(新高考)2020版高考数学二轮复习专题过关检测(九)导数的单调性、极值、最值问题文

1、6专题过关检测(九)导数的单调性、极值、最值问题1. (2019 洛阳尖子生第二次联考)已知函数f (x) =mxn in x, mC R.x(1)若函数f(x)的图象在(2, f(2)处的切线与直线x y=0平行，求实数n的值;(2)试讨论函数f(x)在区间1, +8)上的最大值.一 一n-xn- 2解：由题意得 f ' (x) =，. f' (2)=、一.x4由于函数f(x)的图象在(2 , f(2)处的切线与直线 x- y=0平行，n 24 = 1,解得 n=6.n-x ,.一晶,1(2) f (x) = -l,令 f (x)<0 ,得 x>n ；令 f (

2、x)>0 ,得 x<n. x当n< 1时，函数f(x)在1 , +°°)上单调递减， f (x) max= f (1) = rn- n;当n>1时，函数f (x)在1 , n)上单调递增，在(n, 十°°)上单调递减,.f (x) max= f(n) = m-1 - in n. bb ,2.已知x= 1是f (x) = 2x+-+In x的一个极值点.x(1)求函数f(x)的单调递减区间.(2)设函数g(x) = f (x) -3-a若函数g(x)在区间1,2内单调递增，求a的取值范围. x解：(1)f(x)的定义域为(0, +8

3、), f' (x) = 2-；b2+1, xC (0 , +00).x x一， 一b ,因为x= 1是f (x) = 2x + 1+ In x的一个极值点,x所以 f' (1) = 0,即 2b+ 1 = 0.解得b=3,经检验，适合题意，所以 b=3.(x)=2- -+- =2x2 + x3解 f ' (x)<0 ,得 0Vx<1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1 .(2) g(x) =f(x)-3-a =2x+ln x-a(x>0), xx,1 ag (x) = 2+-+-2(x>0). x x因为函数g(x)在1,2上单调递增,所以

4、g' (x)>0在1,2上恒成立，即2 + +4>0在1,2上恒成立，所以 a>- 2x2-x在1,2上恒成立，所以 a> ( 2X X) max, X C 1,2.因为在1,2上，(2x x) max= - 3,所以a>- 3,即a的取值范围为 3,十).3. (2019 沈阳质量监测)已知函数f(x) =(x1)2+mn x, mC R.(1)当m= 2时，求函数f(x)的图象在点(1,0)处的切线方程；(2)试讨论函数f(x)的单调性.解：(1)当 m= 2 时，f (x) = (x- 1)2+2ln x,其导数 f ' (x) = 2(x1

5、)+：，所以f ' (1) = 2,即切线斜率为2,又切点为(1,0)，所以切线方程为2x-y-2= 0.(2)函数f(x)的定义域为(0, +8),2一,m 2x - 2x + mf (x) = 2(x-1)+- = x令 g(x) = 2x22x+m x>0,111其图象的对称轴为x = 2, g 2 =m-2, g(0) =mf(x)在(0, +8)上单调递11当 g 2 >0,即 m>2时，g(x) >0,即 f' (x)>0,此时,增;111 /1 2m1 +、/1 2m当 g 2 <0 且 g(0)>0 ,即 0Vm<

6、2时，令 g(x) =0,则 x1 = 2, x2 =2,1t ,_11 /1 2m上单调递增，在此时，f (x)在 0,、1一寸1 2m2，1+2m上单调递减;当 g(0) <0,1 + 1 一 2m即 mco 时，令 g(x) = 0,贝U xc=%, f(x)在 0,1+、1 2m r2一上单调递减，在1十 41 2m2，+ OO上单调递增.4. (2019 兰州诊断)已知函数 f (x) =1x3-1(a2+a+2)x2+ a2(a+ 2)x, aC R.32(1)当a= 1时，求函数y = f(x)的单调区间;(2)求函数y=f(x)的极值点.解：(1)当 a=1 时，f(x)

7、 = 1x3x2 + x, 3f' (x)=x2-2x+1 = (x-1)2>0,函数f(x)的单调递增区间为(8, +8),无单调递减区间.(2) .(x) =x2-(a2+a+2)x+a2(a+2) = (x-a2) x-(a + 2),当a=1或a=2时，a2=a+2, f' (x) >0恒成立，函数f(x)为增函数，无极值点.当a<1或a>2时，a2汨+2,可得当xe(8, a+2)时，f' (x)>0,函数f(x)为增函数；当 xe(a+2, a2)时， f' (x)<0,函数f(x)为减函数；当xC(a2,+8)时

8、，1(x)>0 ,函数f(x)为增函数.，当x=a+2时，函数f(x)有极大值f(a+2)；当x=a2时，函数f(x)有极小值f (a2).当一1<a<2 时，a2<a+2,可得当 xe( 8, a2)时，(x)>0 ,函数 f (x)为增函数；当 xe (a2, a+2)时，f' (x)<0 , 函数f(x)为减函数；当xC(a+2,+8)时，f' (x)>0,函数f(x)为增函数.，当x=a+2时，函数f(x)有极小值f(a+2)；当x=a2时，函数f(x)有极大值f (a2).5.已知常数 aw0, f(x) = aln x+2x

9、.当a= 4时，求f (x)的极值；(2)当f (x)的最小值不小于一a时，求实数a的取值范围.解：(1)由已知得f(x)的定义域为xC (0, +8),a(x)=x+2 =a+ 2xx当 a= 4 时，f' (x) =2x 4x.当0<x<2时，f' (x)<0,即f(x)单调递减；当x>2时，f' (x)>0,即f(x)单调递增.，f(x)只有极小值，且在 x=2时，f(x)取得极小值f(2) =4 4ln 2.(2)f'a+ 2x(x) = -x,x当a>0, xC(0, +8)时，(x)>0,即f (x)在xC

10、(0 , +oo)上单调递增，没有最 小值；1a当 a<0时，由 f (x)>0 得，x>-2, f (x)在一 +°°上单调递增；一 a由 f (x)<0 得，x<-2,a1' f (x)在0, 2上单调递减.aa a，当 a<0 时，f(x)的最小值为 f 2 = aln 2 +2 -.aa a根据题意得 f 2 =aln - +2 -2 >-a,即 aln( a)In 2 >0.-2<O,ln( a)In 2 <0,解得 a>- 2,，实数a的取值范围是2,0).6.已知函数 f(x) = 4x

11、33x2cos 0 +1*os 0 ,其中 xCR, 0 为参数，且 0W 0<2兀.(1)当cos 0 =0时，判断函数f(x)是否有极值；(2)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数 e的取值范围. 3解：(1)当 cos 8 = 0 时，f(x) =4x , xC R.所以f ' (x) = 12x2>0,所以函数f(x)无极值.(2)因为( x) = 12x26xcos 0 ,设 f' (x) = 0,得 xi = 0, x2=2,由(1)可知，只需分下面两种情况讨论：当cos 0 >0时，当 xC(8, 0)时，f ' (x)>0 ,

12、f(x)单调递增；当 xC 0, cosj-时，f' (x)<0, f(x)单调递减；当 xC cos2 6 , +8 时，f' (x)>0, f(x)单调递增.所以当x=cos2&时，f(x)取得极小值，cos 0133极小值 f -2 = 4cos e + 16cos e,cos 0133要使 f -2 >0，则有一4cos 8 +160os 8>0，3所以 0<cos e < 2 ,因为0W 8 <2兀，故 专< 0 <5-或斗；< 0 <<.6226当cos e <0时，当 xe 巴 cos2 e 时，f'(x)>0, f(x)单调递增；当 xC cos2 e , 0 时，f ' (x)<0 , f(x)单调递减；