2022届高考数学总复习教学案数系的扩充与复数的引入

1、数系的扩充与复数的引入知识能否忆起一、复数的有关概念1复数的概念：形如abi(a，br)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部假设b0，那么abi为实数；假设b0，那么abi为虚数；假设a0，b0，那么abi为纯虚数2复数相等：abicdiac，bd(a，b，c，dr)3共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd0(a，b，c，dr)4复数的模：向量oz的长度叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.二、复数的几何意义复数zabi复平面内的点z(a，b)平面向量.三、复数的运算1复数的加、减、乘、除运算法那么设z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)，那么：(1)加法：

2、z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1·z2(abi)·(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)除法：(cdi0)2复数加法、乘法的运算律对任意z1，z2，z3c，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)；z1·z2z2·z1，(z1·z2)·z3z1·(z2·z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3.小题能否全取1(教材习题改编)ar，i为虚数单位，假设(12i)(ai)为纯虚数，那么a的值等于()a6b2c2d

3、6解析：选b由(12i)(ai)(a2)(12a)i是纯虚数，得由此解得a2.2(2022·湖南高考)假设a，br，i为虚数单位，且(ai)ibi，那么()aa1，b1ba1，b1ca1，b1da1，b1解析：选d由(ai)ibi，得1aibi，根据两复数相等的充要条件得a1，b1.3(2022·天津高考)i是虚数单位，复数()a1ib1ic1id1i解析：选c1i.4假设复数z满足2i，那么z对应的点位于第_象限解析：z2i(1i)22i，因此z对应的点为(2,2)，在第二象限内答案：二5假设复数z满足zi，那么|z|_.解析：因为zi13ii14i，那么|z|.答案：1

4、.复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意(1)|z|z0|a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a；(2)|zz0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离2复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略：zabirb0(a，br)；zrz.(2)证明复数是纯虚数的策略：zabi为纯虚数a0，b0(a，br)；b0时，z2bi为纯虚数；z是纯虚数z0且z0.复数的有关概念典题导入例1(1)(2022·陕西高考)设a，br，i是虚数单位，那么“ab0”是“复数a为纯虚数的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件

5、(2)(2022·郑州质检)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于()ab.c.d2自主解答(1)假设复数aabi为纯虚数，那么a0，b0，ab0；而ab0时a0或b0，a不一定是纯虚数，故“ab0”是“复数a为纯虚数的必要不充分条件(2)，依题意有22b4b，解得b.答案(1)b(2)a由题悟法处理有关复数的根本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理由于复数zabi(a，br)由它的实部与虚部唯一确定，故复数z与点z(a，b)相对应以题试法1(2022·东北模拟)1yi，其中x，y是实数，i是虚数

6、单位，那么xyi的共轭复数为()a12ib12ic2id2i解析：选d依题意得x(1i)(1yi)(1y)(1y)i；又x，yr，于是有解得x2，y1.xyi2i，因此xyi的共轭复数是2i.复数的几何意义典题导入例2(2022·山西四校联考)复数z的实部为1，虚部为2，那么(i为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限自主解答选c依题意得，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第三象限由题悟法复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法

7、那么或三角形法那么解决问题以题试法2(1)在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为a，b，假设c为线段ab的中点，那么点c对应的复数是()a48ib82ic24id4i(2)(2022·连云港模拟)复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面上对应的点分别为a，b，c，假设，(，r)，那么的值是_解析：(1)复数65i对应的点为a(6,5)，复数23i对应的点为b(2,3)利用中点坐标公式得线段ab的中点c(2,4)，故点c对应的复数为24i.(2)由条件得(3，4)，(1,2)，(1，1)，根据得(3，4)(1,2)(1，1)(，2)，解得1.答案：(1)c(2)1复数的

8、代数运算典题导入例3(1)(2022·山东高考)假设复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，那么z为()a35ib35ic35id35i(2)(2022·重庆高考)复数()aibic.id.i自主解答(1)z35i.(2)i.答案(1)a(2)c由题悟法1复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式2记住以下结论，可提高运算速度：(1±i)2±2i；i；i；bai；i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nn)以题试法3(1)(2022·山西四校联考)设复数z的共轭

9、复数为，假设z1i(i为虚数单位)，那么z2的值为()a3ib2icidi(2)i为虚数单位，4_.解析：(1)依题意得z2(1i)22ii2ii.(2)44i41.答案：(1)d(2)11(2022·江西高考)假设复数z1i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，那么z22的虚部为()a0b1c1d2解析：选az1i，1i，z22(z)22z440，z22的虚部为0.2(2022·北京高考)在复平面内，复数对应的点的坐标为()a(1,3) b(3,1)c(1,3) d(3，1)解析：选a由13i得，该复数对应的点为(1,3)3(2022·长春调研)假设复数(ai)2在

10、复平面内对应的点在y轴负半轴上，那么实数a的值是()a1b1c.d解析：选b因为复数(ai)2(a21)2ai，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a21,2a)，又因为该点在y轴负半轴上，所以有解得a1.4(2022·萍乡模拟)复数等于()a.bc.idi解析：选b.5(2022·河南三市调研)i为虚数单位，复数z，那么|z|()aib1ic1idi解析：选b由得zi，|z|i|1i.6(2022·安徽名校模拟)设复数z的共轭复数为，假设(2i)z3i，那么z·的值为()a1b2c.d4解析：选b设zabi(a，br)，代入(2i)z3i，得(2ab)(

11、2ba)i3i，从而可得a1，b1，那么z·(1i)(1i)2.7(2022·长沙模拟)集合m，i是虚数单位，z为整数集，那么集合zm中的元素个数是()a3个b2个c1个d0个解析：选b由得mi，1，i,2，z为整数集，zm1,2，即集合zm中有2个元素8定义：假设z2abi(a，br，i为虚数单位)，那么称复数z是复数abi的平方根根据定义，那么复数34i的平方根是()a12i或12ib12i或12ic724id724i解析：选b设(xyi)234i(x，yr)，那么解得或9在复平面内，复数1i与13i分别对应向量和，其中o为坐标原点，那么|_.解析：由题意知a(1,1)

12、，b(1,3)，故|2.答案：210复数z1i，那么_.解析：z1(i)i2i.答案：2i11设复数z满足|z|5且(34i)z是纯虚数，那么_.解析：设zabi(a，br)，那么有5.于是(34i)z(3a4b)(4a3b)i.由题设得得ba代入得a2225，a±4，或43i或43i.答案：±(43i)12._.解析：13i.答案：13i13(2022·上海高考改编)复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，那么z2_.解析：(z12)(1i)1iz12i.设z2a2i，ar.那么z1·z2(

13、2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1·z2r，a4.z242i.答案：42i14假设复数za21(a1)i(ar)是纯虚数，那么的虚部为_解析：由题意得所以a1，所以i，根据虚部的概念，可得的虚部为.答案：1(2022·山东日照一模)在复数集c上的函数f(x)满足f(x)那么f(1i)等于()a2ib2c0d2解析：选d1ir，f(1i)(1i)(1i)2.2i为虚数单位，a为实数，复数z(12i)(ai)在复平面内对应的点为m，那么“a>是“点m在第四象限的()a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选cz(12i)(ai)(

14、a2)(12a)i，假设其对应的点在第四象限，那么a2>0，且12a<0，解得a>.即“a>是“点m在第四象限的充要条件3复数zxyi(x，yr)，且|z2|，那么的最大值为_解析：|z2|，(x2)2y23.由图可知max.答案：4复数z(m25m6)(m22m15)i，与复数1216i互为共轭复数，那么实数m_.解析：根据共轭复数的定义得解之得m1.答案：15z是复数，z2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解：设zxyi(x，yr)，那么z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4

15、)i.由题意得x4，z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i.由于(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，解得2<a<6.实数a的取值范围是(2,6)6设z是虚数，z，且1<<2.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；(2)设u，求证：u为纯虚数解：(1)设zabi(a，br，b0)，abii，是实数，b0.又b0，a2b21.|z|1，2a.1<<2，<a<1，即z的实部的取值范围是.(2)ui.<a<1，b0，u为纯虚数1bi(a，br)，其中i为虚数单位，那么ab()a1b1c2d3解析：选b2aibi，由复数相等

16、的条件得b2，a1，那么ab1.2对任意复数zxyi(x，yr)，i为虚数单位，那么以下结论正确的选项是()a|z|2ybz2x2y2c|z|2xd|z|x|y|解析：选dz2yi，|z|2|y|，选项a、c错误；而z2(xyi)2x2y22xyi，选项b错误；而|z|，|z|2x2y2，(|x|y|)2x2y22|xy|x2y2，因此|z|x|y|.3虚数z，使得z1和z2都为实数，求z.解：设zxyi(x，yr，且y0)，那么z2x2y22xyi，z1，z1r，又y0，x2y21，同理，由z2r得x22xy20，解得z±i.三角函数、解三角形平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选

17、择题(此题共12小题，每题5分，共60分)1(2022·新课标全国卷)复数z的共轭复数是()a2ib2ic1id1i解析：选dz1i，所以1i.2(2022·潍坊模拟)x，cosx，那么tan2x()a.bc.d解析：选d依题意得sinx，tanx，所以tan2x.3(2022·广州调研)设复数z113i，z232i，那么在复平面内对应的点在()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限解析：选d因为，所以在复平面内对应的点为，在第四象限4(2022·邵阳模拟)a(1，sin2x)，b(2，sin2x)，其中x(0，)假设|a·b|a|b|，那么

18、tanx的值等于()a1b1c.d.解析：选a由|a·b|a|b|知，ab，所以sin2x2sin2x，即2sinxcosx2sin2x，而x(0，)，所以sinxcosx，tanx1.5(2022·福州质检查)“cos是“cos2的()a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选acos，cos22cos212×1，由cos可推出cos2.由cos2得cos±，由cos2不能推出cos.综上，“cos是“cos2的充分而不必要条件6假设函数f(x)sin(0,2)是偶函数，那么()a.b.c.d.解析：选cf(x)为偶函

19、数，k(kz)，3k(kz)又0,2，.7在abc中，a，b，c分别为角a，b，c所对的边，假设ccosab，那么abc()a一定是锐角三角形b一定是钝角三角形c一定是直角三角形d一定是斜三角形解析：选c在abc中，因为ccosab，根据余弦定理，得c·b，故c2a2b2，因此abc一定是直角三角形8设点a(2,0)，b(4,2)，假设点p在直线ab上，且|2|，那么点p的坐标为()a(3,1) b(1，1)c(3,1)或(1，1) d无数多个解析：选c设p(x，y)，那么由|2|，得2或2.(2,2)，(x2，y)，即(2,2)2(x2，y)，x3，y1，p(3,1)，或(2,2)

20、2(x2，y)，x1，y1，p(1，1)9(2022·福州质检)将函数f(x)sin2x(xr)的图象向右平移个单位后，所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是()a.b.c.d.解析：选b将函数f(x)sin2x(xr)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)sin2cos2x的图象，那么函数g(x)的单调递增区间为，kz，而满足条件的只有b.10(2022·西安名校三检)tan，sin()，且，(0，)，那么sin的值为()a.b.c.d.或解析：选a依题意得sin，cos；注意到sin()<sin，因此有>(否那么，假设，那么有0<<，0<

21、;sin<sin()，这与“sin()<sin矛盾)，cos()，sinsin()sin()coscos()sin.11(2022·河南三市调研)在abc中，三个内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且b2a2acc2，ca90°，那么cosacosc()a.b.cd解析：选c依题意得a2c2b2ac，cosb.又0°<b<180°，所以b60°，ca120°.又ca90°，所以c90°a，a15°，cosacosccosacos(90°a)sin2asin30

22、6;.12(2022·广东高考)对任意两个非零的平面向量和，定义.假设两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，那么ab()a.b.c1d.解析：选dab，ba.，0<cos<.×得(ab)(ba)cos2.因为ab和ba都在集合中，设ab，ba(n1，n2z)，即(ab)·(ba)cos2，所以0<n1n2<2，所以n1，n2的值均为1，故ab.二、填空题(此题共4小题，每题5分，共20分)13abc的三个内角a、b、c所对边的长分别为a、b、c，a2，b3，那么_.解析：.答案：14(2022·安徽高考

23、)设向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)假设(ac)b，那么|a|_.解析：ac(1,2m)(2，m)(3,3m)(ac)b，(ac)·b(3,3m)·(m1,1)6m30.m.a(1，1)|a|.答案：15.如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线ab与旗杆所在直线mn共面，在该列的第一个座位a和最后一个座位b测得旗杆顶端n的仰角分别为60°和30°，且座位a、b的距离为10米，那么旗杆的高度为_米解析：由题可知ban105°，bna30°，由正弦定理得，解得an20(米)，在rtamn中，mn20s

24、in60°30(米)故旗杆的高度为30米答案：3016函数f(x)2sin2cos2x1，xr，假设函数h(x)f(x)的图象关于点对称，且(0，)，那么的值为_解析：f(x)2sin2cos2x12sin，h(x)f(x)2sin.函数h(x)的图象的对称中心为2k.，kz.又(0，)，.答案：三、解答题(此题共6小题，共70分)17(本小题总分值10分)(2022·广州二测)函数f(x)asin(a>0，>0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为，.(1)求a和的值；(2)，且sin，求f()的值解：(1)函数f(x)在某一周期内的图象的最高坐标

25、为，a2，得函数f(x)的周期t2，2.(2)由(1)知f(x)2sin.，且sin，cos，sin22sincos，cos2cos2sin2.f()2sin22.18(本小题总分值12分)(2022·天津高考)函数f(x)sinsin2cos2x1，xr.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)f(x)sin2x·coscos2x·sinsin2x·coscos2x·sincos2xsin2xcos2xsin.所以f(x)的最小正周期t.(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，又f

26、1，f，f1，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为1.19(本小题总分值12分)在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且满足(2ac)cosbbcosc.(1)求角b的大小；(2)设m(sina，cos2a)，n(4k,1)(k>1)，且m·n的最大值是5，求k的值解：(1)因为(2ac)cosbbcosc，所以在abc中，由正弦定理，得(2sinasinc)cosbsinbcosc，所以2sin acos bsin bcos ccos bsin c，即2sin acos bsin a.又在abc中，sin a>0，b(0，)，所以cos b.所以b.(2)因为m(sin a，cos 2a)，n(4k,1)(k>1)，所以m·n4ksin acos 2a2sin2a4ksin a1，即m·n2(sin ak)22k21.又b，所以a.所以sin a(0,1所以当sina1时，m·n的最大