第四章 微分中值定理与泰勒公式

1、第四章 微分中值定理与泰勒公式一. 设函数f(x)在闭区间0, 1上可微, 对于0, 1上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且, 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.证明: 由条件知0 < f(x) < 1. 令F(x) = f (x)x, 于是F(0) > 0, F(1) < 0, 所以存在x Î (0, 1), 使F(x) = 0. 假设存在x1, x2 Î (0, 1), 不妨假设x2 < x1, 满足f(x1) = x1, f(x2) = x2. 于是 x1x2 = f(x1)f(x2)

2、= . (x2 < h < x1). 所以, 矛盾.二. 设函数f(x)在0, 1上连续, (0, 1)内可导, 且. 证明: 在(0, 1)内存在一个x, 使.证明: , 其中x1满足.由罗尔定理, 存在x, 满足0 < x < x1, 且 .三设函数f(x)在1, 2上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个x, 使 .证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在x1, 1 < x1 < 2, 满足. 所以.所以存在x, 满足1 < x < x1, 且

3、 .四. 设f(x)在0, x(x > 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个x, 使 .证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在0, x上使用柯西定理 , x Î (0, x)所以 , 即.五. 设f(x)在a, b上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个x Î (a, b), 使 证明: 不妨假设a > 0, b > 0. 令. 在a, b上使用拉格朗日定理 六. 设函数f(x), g(x), h(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个

4、x Î (a, b), 使 证明: 令, 则F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个x Î (a, b), 使 七. 设函数f(x)在0, 1上二阶可导, 且f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个x Î (0, 1), 使 证明: (, 二边积分可得, 所以)令 . 由f(0) = f(1) = 0知存在h Î (0, 1), . 所以F(h) = F(1) = 0, 所以存在 x Î (h, 1), . 立即可得八. 设f(x)在x1, x2上二阶可导, 且0 < x1 < x2, 证明:在(x1, x2)内至少存在一个x, 使 证明: 令, 在x1, x2上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个x, 满足 .九. 若x1x2 > 0, 证明: 存在一个x Î (x1, x2)或(x2, x1), 使 证明: 不妨假设0 < x1 < x2. 令, 在x1, x2上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个x, 满足 立即可得 .十. 设f(x), g(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 0, g(x) ¹ 0, 试证: 至少存在一个x &#