基于有限元和非线性规划下的板桩墙的极限状态设计

1、基于有限元和非线性规划下的板桩墙的极限状态设计Kristian Krabbenhoft a, Lars Damkilde b,*, Sven Krabbenhoft ba Department of Civil Engineering, Technical University of Denmark, DK-2800 Lyngby, Denmarkb Institute of Chemistry and Applied Engineering Science, Section for Structural Mechanic.Aalborg University Esbjerg,Niels Bh

2、or Vej 8, DK-6700 Esbjerg, Denmark摘 要 考虑板桩墙极限分析下限的设计时。设计时所要解决的问题主要涉及确定板桩墙的屈服力矩，以及板桩墙的入土深度和锚固力，使得该板桩墙结构能够承受给定的外荷载。这一问题可以作为非线性规划问题来处理，从而使得该结构在平衡条件和屈服条件成立的前提下将板桩墙的屈服力矩最小化。采用有限单元法对该结构进行离散化，从而能够精确的使这些条件得以实现，因此，根据下限定理可知，该解决方案是安全的。关键词 板桩墙；可塑性；极限分析；材料优化；有限元；非线性规划1 引言极限分析在土木工程和机械工程领域的实践中已经使用了几十年，有着一定得合理性和准确性

3、，它可以被认为是分析理想刚塑性材料结构的一种手段。这些材料包括钢，混凝土和土壤。以前，大多数人都注意这一问题，即在一个给定的地质条件下，确定一组外荷载作用在一个结构上的设定荷载大小的极限值。这一问题是关于在已知结构中的所有信息，但不知道荷载大小的设定极限值时，何时去估计钢筋混凝土板的承载能力或斜坡的稳定性，比如金属成形问题的挤压力。然而，在进行结构设计时，情况却恰恰相反，即已知外荷载的极限值，而结构的尺寸，边界条件，材料强度等需要通过该结构能够承受在给定的极限荷载这一条件下来确定。因此，极限分析包含了两种不同的情况，一种情况是，已知结构的所有信息但未知该结构的最大允许负荷强度，另一种情况是，已

4、知最大允许负荷强度，但未知该结构的其他信息。下面，我们考虑这两种情况中的第二种情况，并且特别参考板桩墙的设计来说明这一问题的解决方法。这一板桩墙的设计问题将在第七部分说明，先用图1来说明这一问题，如下图所示。给定土壤的容重和相关的强度参数，基于莫尔 - 库仑准则的凝聚力和摩擦角，任务是确定板桩墙的屈服力矩，锚固力，和板桩墙的入土深度。2 问题综述极限分析的定理为设计和分析各种各样的结构提供了强大的工具。起初，在设计时仅仅使用手工计算，因此基于此基础上发展了多种手算的方法。虽然这些方法基于一个共同的理论基础，即极限定理。但是在处理不同问题时，这些方法的形式也会不一样。随着现代计算机的发展，使得将

5、仅能计算小型简单结构的手工计算方法推广到适合于计算大型复杂结构的数值计算的方法成为可能。与大多数手工计算方法一样，数值计算也是基于上限或下限定理，并通过运用这些定理使得结果得到优化。 虽然在确定给定的外荷载组的最终极限大小的问题上已经获得了相当多的关注，但是在给定外荷载的条件下确定结构的强度问题却很少受到关注。然而，在我们看来，这一问题其实能够通过极限分析理论这一强大工具去分析和解决，并且能够充分发挥其正确性，最明显的优势就是对结构的弹塑性进行分析。下面将用一个这样的例子即钢筋混凝土板的设计来说明此问题。在这里，材料强度如果由在板坯的顶部和底部的两个正交层的钢筋来确定的话，那么这种结构的设计需

6、要有四个独立的强度参数来确定。这个问题在此之前已经被很多科学家研究过，比如Damkilde和Hoyer1，Krenk 2，Damkilde和Krenk3，Krabbenhoft和Damkilde4。而且在Poulsen和Damkilde5的研究中也研究过钢筋混凝土板的承载能力。 通常上限定理优先选择用在手工计算上，而下限定理在处理数值运算方面有一些明显的优势。其中该方法最显著之处在于它在进行弹性分析时，很容易被推广到所有共同的结构单元。这可通过有限元概念来阐明。相比之下，在弹性分析中该方法与有限元方法不同的是，该方法是基于应力来分析而不是基于位移。当不同的应力作为变量时，就会建立一组平衡方程。

7、此外，由于受到一些与之有关的屈服条件所限，这一方法的任务就是在一组屈服件的作用下要最小化或最大化一些变量。在荷载优化问题上，最大化的变量便是荷载组的大小，而在材料优化问题上，一些代表该结构所要花费的总的成本变量要最小化。如果所有的平衡，边界和屈服条件都满足的话，那么所得结果当然是安全的，这是另一个合乎需要的特征。计算极限分析的一个重要方面是优化算法的效率。与许多早期的作品中一些比较有名的算法相比，其他更有效的计算方法，最近也已经得到了发展，例如Borges6，Lyamin7和Krabbenhoft和Damkilde8。这些算法的共同特征是，可以将线性以及非线性限制条件包括在优化问题中，而且，所

8、需迭代的数目，一般情况下在20-50步，在很大程度上能独立的解决问题的大小，并且每次迭代或多或少的与基于弹性理论的有限元方程的等效方法的解决方案有相似之处，即在含有数万变量的问题中可以在几分钟内得以解决。2.1. 下限定理方法 荷载优化使用下限定理荷载优化的目的是找到一个应力分布使得一组已经被定义好的外部荷载的强度达到最大化。应力分布必须满足静力的容许值，即所有的平衡方程和屈服的条件都必须满足。对于一个离散的结构单元而言，它的平衡方程可以写成矩阵记号，如下所示：这里是n列和m行的平衡矩阵，是含有n个应力参数的向量，外部荷载由一个恒定部分和另一个部分以及与之成比例的一个标量负荷参数两部分组成。一

9、般情况下，应力变量的数目超过相应所研究结构的静力平衡方程的数目。正如在所有的有限元程序中的平衡矩阵和荷载向量都是从本地元素中装配，这方面可以参见Damkilde和Hoyer1。为了防止不满足屈服条件，需要增加一组附加的限制条件，而且这些限制条件必须被包括在方程内。这些限制条件可以写成以下不等式，如下所示：其中，是预先定义好的的强度参数。这些限制条件将在所有结构中使用，但是最简单的结构也是具有非线性的性质，但通常可以利用一个简单的方式将其进行线性化。在这两组限制条件下，线性平衡方程和非线性屈服准则是不相等的，此时下限定理的荷载优化问题可以写成以下式子，如下所示：2.2. 下限定理方法 材料优化在

10、材料优化方面，外部载荷是已知的，其目的是再次找到一个最佳的应力分布，使得该结构的总成本被最小化。由于成本的量度与屈服准则和强度参数的加权和有关系，这些关系被经常使用，因此这个问题可以写成以下式子，如下所述：其中w是加权因子的载体。当然，如果目标是减少载体的成本，那么目标函数可以与其他相关的量补充，诸如某些边界的加权和。此外，该材料的最优化问题可容易地扩展到包括多个荷载的情况下，这方面可以参考Damkilde和Hoyer1。2.2.1. 板桩墙的设计如前面提到的在设计板桩墙时几个必须知道的数量级，即必要的屈服力矩，锚固力和板桩墙的入土深度。优化问题的一个原则是使这些量的加权和最小化以及可被配制。

11、然而，从一个观测的数值点来看，解决这样的问题，更可能是非凸优化，这将是极其困难的。此外，加权因子的选择，也没有特别的明显。为了简化问题，我们提出了一种两阶段方法。在第一阶段中的每个墙段的屈服力矩是独立设计变量，然后再使屈服力矩的总和最小化。当屈服力矩大致等于零时，此时墙的入土深度可以被选择用来作为必要的入土深度，这是估计所需墙入土深度的一个很好的方法。第二阶段中在给定的板桩墙的入土深度条件下，要确定必要的屈服力矩，此时用一个共同的设计变量来适用所有墙段。在计算锚固力时，要包括容许一个不连续的剪应力作用在墙上的锚固点处，然后基于平衡条件下来确定锚固力的大小。3 有限单元的离散化处理利用有限元离散

12、化处理时，必须使三种不同类型的平衡方程都能得到满足。一个土体单元的平衡方程可以写成如下式子：其中指土的容重，方向竖直向下，和通常在这里表示直角坐标系的两个变量，如图一所示。板桩墙也必须满足横向和纵向的平衡方程，如下所示：其中和代表横向和纵向的线荷载。 因此，在有限元单元的各种类型中，式和式适用于板单元，式适用于梁单元，式适用于桁架单元。下面我们将采用由和使用过的单元来分析钢筋混凝土结构。这些单元都能满足以上平衡方程，然后联立这些方程即可得到下限定理的精确解。3.1. 板单元如图2所示的板单元，能够得到应力的线性变化。与大多数有限元采用位移作为变量相比，这种情况下所采用的是应力变量，这些应力变量

13、是归因于独立单元的局部结点，而不是整体网格中的结点。这些不连续应力场出现的原因是由于要求单元界面上的正应力和剪应力连续，从而使得在静力容许值下应力场离散而不连续，见图2。由于应力变化是线性的，这些条件必须在每个单元的两个点处被限制。应力分布可用面积坐标的插值来代替，如下式所示： 对面积坐标求导后，式和式可以写成如下式子；其中代表三角形单元的面积，代表三角形单元的厚度，其中表示结点的编码。如图2所示的符号，正应力和剪应力的公式可表示成如下式子；其中是指边的长度。的值取1或2，代表每个边的起点和终点。这些剪应力和正应力被用来作用于单元界面处使得结点达到平衡，以及将梁单元和桁架单元与板单元耦合在一起

14、。3.2. 桁架单元板桩墙的正应力分布可借助桁架单元来模拟。如图中3所示，桁架单元被沿板单元边分布的剪切应力耦合到板单元。由于沿板的边缘的剪应力的分布是线性的且可看作是桁架单元中正应力的二次内插值，这样做的目的确切的说是为了满足（8）式。正应力的插值式可表示成如下式子；其中，如图3所示。则式的平衡方程就可以写成如下式子；其中指的是桁架单元的长度。除了这些平衡条件外，在每个节点上的应力平衡也必须要满足。3.3. 梁单元虽然桁架单元通过剪应力和板单元耦合在一起，而梁单元则是通过正应力和其耦合在一起。因此，为了能够精确完成（7）式，此时需要一个三次插值多项式。使用预先定义的平衡方程式（7）的表示法，

15、可以将其写成离散的形式，如下式所示；同样，确保结点平衡的条件必须被加强，这样做的目的是为了使每个结点上力矩和力都能达到平衡，其中两个节点上力的平衡方程包括桁架单元的正应力和梁单元的剪应力。每个单元端点的剪应力可以表示成如下式子：3.4. 总平衡方程对于一般的板梁桁架体系而言，总平衡方程包括整体平衡方程和局部平衡方程，通过不同单元的形式以及耦合条件将这两个方程联系在一起。总平衡方程可写成如下式子：这里分别代表体力，横梁荷载和纵向桁架荷载。分别代表板边的应力，梁节点弯矩和梁桁架节点力。将（5）（8）式联立起来后能得到整体平衡方程，而局部平衡条件能够确保板单元和梁桁架体系之间的连续性以及在每个节点上

16、力和力矩的平衡。此外，板边剪应力和正应力使得梁单元和桁架单元与其耦合在一起。用一个更加直观的式子将总平衡方程写成如下式子：除了这些平衡条件之外，包括一些平衡不等式也可能是必要的。例如，对于板桩墙而言，一个指向向下的正应力是必需的。此外，还需要指定墙面的粗糙程度从而建立不等式，比如剪切强度能够在板单元和桁架单元之间传递。类似于（17）式，这些条件所建立的方程可以写为如下式子；4 屈服条件在岩土工程领域中对土的粘着力和摩擦力的分析，我们通常假设屈服条件要满足莫尔 - 库仑屈服准则。在平面应变中，使用这个准则的前提是，应力必须满足如下不等式；其中是粘着力，是摩擦角。 通常情况下，一根梁在正应力和弯矩

17、共同作用下的屈服条件可以写成如下不等式；其中是屈服强度。通常情况下是通过所选横截面的几何形状来确定的。对于矩形横截面而言，一个常用的不等式如下式所示；其中分别表示塑性弯矩和正应力。然而，在板桩墙的设计中，强的强度通常仅仅考虑弯曲强度，弯矩有以下限制条件；这一准则将在下面使用。应当强调的是，使用优化方法来解决下界材料优化问题时，是决不会限制上述屈服准则。例如DruckerPrager准则可作为一个备选准则，在实际问题中也很容易实现。5优化问题的设计综述正如已经讨论过的设计方针中包括使墙的屈服力矩的总和以及由每一个独立的设计参数所指定墙的部分最小化。这一问题可以写成如下所示；其中函数表示莫尔库仑准

18、则在每个板单元应力点上的限制条件，e代表那些部分中的向量，中包含设计屈服力矩的向量。最优化问题的解决方案中给出了墙的必要深度的一个很好的判决条件，即当屈服力矩近似等于零时，会发现低于其必要的深度。接着，当墙的深度已知时，这一阶段的两个问题是要找到屈服力矩以及由同一个参数所定义的所有墙的部分。这一问题可以写成如下式子：6 优化问题的解决方法最优化问题的解决方案是通过使用已经被证明是非常有效的相对于该荷载的优化问题的内点算法得以实现，这一问题可以参考Krabbenhoft和Damkilde8。由于材料的优化问题与结构线性目标非常相似，非线性方程和线性方程都有类似的效率。所以应在研究材料优化这一问题

19、的情况下，应该予以使用。下面将材料优化问题的解决的运算法则可写成下式：通过增加一些带有限制性的松弛变量，可将不等式转变为等式。这些松弛变量可通过对数障碍函数将其纳入到计算目标中，使得松弛变量与其没有明确的正相关性，这一做法是必要的。那么，改进后的问题可以写成如下式子；其中表示一个参数，它随着问题的解决方法的实现而逐渐减小。上式的对数障碍函数也可以写成如下式子；其中表示拉格朗日乘子。由于（26）式成立的屈服条件是一个凸规划问题，即非线性问题和所有其他受限制的线性问题，解决最优化问题可以通过求解一阶库恩 - 塔克条件中解决，可参见NASH和SOFER9，其中拉格朗日的一阶导数应该在最佳优化问题中予

20、以删去。这将会产生了以下情况，如下所示；然后再将联立起来。6.1.上限和下限定理之间的对偶方法上限和下限定理之间的可塑性的双重性在数学规划的对偶理论中是类比关系。最初这一问题被表述为最小化问题，它可以与一个同样是求解该目标值的初始问题构建一个最大化对偶问题，但这些变量在每个问题中的作用是不同的。用极限分析对框架结构进行离散化时意味着，将这一初始问题描述成下限问题，当然，它同样有可能构建成类似上限问题。在荷载优化这一问题上，当上限和下限定理被独立的分开后，这一对偶性是有着明确的物理解释，然后借助于对偶性来证明是等价的。然而，当涉及到材料优化问题时，最早阐述这一问题是利用下限定理，而上限定理在材料

21、优化问题上只能间接地被表述。考虑到下限的问题（25）式的线性化，可以通过它们的一阶泰勒展开式在屈服曲面上的点（R *，L *）左右领域内更换非线性不等式，即其中等式成立的前提是。然后线性化材料的优化问题可以表述为；这一问题的对偶性，可参见例 9，这是上限材料优化问题。倒塌（速度）时的位移是受向量所控制，这两个向量里含有塑性乘子。最小化的数量级等于外功减去由内功产生的一些恒定不变的值，而总的内功是有限的。如在位移和应变之间的关系问题可通过上限荷载最优化问题来解决。这些限制性条件等同于最优条件（29）和（28）式。最优条件（31）和（32）式相当于初始下限材料优化问题（25）式所述的屈服和平衡的限

22、制条件。两个问题中的变量相关性的条件可被表述为互补的松弛条件（30）式，其中，通过使用（28）和（29）及（31）和（32）式，很容易显示出与要求在（25）和（35）的目标之间的差消失是等同的。一个相当特别的事实是，该材料的强度并没有直接的引入到上限材料优化问题里，而是必须由对偶变量来确定这个问题。这从实际使用上似乎排除了上限材料的优化问题，由于设计变量的附加要求，而不能直接施加，只能通过对偶性来研究。然而，这两个问题之间的对偶性，在确定结构破坏的位移时是有用的。这将在下面解决有关问题时有所运用。对于想进一步对上/下限对偶性的问题进行研究，相关的细节，我们可参考Krenk2，Krabbenho

23、ft和Damkilde8。6.2.求解算法库恩塔克条件即（28）（32）式通过应用牛顿的方法可以解决。运用这一方法时，当变量增加时，可以这么来计算。如下所示；该算法开始于一个初始值，这一初始值可从该初始障碍参数中计算。如下所示：其中p是不等式约束条件的数目。该算法是通过计算增量来得以实现，最后变量被替换，使得S和k始终保持迭代。根据（39）式或类似的运算法则可知，从一开始起，每次迭代的障碍参数pk都在减少。 该算法在实际运用的进一步的细节可以在Krabbenhoft和Damkilde8中找到。6.2.1.检测不可行性如果板桩墙的入土深度是基于第一阶段问题即（23）式来进行估计时，在这一情况下是

24、不充分的，而且也不能解决由第二阶段即（24）将要产生的问题。这可能会在算法收敛性优化方面产生严重的数值问题，即得到的结果将永远不会收敛并且该算法因此也不会终止。为了避免这种情况，我们实行一套略有不同的平衡方程，并在同一时间改变目标函数，使得所要解决的问题可以写成如下式子；正如所看到的，平衡方程并不是一定要满足的。因此，应该始终存在一个解决方案。如果可能的话，要强制平衡方程是满足的，那么就必须在目标函数中通过大数L，使得不平衡问题平衡化。也可以使用检测不可行的其它方法，例如见Nash和SOFER9。7实例分析下面，我们考虑图1中所示的板桩墙的设计。其中以上，以下，。所研究的所有土体以及沙子，均认

25、为它的强度参数。计算中考虑粗糙和光滑的悬臂墙以及锚固墙。首先要解决的是在给定的墙深度条件下求解必要的屈服力矩的问题，其次，用于确定墙深度问题同确定必要的屈服力矩的过程一样会给出其求解过程。7.1.必要的屈服力矩的确定计算中将主要求解四个不同形式的墙。这四种墙首先由Brinch Hansen10的方法来进行设计，从而可解出必要的屈服力矩，墙的入土深度，以及锚固力。当墙的入土深度被确定后，然后利用下限定理进行计算，目的是为了得到必要的屈服力矩。在用Brinch Hansen的方法时，一个断裂图相当于板桩墙的一种破坏模式被假定。这种断裂图是由直线和圆构成，相应的应力分布可由方程确定。为了简化计算，B

26、rinch Hansen引入了等效土压力系数。严格的说，近似线性应力分布只有在区域断裂问题中才是有效的。而且，断裂图中有一些不能直接用在静态，而且，圆形断裂图只能用在动态上，此时。因此，采用这个方法得到的答案，既不是真实的上限解，也不是真实的下限解。7.1.1.悬臂式板桩墙 对于悬臂墙的计算结果在表1进行展示。从该表可以看出，计算的结果与Brinch Hansen方法所得的结果几乎一致。对于表面粗糙的墙，利用下限定理的方法计算出的必要的屈服力矩的结果比Brinch Hansen方法得到的结果将近大了3%，而对于表面光滑的墙，利用下限定理的方法计算出的必要的屈服力矩的结果和手算得出的结果几乎一致

27、。 通过二元性来推导速度场，如图4（a）和（b）所示。确定好速度场后，可由此来定义表面粗糙墙的P 断裂关系和表面光滑的P 断裂关系。在主动边上，断裂线与地面之间的夹角应该是，在被动边上。这一结果的准确度是在我们所能预计的范围内。7.1.2.锚固墙 一个锚具被固定在7m的高度上。这将会急剧的降低墙的必要的屈服力矩以及墙的入土深度。这一结果被列在表2.此外，利用Brinch Hansen方法得出的必要的屈服力矩结果要比用下限定理得出的结果将近大了5% - 8%。然而，锚固力却相差很大，利用下限定理得出的锚固力结果要比利用Brinch Hansen方法得出的结果大了将近40%。速度场可见图5（a）和

28、（b）。用Brinch Hansen所假定的屈服铰来定义墙的断裂图，这样就会使每个墙的部分都能够被独立的定义。对于表面粗糙和表面光滑的墙，都能得出两种不同的断裂图。对于表面粗糙的墙且在屈服铰线以下的部分可定义一个P 断裂关系，对于表面光滑的墙也可得到。对于在屈服铰线以上的部分，相应的断裂图就很难去归类了。然而，所有图顶部右边的三角形区域可看成与AaR 断裂图相似。 7.2.墙的入土深度和屈服力矩的确定这部分，将要考虑完全设计问题。利用之前所采取的表面光滑的悬臂墙来作为这个例子。第一阶段的问题是，我们可初步估计墙的一个必要的深度为12m，在这个条件下，每个屈服力矩能够被单独地优化。力矩分布的结果

29、如图6（a）所示。在邻近弯矩为0的点，这一状况却急剧上升，如图6（b）所示。如图可知，当入土深度为-8.9m时，弯矩近似等于0。因此，这墙的一个合适的必要的入土深度就可去-9m。在第二阶段的问题中，这个值能够说明这一深度是很充分的。因此可得必要的屈服力矩为983Kn.m，第一次分析所得到的结果为982 Kn.m，而此时墙的入土深度也减少了0.6m。在第一阶段问题中，每个屈服弯矩加权相同。然而，一个更加现实的权重就是增加深度的加权因素，夯实的成本也直接地考虑到目标成本里。而且，锚固的位置也可以看作为一个变量，同时，随着深度的增加，成本的花费也在增加。7.3.在分层土里的板桩墙现在可以考虑一个更加

30、切实可行的例子，如图7所示。墙表面假设是粗糙的，在排水条件下的土的强度参数如表3所示。在地下水位，要减少土的容重，用这一容重代替。正如之前部分所描述的一样，第一阶段的过程是通过估算一个必要的墙的最小入土深度来对墙的收益性进行设计。接下来，通过最小化墙的屈服力矩这一方法，可得出这一估计值是可行的。在这一过程中，会发现这必要的最小墙的入土深度接近。相应的屈服力矩和锚固力同样能够得出。弯矩和土压力的分布如图8所示。在锚固点处能得到弯矩的负极大值，而在-7.0m处能够得到弯矩的正极大值。图9很好的展现了这点的位置和速度场。这里，锚固点的转动以及在-7.0m处的屈服铰线都能很清楚的观察到。能够观察到土压

31、力的分布图呈现出一种相当不光滑的变化。对于其他构造以及使用比目前计算所用网格更好的网格，同样能够观察到这一结果。这或许意味着，这一结果对土压力精确度而言是不敏感的，所计算的最小值也是相当单调的。这可通过迭代计算来说明，其通常比大多数其他问题所需迭代次数要多。因此，一般情况下，对于承载能力问题，通常需要20-40次迭代，而这里所考虑的问题往往需要80-100次迭代。8结论从一个极限分析材料的优化点来考虑板桩墙的设计。无论是表面光滑和表面粗糙的悬臂式板桩墙，还是锚定墙都已经被设计，计算和分析。得到的结果与传统算法Brinch Hansen方法的到的结果进行了比较，两个结果也是相当一致和吻合的。然而

32、，相比之下，通过下限定理得到的结果，用于板桩墙的设计也是安全的。在这篇论文里的设计过程中，其主要目的是为了使板桩墙的屈服力矩最小化，从而使该过程也得到了发展。然而，当然也完全可以把板桩墙的入土深度和屈服力矩作为两个变量，从而可构造两者之间相互关系的图表。在设计过程中，把板桩墙的入土深度和屈服力矩联系在一起，会确保高度的灵活性，基于这样的图表可以很容易地选择在一组实际的限制条件下如何使板桩墙的极限设计达到最优化。参考文献1 Damkilde L, H鴜er O. An efficient implementation of limit state calculations based on lower-bound solutions. Comput Struct 1993;49(6):95362.2 Krenk S, Dam