历年数学建模竞赛试题

1、数学建模（六）历年建模试题2009年数学建模竞赛题目（A题洁具流水时间设计）我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到世界平均数的四 分之一。特别是近几年来，由于环境污染导致降水量减少，不少省市出现大面积的 干旱。许多城市为了节能，纷纷采取提高水价、电价的方式来抑制能源消费。而另 一方面，据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源（主要是指用水 量）比其它发达国家的同类产品要高出 60沖上。某洁具生产产家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量 为常数V，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供采用。方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开

2、始放水，持续时 间为T,然后自动停止放水。若使用时间不超过 T-5秒，则只放水一次，否则，为 保持清洁，在使用者离开后再放水一次，持续时间为10秒。方案二：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时 间为T,然后自动停止放水。若使用时间不超过 T-5秒，则只放水一次，否则，为 保持清洁，到2T时刻再开始第二次放水，持续时间也为 T。但若使用时间超过2T- 5秒，则到4T时刻再开始第三次放水，持续时间也是 T在设计时，为了使洁具 的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过2次。该厂家随机调查了 100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间（单位：秒） 见下表：时间（秒）

3、128人次1 5 126013 6 3（1）请你根据以上数据，比较上述两种设计方案从节约能源的角度来看，哪 一种更好？并为该厂家提供设计参数 T （秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方 案下能达到最大限度节约水、电的目的；（ 2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的设计方案，请 通过建立数学模型与前面的方案进行比较。数学建模（六）历年建模试题2009年数学建模题目（B题手机购买方案）如今，大学生都把手机当成了一种日常生活中的必需品。同时，越来越多的 商家也已开始把大学生作为手机购买群中最重要的消费群体之一，开始为大学生量 身订做了很多款适合大学生使用的手机。作为一种重要的联络手段

4、，一种高端科技 产品，一种时尚的象征和身份的标志，手机在校园里的普及率已经超乎人们的想 象，在有些院校几乎达到“人手一部”。我们在此并不准备讨论大学生购买手机的 利与弊，而是向目前大量准备购买新手机或者即将更换自己的手机的大学生朋友们 提出一些指导性意见，即考虑功能、价格等因素，给出选择不同品牌手机的决策方 案。数学建模（六）历年建模试题2010年数学建模题目（A题 储油罐的变位识别与罐容表标定）通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的 “油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进 / 出油量与罐内油位高度等 数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应

5、关系）进行实时计 算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生 纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有 关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图 1 是一种典型的储油罐尺寸及形状示 意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图 2 是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图 3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4 的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 =4.10 的纵向变位两

6、种情 况做了实验，实验数据如附件 1 所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的 影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。（2）对于图 1 所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模 型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间 的一般关系。请利用罐体变位后在进 / 出油过程中的实际检测数据（附件 2），根 据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件 2 中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确 性与方法的可靠性。数学建模（六）历年建模试题2010年数学建模题目（B题

7、2010年上海世博会影响力的定量评估）2010 年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从 1851 年伦敦的“万 国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立 数学模型，利用互联网数据，定量评估 2010 年上海世博会的影响力。数学建模（六）历年建模试题2011年数学建模题目（A题 城市表层土壤重金属污染分析）随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量 的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量 数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动

8、影响下城市地质环境的演变模式， 日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园 绿地区等，分别记为1类区、2类区、5类区，不同的区域环境受人类活动 影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1 公里左右的网格子区域，按照每平方公里 1 个采样点对表层土（ 010 厘米深 度）进行取样、编号，并用 GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得 了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照 2公里的间距在那些 远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。附件 1 列出了采样

9、点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件 2列出 了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件 3列出了 8种主要重金属元素的背 景值。现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出 8 种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区 域重金属的污染程度。(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式， 还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？数学建模(六)历年建模试题2011年数学建模题目(B题 交巡警服务平台的设置与调度)“

10、有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安 管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市 区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和 警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理 地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的 一个实际课题。试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：(1)附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交 巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件 2。请为各交巡警服务平 台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在 3 分钟内有交 巡警(警车的时速为60km/h)到达事发地。对于重大突发事件，需要调度全区 20个交巡警服务平台的警力资源，对进出 该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路 口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。（2）针对全市（主城六区 A, B, C, D, E, F）的具体情况，按照设置交巡 警服务平台的原则和任务，分析研究该市现