都是一阶微分方程,而微分方程是二阶微分方程的解一阶及二阶微分方程的一般形式分别是 4 微分方程的解 若将一个函数代入微分方程中,使该微分方程成为恒等式,那么这个函数就叫做微分方程的解 例如 在例1和例2中(514)和(515)都是方程的解,(511)和(512)都是微分方程的解 5通解与特解 如果微分方程的解中包含有任意常数,并且独立的任意常数的个数与微分方程的解数相同,这样的解称为微分方程的通解不包含任意常数的解,称为微

4、分方程的特 解 例如，函数（511）(514)分别是方程和的通解,函数(512)和(515)分别是方程和的特解 6微分方程的初始条件 通解中用以确定特解的条件叫做微分方程的初始条件 例如,例1中的初始条件是y|,例2中的初始条件是s|,v| 例3 验证函数是微分方程的通解,并求满足初始条件y| , | 的特解 解 因为 , (516)所以 , (517) 将代入原方程的左端,得 故已给函数满足方程,是它的解,又因为这个解中含有两个独立的任意常数,等于方程的阶数,因此又是它的通解将初始条件分别代入(516)和(517)两式中,得 ,所以满足初始条件的特解是 习 题 5-1 1 下列等式是微分方程

5、吗?如果是,请指明微分方程的阶数(1) , (2) (3) (4) (5) (6) 2 指出下列各题中的函数是否为所给方程的解:(1) ;(2) ;(3) ;(4) (C为任意常数)3 验证是微分方程的通解,并求出微分方程满足初始条件y|,|的特解第二节 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式是 或下面介绍几种常见的微分方程及其解法一 可分离变量的微分方程形如 (521)的一阶微分方程,叫做可分离变量的微分方程 之所以称这个方程为可分离变量的微分方程,是因为它可化成 (522)的形式,也就是说,可以把微分方程中不同的两个变量分离在等式的两边将(522)两端同时积分,得微分方程(521)的通解 例1

6、 求微分方程的通解解 分离变量,得 ,两边分别积分 ,得 ,从而 ,即 因仍为任意常数,把它记作C,故原方程的通解为 例2 求微分方程满足初始条件y|的特解解 将方程整理得 分离变量,得 ,两边积分,有 化简,得 即 二 一阶线性微分方程 形如 (523)的微分方程称为一阶线性微分方程,其中P(x),Q(x)都是自变量的函数,Q(x)叫做自由项,所谓“线性”指的是方程(623)中的未知函数y及其导数都是一次式如果Q(x) 0,则方程(623)变成 (524)方程(624)称为方程(623)所对应的一阶线性齐次微分方程如果Q(x) 0,则称方程(623)为一阶线性非齐次微分方程例如,方程是一阶线

7、性非齐次方程,它对应的齐次方程为 先讨论一阶线性齐次微分方程(624)的解法,它是可分离变量的分方程,将其分离变量,得 ,两端积分,得 并把任意常数写成lnC的形式,得 整理化简后即得线性齐次方程(624)的解 (525)再讨论线性非齐次方程(523)的解法由于一阶线性非齐次微分方程(623)和一阶线性齐次微分方程(624)的左端是一样的,只是右端一个为函数Q(x),而另一个为0于是设想方程(624)的通解为(625)中C为函数时,即 , (526)可能是非齐次微分方程(623)的解,其中C(x)需要待定将代入方程（623）,得 整理得 ,两边积分,得 将上式代入式(626)中,得方程(623

8、)的通解为 (527)上述讨论中所用的方法,是将方程(623)所对应的线性齐次方程(624)的解中的任意常数C变易为待定函数,然后求出线性非齐次方程(623)的通解这种方法称为常数变易法例3 求微分方程的通解解 (方法一)使用常数变易法求解将所给的方程改写成下列形式: 这是一个线性非齐次方程,不难求出与它对应的线性齐次方程的通解为 设所给非齐次方程的解为,将及代入该方程,得 ,于是,有 ,因此,原方程的通解为 (方法二)运用通解公式求解将所给方程改写成下列形式: ,则算出 代入通解公式,得原方程的通解为 例4 求微分方程 满足初始条件:y|的特解解 先求通解,所给是一阶线性非齐次方程,先求对应

9、的线性齐次方程的通解,移项并分离变量,得 ,两端积分,得lny=2ln(x+1)+lnC化简后,得 再用常数变易法,把上式中的C换成待定函数C(x),即设原线性非齐次方程的解为 ,则 ,把它们代入原方程,得 ,化简,得 ,两边积分,得 ,代入,即得所求方程的通解为 下面求满足所给初始条件的特解,将所给初始条件:y|代入上面的通解中,得C=1,故所求特解为 可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的解法如下表所示微分方程类型方 程解 法可分离变量方程将不同变量分离到方程两边，然后积分 一阶线性方程齐次方程分离变量，两边积分或用公式 非齐次方程 用常数变易法或公式法 习 题 5-21 求解下列微分方程

10、:(1) ; (2) (3) ; (4) (5) |; (6) |2 求解下列微分方程:(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) |; (6) |3 求一曲线,该曲线通过原点,并且它在点处的切线斜率等于第三节 二阶常系数线性微分方程一. 二阶常系数线性微分方程解的结构形如 (531)的微分方程叫做二阶常系数线性非齐次微分方程,其中都是一次的, 均为常数, 是的已知连续函数, 叫做自由项如果0,则方程(531)成为 (532)方程(532)叫做二阶常系数线性齐次微分方程定义1 设有两个不恒为零的函数和在区间内有定义,若存在两个不同时为零的常数,使在内成立,则称和在内线性相关,否则叫做线

11、性无关定义1的另一种说法是:若常数,则与线性相关;若常数,则与线性无关例如 ,因为,所以与线性相关 再如, ,因为常数,所以与线性无关定理1 如果函数和是二阶常系数线性齐次微分方程(532)的两个解,那么 (533)也是方程(532)的解,其中是任意常数例如, 都是方程的解,不难验证 也是方程的解定理2 如果函数和是二阶常系数线性齐次微分方程(532)的两个线性无关的特解,那么 就是方程(532)的通解,其中是任意常数例如,方程,容易 验证与是所给方程的两个特解,且常数,即它们是线性无关的因此, 就是该方程的通解定理3 如果是二阶常系数线性非齐次微分方程(531)的一个特解, 是与方程(531

12、)对应的齐次方程的通解,那么 (534)是方程(531)的通解例如,方程是二阶常系数线性非齐次微分方程, 是与其对应的齐次方程的通解;又容易验证是方程的一个特解,因此是方程的通解二 二阶常系数线性齐次微分方程的解法定义2 方程叫做微分方程的特征方程,特征方程的根叫做特征根特征方程的解有三种情况(1) 当时,特征方程(535)有两个不相等的实根: ,微分方程的通解为 (2) 当=0时,特征方程有两个相等的实根: ,微分方程的通解为 (3) 当<0时,特征方程有一对共轭复根: ,其中, 方程的通解为 综上所述,求二阶常系数线性齐次微分方程 的通解的步骤如下:(i)写出微分方程的特征方程 (i

13、i)求出特征方程的两个根;(iii)根据特征方程的两个根的不同情形,按照下表写出微分方程的通解特征方程微分方程的通解（1）两个不等的实根 （2）两个相等的实根 （3）一对共轭复根 例1 求微分方程的通解解 所给微分方程的特征方程为 解方程得两个不相等的实根,故所给方程的通解为 例2 求微分方程满足初始条件:y|的特解 解 把所给方程变形为 ,它的特征方程是 ,解方程得是两个相等的实根,因此所给方程的通解为 为了求满足初始条件的特解,将上式对求导,得 将初始条件:y|分别代入上面两式,得 于是所求特解为 例3 求微分方程的通解解 所给方程的特征方程是 求出其特征根是 它们是一对共轭复根(),因此

14、所求方程的通解为 从上面的讨论可以看出,求解二阶常系数线性齐次微分方程,不必通过积分,只要代数的方法求出特征方程的根,就可以写出微分方程的通解三. 二阶常系数线性非齐次微分方程由定理3知道,二阶常系数线性非齐次微分方程的通解是对应的线性齐次方程的通解与其自身的一个特解之和,二求二阶常系数线性齐次方程的通解已解决,所以求线性非齐次方程的通解关键在于求其一个特解下面就的几种特殊类型讨论方程的特解(1) (其中为的一个次多项式)这时方程变成 (535)此方程式右端是多项式,而多项式的一阶导数,二阶导数仍为多项式,所以此方程的特解也应该是多项式,且有以下特征:(i) 若,方程(535)的特解与是同次多

15、项式,这时(与是同次多项式);(ii) 若,方程(535)的特解的一阶导数与是同次多项式,这时可设(比高一次)(iii) 若,这时对直接进行两次积分例5 求微分方程的一个特解解 因为=3x+1,而，故设 于是， 把代入原方程,得比较两边的系数,得 ,解得 A=1,B=1所以原方程的一个特解是 例6 求微分方程的一个特解解 因为是一个一次多项式,而,所以特解应是一个二次多项式,故设 把,代入原方程,得比较两边系数,得 解之得,所以原方程的一个特解为 (2) 当时这时方程变成 (536)其中均为常数由于为常数,且指数函数的导数仍为指数函数,因此,我们可以设(536)有特解 其中B为待定常数当不是(

16、536)式所对应的线性齐次方程的特征方程的根时,取当是其特征方程单根时,取;当是其特征方程重根时,取例7 求方程的特解解 它不是特征方程r2+r+1=0的根，取k=0，所以，设特解为：y*=Be2x，则y*=2Be2xy*=4Be2x代入方程，得B= 故原方程的特解为：y*= e2x例8 求方程y+2y3y=ex的特解解 a=1，是特征方程r2+2r3=0的单根，取k=1，所以，设特解为y*=Bxex，则y*=Bex+Bxex，y*=2Bex+Bxex，代入方程，得B= ，故原方程的特解为y*= xex3°f(x)=eax(Acos wx+Bsin wx)设二阶常系数线性非齐次方程为

17、y+py+qy=e+(Acos wx+Bsin wx) (537)其中a，A，B均为常数由于p、q为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，因此，我们可以设（537）有特解y*=xkeax(Ccos wx+Dsin wx)其中C、D为待定常数，当a+wi不是（537）式所对应的齐次方程的特征方程的根时，取k=0，是根时，取k=1，代入（537）式，求得C及D例9 求方程y+3yy=excos 2x的一个特解解 自由项f(x)=excos 2x为eax(Acos wx+Bsin wx)型的函数，且a+wi=1+2i，它不是对应的常系数线性齐次方程

18、的特征方程r2+3r1=0的根，取k=0，所以设特解为：y*=exCcos 2x+Dsin 2x则y*=ex(C+2D)cos 2x+(D2C)sin 2x,y*=ex(4D3C)cos 2x+(4C3D)sin 2x代入原方程，得（10DC）cos 2x(D+10C)sin 2x=cos 2x比较两端cos 2x与sin 2x的系数，得10DC=1，D+10C=0解此方程组，得C= ，D= 故所求特解为y*=ex( cos 2x + sin 2x)例10 求方程y+y=sin x的通解解 自由项f(x)=sin x为eax（Acos wx+Bsin wx）型的函数，且a=0，w=1，且a+w

19、i=i是特征方程r2+1=0的根，取k=1，所以，设特解为y*=x（Ccos x+Dsin x）则y*=Ccos x+Dsin X+x(Dcos xCsin x)，y*=2Dcos x2Csin xx(Ccos x+Dsin x)代入原方程，得 2Csin x+2Dcos x=sin x比较两端sin x与cos x的系数，得 C= ，D=0故原方程的特解为 y*= xcos x而对应齐次方程y+y=0的通解为Y=C1cos x+C2 sin x故原方程的通解为Y=y*+Y= xcos x+C1cos x+C2sin x例11 方程y+4y=x+1+sin x的通解解 自由项f(x)=x+1+

20、sin x可以看成f1(x)=x+1和f2(x)=sin x之和，所以分别求方程y+4y=x+1，和y+4y=sin x的特解方程（9）的特解易求得，y1*= x + ，设方程（10）的特解为y2*=Asin x +Bcos x，y2*=Asoc xBsin x，y2*=Asin xBcos x代入（10），得3Asin x=sin xB=0 A= 所以y2*= sin x得原方程的特解y*=y1*+y2*= x + + sin x原方程所对应的线性齐次方程为y+4y=0，其通解为Y=C1cos 2x+C2sin 2x故原方程的通解为Y=y*+Y= x + + sin x+C1cos 2x+C

21、2sin 2x 习 题 5-31 求下列微分方程的通解(1) ; (2) ;(3) ;(4) ; 2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1) ;(2) ;(3) ;(4) 第四节 微分方程应用举例利用微分方程可以解决自然科学、工程技术、社会科学等许多实际问题，寻找实际问题中未知函数的方法很多。用微分方程解决实际问题的一般步骤是：1、根据题意，建立起反映这个实际问题的微分方程及其相应的初值条件；2、求出微分方程的通解或满足初始条件的特解；3、根据某些实际问题的需要，利用所求得的特解来解释问题的实际意义，或求得其他所需的结果。下面就几何学、力学、机械学、电学、经济学等方面的实例说明微分方程的

22、应用，初步了解利用微分方程求解实际问题的方法和步骤。例1 已知一曲线过点（1,1），且曲线上任一点之切线垂直于此点与原点的连线OM，求此曲线的方程。解 设所求曲线方程为y=f(x)，为曲线在点M（x,y）处切线的倾斜角，是直线OM的倾斜角,如右图所示:根据导数的几何意义，得切线的斜率为 y又直线OM的斜率为 M tan = a O x由于切线与直线OM垂直，所以 =1得方程 = (541)这是可分离变量的微分方程ydy=xdx两边积分，得 y2= x2+C1，即 x2+y2=2C1=C这是微分方程的通解，把初始条件y|x=1=1代入上式，得C=2，于是所求的曲线方程为 x2+y2=2例2 一电

23、动机运转后，每秒钟温度升高1，设室内温度恒为15，电动机温度的冷却速率和电动机与室内温差成正比，求电动机的温度与时间的函数关系。解 设电动机运转ts后的温度（单位为）为T=T（t），当时间从t(单位为秒)增加dt时，电动机的温度也相应地从T(t)增加到T（t）+dT由于在dt时间内，电动机温度升高了dt，同时受室温的影响又下降了K（T15）dt，因此，电动机在dt时间内温度实际改变量为 dT=dtK(T15)dt即 +KT=1+15K (542)由题设可知，初始条件为T|t=0=15方程（542）是一阶线性非齐次微分方程，由一阶线性非齐次微方程的通解公式，得 T(t)=e-kdt(1+15K)

24、ekdtdt + Ckt =e-kt + C 将初始条件代入上式，得 C= 故经时间t后，电动机的实际温度为 T（t）=15+ （1e-Kt）由上式可见，电动机运转较长时间后，温度将稳定于 T=15+ 例3 在商品销售预测中，t时刻的销售量用x=x(t)表示，如果商品销售的增长速度 与销售量x和销售接近饱和水平程度ax之积（a为饱和水平）成正比，求销售量函数x(t)。解 由题意，可建立微分方程 =kx(ax) (543)其中k为比例系数将方程（543）分离变量，得 =kdt，即 两边积分，得 化简得 ,从而得通解为 其中 为任意常数，可由初始条件确定例4 在RLC电路中（图7-6），接有电源E，交流电动势为Eosin wt，不断地供给能量，当开关K合上后，电路在电动势作用下，不断产生振荡，试