高中数学必修5解答题第一章66题

1、必修解答题第一章题一、解答题1、在锐角三角形ABC中，A2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求的取值范围2、在中，已知,，解此三角形。3、在中，已知,解此三角形。4、在ABC中，求证：.5、在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，试判断ABC的形状6、在ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a2，C，cos ，求ABC的面积S.7、在ABC中，已知a2，b6，A30°，解三角形8、在ABC中，已知a2，A30°，B45°，解三角形9、ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2ac且cos B.(1)求的值；（2）设

2、3; = ，求a+c的值.10、在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cosB =，且·21.(1)求ABC的面积；(2)若a7，求角C.11、在ABC中，求证：.12、如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°方向上，求： (1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离13、测山上石油钻井的井架的高，从山脚测得m，塔顶的仰角是D已知山坡的倾斜角是，求井架的高14、(6739)第4题. 如图，

3、货轮在海上以35n mile / h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为的方向航行为了确定船位，在B点观察灯塔A的方位角是，航行半小时后到达点，观察灯塔A的方位角是求货轮到达点时与灯塔A的距离（精确到 n mile）CBA15、轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船的航行方向之间的夹角为，轮船A的航行速度是25 n mile/h，轮船B的航行速度是15 n mile/h，下午2时两船之间的距离是多少？16、一架飞机从A地飞到B到，两地相距700km飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向

4、成夹角的方向继续飞行直到终点这样飞机的飞行路程比原来路程700km远了多少？A700km21 BC17、一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是，计算这个海岛的宽度8000m27 PQ18、如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.19、已知在ABC中，A45°，AB，BC2，解此三角形20、在ABC中，D为边BC上一点，BDDC，ADB120°，AD2.若ADC的面积为3，求BAC.21、一个人在建筑物的正西点，测得建筑物顶的仰角是，这个人再从点向南走到点，再测得

5、建筑物顶的仰角是，设，间的距离是22、飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过150s后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度（精确到1m） 23、一架飞以326km/h的速度，沿北偏东的航向从城市A出发向城市B飞行，18min以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市C，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C的距离是多少？24、A，B两地相距2558m，从A，B两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图），飞机离两个探照灯的距离是多少？飞机的高度是多少？A76.5 B25、为测量某塔的高度

6、，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度26、如图，已知一艘船从30 n mile/h的速度往北偏东的A岛行驶，计划到达A岛后停留10 min后继续驶往B岛，B岛在A岛的北偏西的方向上船到达处时是上午10时整，此时测得B岛在北偏西的方向，经过20 min到达处，测得B岛在北偏西的方向，如果一切正常的话，此船何时能到达B岛？3060 BCA20 min27、已知圆内接四边形ABCD的边长AB2，BC6，CDDA4，求圆内接四边形ABCD的面积28、如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B

7、处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，求DEF的余弦值29、江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离30、如图，在山脚测得出山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，求证：山高B31、如图，一艘船以32.2n mile/h的速度向正北航行在处看灯塔在船的北偏东的方向，30 min后航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向，已知距离此灯塔6.5n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？A南北西东65 BS32、

8、如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里问乙船每小时航行多少海里？33、如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为km，ADBCDB30°，ACD60°，ACB45°，求A、B两点间的距离34、（本题满分13分）设锐角三角形的内角的对边分别为，（）求的大小；（）求的取值范围35、在四边形ABCD中，AC平分DAB，

9、ABC=600，AC=7，AD=6， SADC=，求AB的长.36、在ABC中，设，求A的值。37、半径为1的圆内接三角形的面积为025，求此三角形三边长的乘积38、一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度39、（本题满分12分）在中，a比b大，b比c大，且最大角的正弦值是，求40、（本题满分12分）ABC中，D在边BC上，且BD2，DC1，B60o，ADC150o，求AC的长及ABC的面积41、（本题满分12分）在ABC中，BCa，ACb，a，b是方程的

10、两个根，且。求：(1)角C的度数； (2)AB的长度。42、（本小题满分13分）如图，货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为155o的方向航行为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125o半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80o求此时货轮与灯塔之间的距离（答案保留最简根号）。 BA C北北155o80 o125o 43、在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状44、已知ABC的内角A，B，C所对的

11、边分别为a，b，c，且a2，cos B.(1)若b4，求sin A的值；(2)若ABC的面积SABC4，求b，c的值45、如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间46、（本题满分13分）的周长为，且（1）求边的长；（2）若的面积为，求角的度数47、已知1xy5，1xy3，求2x3y的取值范围48、为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图)飞机能够测量的数据有俯角和A

12、，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤49、如图所示，已知O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC1，点P是O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧(1)若POB，试将四边形OPDC的面积y表示为关于的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值50、设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2bsin A.(1)求B的大小(2)若a3，c5，求b.51、如图，H、G、B三点在同一条直线上，在G、H两点用测角仪器测得A的仰角分别为，CDa，测角仪器的高

13、是h，用a，h，表示建筑物高度AB.52、如图所示，已知在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60°，BCD135°，求BC的长53、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C.(1)求sin C的值；(2)当a2,2sin Asin C时，求b及c的长54、在ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角(1)求最大角的余弦值；(2)求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积55、如图所示，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB90°，BD交AC于E，AB2.(1)求cosCBE的值；(2

14、)求AE.56、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值57、在ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cos A.(1)求sin2 cos 2A的值；(2)若b2，ABC的面积S3，求a.58、已知某地今年年初拥有居民住房

15、的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.151.6)59、在ABC中，a比b长2，b比c长2，且最大角的正弦值是，求ABC的面积60、已知不等式ax23x6>4的解集为x|x<1或x>b，(1)求a，b；(2)解不等式ax2(acb)xbc<0.61、已知an是首项为19，公差为2的等差数列，S

16、n为an的前n项和(1)求通项an及Sn；(2)设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及前n项和Tn.62、已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角C，求ABC的面积63、如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设AOP，求POC面积的最大值及此时的值64、已知a、b、c分别是ABC中角A、B、C的对边，且（）求角的大小； （）若，求的值65、在

17、ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c2，C.(1)若ABC的面积等于，求a，b.(2)若sin B2sin A，求ABC的面积66、在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，试确定ABC的形状以下是答案一、解答题1、解在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°，即30°<B<45°.由正弦定理知：2cos B(，)，故的取值范围是(，)2、解析：由正弦定理，即，解得，由,，及可得，又由正弦定理，即，解得3、解析：由正弦定理，即，解得，因为，所以或，当时，为直角三角形，此时；当时，所以。4、

18、证明因为在ABC中，2R，所以左边右边所以等式成立，即.5、解设三角形外接圆半径为R，则a2tan Bb2tan Asin Acos Asin Bcos Bsin 2Asin 2B2A2B或2A2BAB或AB.ABC为等腰三角形或直角三角形6、解cos B2cos2 1，故B为锐角，sin B.所以sin Asin(BC)sin.由正弦定理得c，所以SABCacsin B×2××.7、解a2，b6，a<b，A30°<90°.又因为bsin A6sin 30°3，a>bsin A，所以本题有两解，由正弦定理得：sin

19、B，故B60°或120°.当B60°时，C90°，c4；当B120°时，C30°，ca2.所以B60°，C90°，c4或B120°，C30°，c2.8、解，b4.C180°(AB)180°(30°45°)105°，c22.9、解(1)由cos B，得sin B.由b2ac及正弦定理得sin2 Bsin Asin C.于是.(2)由· = 得ca·cosB = 由cos B，可得ca2，即b22.由余弦定理：b2a2c22ac&

20、#183;cos B，得a2c2b22ac·cos B5，(ac)2a2c22ac549，ac3.10、解 （1）·21，·=21.· = |·|·cosB = accosB = 21.ac=35，cosB = ，sinB = .SABC = acsinB = ×35× = 14. (2)ac35，a7，c5.由余弦定理得，b2a2c22accos B32，b4.由正弦定理：.sin Csin B×.c<b且B为锐角，C一定是锐角C45°.11、证明右边·cos B·c

21、os A··左边所以.12、解(1)在ABD中，ADB60°，B45°，由正弦定理得AD24(n mile)(2)在ADC中，由余弦定理得CD2AD2AC22AD·AC·cos 30°，解得CD814(n mile)即A处与D处的距离为24 n mile，灯塔C与D处的距离约为14 n mile.13、在中，m，根据正弦定理，井架的高约为9.3m14、在中，n mile ，根据正弦定理，（nmile） 货轮到达点时与灯塔的距离是约4.29n mile15、70 n mile16、在中，km，根据正弦定理，（km），所以路程比

22、原来远了约km 17、约5821.71m18、解在ABC中，BCA90°，ABC90°，BAC，CAD.根据正弦定理得：，即，AC.在RtACD中，CDACsinCADACsin .即山高CD为.19、解：法一：设ACb，由余弦定理得4b2()22bcos45°，即b22b20，解得b±1.当b1时，cosC，C120°，B15°；当b1时，cosC，C60°，B75°.综上可得：AC1，C60°，B75°或AC1，C120°，B15°.法二：，sinC.C60°或

23、120°.当C60°时，B75°，AC1.当C120°时，B15°，AC1.综上可得：AC1，C60°，B75°或AC1，C120°，B15°.20、解：如图所示，由SADC3和SADCAD·DCsin60°，得3·2·DC·，DC2(1)BDDC1.在ABD中，AB2BD2AD22BD·ADcos120°(1)242(1)×2×6，AB.在ADC中，AC2AD2DC22AD·DCcos60°22

24、2(1)22×2×2(1)×2412，AC(1)在ABC中，cosBAC，BAC.21、证明：建筑物的高是答案：设建筑物的同度是，建筑物的底部是，则是直角三角形，是斜边，所以，所以，22、飞行在150秒内飞行的距离是m，根据正弦定理，这里是飞机看到山顶的俯角为时飞机与山顶的距离飞机与山顶的海拔的差是：(m)，山顶的海拔是m23、=km，在中，根据余弦定理：根据正弦定理： ，在中，根据余弦定理：，在中，根据余弦定理：，所以，飞机应该以南偏西的方向飞行，飞行距离约kmCDBAE24、飞机离A处控照灯的距离是4801.53m，飞机离B处探照灯的距离是4704.21m，飞

25、机的高度是约4574.23m25、在，（m）根据正弦定理， 塔的高度为（m）26、在中，（n mile），根据正弦定理，在中，根据正弦定理，就是，（n mile）(n mile)如果这一切正常，此船从开始到所需要的时间为：（min）即约小时26分59秒所以此船约在11时27分到达岛27、解连接BD，则四边形面积SSABDSCBDAB·AD·sin ABC·CD·sin C.AC180°，sin Asin C.S(AB·ADBC·CD)·sin A16sin A.由余弦定理：在ABD中，BD222422×2

26、×4cos A2016cos A，在CDB中，BD242622×4×6cos C5248cos C，2016cos A5248cos C.又cos Ccos A，cos A.A120°.四边形ABCD的面积S16sin A8.28、解作DMAC交BE于N，交CF于M.DF10(m)，DE130(m)，EF150(m)在DEF中，由余弦定理的变形公式，得cosDEF.即DEF的余弦值为.29、解如图所示：CBD30°，ADB30°，ACB45°AB30，BC30，BD30.在BCD中，CD2BC2BD22BC·BD&

27、#183;cos 30°900，CD30，即两船相距30 m.30、在中，在中，根据正弦定理，所以山高为31、答案：在中，mile，根据正弦定理，到直线的距离是（cm）所以这艘船可以继续沿正北方向航行32、解如图所示，连结A1B2，由已知A2B210，A1A230×10，A1A2A2B2，又A1A2B2180°120°60°，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，B1A1B2105°60°45°，在A1B2B1中，由余弦定理，B1BA1BA1B2A1B1·A1B2·

28、;cos 45°202(10)22×20×10×200.B1B210.因此，乙船速度的大小为×6030(海里/小时)答乙船每小时航行30海里33、解在BDC中，CBD180°30°105°45°，由正弦定理得，则BC(km)在ACD中，CAD180°60°60°60°，ACD为正三角形ACCD(km)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cos 45°2×××，AB(km)答河对岸A、B两

29、点间距离为km.34、解析：（）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（）由为锐角三角形知， ，所以由此有，所以，的取值范围为35、ADC的面积 DAC DAC. DAC, 在ABC中，可求，由余弦定理可求。36、 37、设ABC的三边长为，则又 38、先求SMN ，SNM， NSM在SMN中， 所以货轮的速度是 。39、340、解在ABC中，BAD150o60o90o，AD2sin60o在ACD中，AD2()2122××1×cos150o7，ACAB2cos60o1SABC×1×3×sin60o41、解：1） C120°

30、; （2）由题设： 42、解：在ABC中，ABC155°125°30°，BCA180°155°80°105°， BAC180°30°105°45°， BC25， 由正弦定理，得 AC（海里） 答：船与灯塔间的距离为海里 43、 解(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，A120°.(2)方法一由(1)得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，又A120°，si

31、n2Bsin2Csin Bsin C，sin Bsin C1，sin C1sin B.sin2B(1sin B)2sin B(1sin B)，即sin2Bsin B0.解得sin B.故sin C.BC30°.所以，ABC是等腰的钝角三角形方法二由(1)A120°，BC60°，则C60°B，sin Bsin Csin Bsin(60°B)sin Bcos Bsin Bsin Bcos Bsin(B60°)1，B30°，C30°.ABC是等腰的钝角三角形44、解(1)cos B>0，且0<B<，si

32、n B.由正弦定理得，sin A.(2)SABCacsin B4，×2×c×4，c5.由余弦定理得b2a2c22accos B22522×2×5×17，b.45、解设我艇追上走私船所需时间为t小时，则BC10t，AC14t，在ABC中，由ABC180°45°105°120°，根据余弦定理知：(14t)2(10t)21222·12·10tcos 120°，t2.答我艇追上走私船所需的时间为2小时46、解：（I）由题意及正弦定理，得 ， ， 两式相减，得（II）由的面积

33、，得，由余弦定理，得所以47、解作出一元二次方程组所表示的平面区域(如图)即可行域考虑z2x3y，把它变形为yxz，得到斜率为，且随z变化的一族平行直线，z是直线在y轴上的截距，当直线截距最大且满足约束条件时目标函数z2x3y取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数z2x3y取得最大值由图可知，当直线z2x3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小解方程组，得A的坐标为(2,3)所以zmin2x3y2×23×35.解方程组，得B的坐标为(2，1)，所以zmax2x3y2×23×(1)7.2x3y的取值范围是5,748、解需要测量的数据有：A点

34、到M、N点的俯角1、1；B点到M、N点的俯角2、2；A、B的距离d(如图所示)第一步：计算AM，由正弦定理AM；第二步：计算AN.由正弦定理AN；第三步：计算MN，由余弦定理MN.49、解(1)在POC中，由余弦定理，得PC2OP2OC22OP·OC·cos 54cos ，所以ySOPCSPCD×1×2sin ×(54cos )2sin.(2)当，即时，ymax2.答四边形OPDC面积的最大值为2.50、解(1)a2bsin A，sin A2sin B·sin A，sin B.0<B<，B30°.(2)a3，c5

35、，B30°.由余弦定理b2a2c22accos B(3)2522×3×5×cos 30°7.b.51、解在ACD中，DAC，由正弦定理，得，ACABAEEBACsin hh.52、解设BDx，在ABD中，由余弦定理有AB2AD2BD22AD·BD·cosADB，即142x210220xcos 60°，x210x960，x16(x6舍去)，即BD16.在BCD中，由正弦定理，BC8.53、解(1)cos 2C12sin2C，0<C<，sin C.(2)当a2,2sin Asin C时，由正弦定理，得c4.

36、由cos 2C2cos2C1及0<C<，得cos C±.由余弦定理c2a2b22abcos C，得b2±b120(b>0)，解得b或2，或54、解(1)设这三个数为n，n1，n2，最大角为，则cos <0，化简得：n22n3<01<n<3.nN*且n(n1)>n2，n2.cos .(2)设此平行四边形的一边长为a，则夹角的另一边长为4a，平行四边形的面积为：Sa(4a)·sin (4aa2)(a2)24.当且仅当a2时，Smax.55、解(1)BCD90°60°150°，CBACCD，C

37、BE15°.cosCBEcos(45°30°).(2)在ABE中，AB2，由正弦定理得，即，故AE.56、解(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向如图所示，设小艇与轮船在C处相遇在RtOAC中，OC20cos 30°10，AC20sin 30°10.又AC30t，OCvt.此时，轮船航行时间t，v30.即小艇以30 海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)如图所示，设小艇与轮船在B处相遇由题意，可得(vt)2202(30t)22·20·30t·cos(90&#

38、176;30°)，化简，得v2900400()2675.由于0<t，即2，所以当2时，v取得最小值10，即小艇航行速度的最小值为10海里/时57、解(1)sin2 cos 2Acos 2A2cos2 A1.(2)cos A，sin A.由SABCbcsin A，得3×2c×，解得c5.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得a24252×2×5×13，a.58、解(1)第一年末的住房面积为a·b(1.1ab)(m2)第二年末的住房面积为·ba·2b(1.21a2.1b)(m2)(2)第三年末的住房面积为·ba·3b，第四年末的住房面积为a·4b，第五年末的住房面积为a·5b·1.15ab1.6a6b.依