2022届高考数学一轮复习精品学案第10讲空间中的平行关系

1、2022年普通高考数学科一轮复习精品学案第10讲 空间中的平行关系一课标要求：1平面的根本性质与推论借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的根底上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。2空间中的平行关系以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点

2、，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行；一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；两个平面平行，那么任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行；垂直于同一个平面的两条直线平行能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。二命题走向立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，

3、考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这局部知识点上命题，将是重中之重。预测2022年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：1考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；2在考题上的特点为：热点问题为平面的根本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。三要点精讲1平面概述1平面的两个特征：无限延展 平的没有厚度2平面的画法：通常画平行四边形来表

4、示平面3平面的表示：用一个小写的希腊字母、等表示，如平面、平面；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面ac。2三公理三推论:公理1：假设一条直线上有两个点在一个平面内，那么该直线上所有的点都在这个平面内：a,b,a,b公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。3空间直线:1空间两条直线的位置关系：相交直线有且仅有一个公共点；平

5、行直线在同一平面内，没有公共点； 异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。异面直线的画法常用的有以下三种：2平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。3异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式：与a是异面直线。4直线和平面的位置关系1直线在平面内无数个公共点；2直线和平面相交有且只有一个公共点；3直线和平面平行没有公共点用两分法进行两次分类。它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，。线面平行的判定定理：如果不

6、在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。推理模式：5两个平面的位置关系有两种：两平面相交有一条公共直线、两平面平行没有公共点1两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。定理的模式：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。推论模式：2两个平面平行的性质1如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；2如果两个平行平面同时和第三个平面

7、相交，那么它们的交线平行。四典例解析题型1：共线、共点和共面问题例11如下列图，平面abd平面bcd 直线bd ，m 、n 、p 、q 分别为线段ab 、bc 、cd 、da 上的点，四边形mnpq 是以pn 、qm 为腰的梯形。试证明三直线bd 、mq 、np 共点。证明：四边形mnpq 是梯形，且mq 、np 是腰，直线mq 、np 必相交于某一点o 。o直线mq ；直线mq平面abd ，o平面abd。同理，o平面bcd ，又两平面abd 、bcd 的交线为bd ，故由公理二知，o直线bd ，从而三直线bd 、mq 、np 共点。点评：由条件，直线mq 、np 必相交于一点o ，因此，问题

8、转化为求证点o 在直线bd 上，由公理二，就是要寻找两个平面，使直线bd 是这两个平面的交线，同时点o 是这两个平面的公共点即可“三点共线及“三线共点的问题都可以转化为证明“点在直线上的问题。dcbaefha g2如下列图，在四边形abcd中，abcd，直线ab，bc，ad，dc分别与平面相交于点e，g，h，f求证：e，f，g，h四点必定共线。证明：abcd，ab，cd确定一个平面又abe，ab，e，e，即e为平面与的一个公共点。同理可证f，g，h均为平面与的公共点两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，e，f，g，h四点必定共线。点评：在立体几何的问题中，证明假设干点共线时，

9、常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论。例2：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面。badcgfeaabcdhk图1图2证明：1o假设当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点a，但ad，如图1所示：直线d和a确定一个平面。又设直线d与a，b，c分别相交于e，f，g，那么a，e，f，g。a，e，a，ea，a。同理可证b，c。a，b，c，d在同一平面内。2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2所示：这四条直线两两相交，那么设相交直线a，b确定一个平面。设直线c与a，b分别交于点h，k，那么h，k。又

10、 h，kc，c,那么c。同理可证d。a，b，c，d四条直线在同一平面内点评：证明假设干条线(或假设干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的局部线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内。此题最容易无视“三线共点这一种情况。因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义。题型2：异面直线的判定与应用例3：如下列图，ab a ，bb ，ab a ，ca ，c a 。求证直线b 、c 为异面直线。证法一：假设b 、c 共面于g 由aa ，a c 知，ac ，而ab a，ab a ， ag ，aa。又ca ， g 、a 都经过直线c 及其外的一

11、点a， g 与a 重合，于是ag ，又bb。又g 、b 都经过两相交直线a 、b ，从而g 、b 重合。 a 、b 、g 为同一平面，这与ab a 矛盾。 b 、c 为异面直线证法二：假设b 、c 共面，那么b ，c 相交或平行。1假设b c ，又a c ，那么由公理4知a b ，这与ab a 矛盾。2假设bc p ，bb ，ca ，那么p 是a 、b 的公共点，由公理2，pa ，又bc p ，即pc ，故ac p ，这与a c 矛盾。综合1、2可知，b 、c 为异面直线。证法三： ab a ，ab a ， aa 。 a c ， ac ，在直线b 上任取一点pp 异于a，那么pa否那么ba ，

12、又aa ，那么a 、b 都经过两相交直线a 、b ，那么a 、b 重合，与ab a 矛盾。又ca ，于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线知，b 、c 为异面直线。点评：证明两直线为异面直线的思路主要有两条：一是利用反证法；二是利用结论“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。异面直线又有两条途径：其一是直接假设b 、c 共面而产生矛盾；其二是假设b 、c 平行与相交；分别产生矛盾。判定直线异面，假设为解答题，那么用得最多的是证法一、二的思路；假设为选择或填空题，那么往往都是用证法三的思路。用反证法证题，一般可归纳为四个步骤：1

13、否认结论；2进行推理；3导出矛盾；4肯定结论宜用反证法证明的命题往往是1根本定理或某一知识系统的初始阶段的命题如立体几何中的线面、面面平行的判定定量的证明等；2肯定或否认型的命题如结论中出现“必有、“必不存在等一类命题；3唯一型的命题如“图形唯一、“方程解唯一等一类命题；4正面情况较为繁多，而结论的反面却只有一两种情况的一类命题；5结论中出现“至多、“不多于等一类命题。例41异面直线a,b所成的角为70，那么过空间一定点o，与两条异面直线a,b都成60角的直线有( )条a1 b2 c3 d42异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点o，过点o有3条直线与a,b所成角都是60，那么的取值可能是

14、a30 b50 c60 d90解析：1过空间一点o分别作a,b。将两对对顶角的平分线绕o点分别在竖直平面内转动，总能得到与 都成60角的直线。故过点 o与a,b都成60角的直线有4条，从而选d。2过点o分别作a、b，那么过点o有三条直线与a,b所成角都为60，等价于过点o有三条直线与所成角都为60，其中一条正是角的平分线。从而可得选项为c。点评：该题以学生对异面直线所成的角会适当转化，较好的考察了空间想象能力。题型3：线线平行的判定与性质例5关于直线a、b、l及平面m、n，以下命题中正确的选项是 a假设am，bm，那么abb假设am，ba，那么bmc假设am，bm，且la，lb，那么lmd假设

15、am，an，那么mn解析：解析：a选项中，假设am，bm，那么有ab或a与b相交或a与b异面。b选项中，b可能在m内，b可能与m平行，b可能与m相交.c选项中须增加a与b相交，那么lm。d选项证明如下：an，过a作平面与n交于c，那么ca，cm.故mn。答案d。点评：此题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的根本性质。例6两个全等的正方形abcd和abef所在平面相交于ab，mac，nfb，且am=fn，求证：mn平面bce。证法一：作mpbc，nqbe，p、q为垂足，那么mpab，nqab。mpnq，又am=nf，ac=bf，mc=nb，mcp=nbq=45rtmcprtnbqmp=nq，

16、故四边形mpqn为平行四边形mnpqpq平面bce，mn在平面bce外，mn平面bce。证法二：如图过m作mhab于h，那么mhbc，连结nh，由bf=ac，fn=am，得 nh/af/be由mh/bc, nh/be得:平面mnh/平面bcemn平面bce。题型4：线面平行的判定与性质例7如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，求证：面。证明：取的中点，连结；分别为的中点面，面面面 面点评：主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等根底知识，主要考察线面平行的判定定理。例8如下列图，正四棱柱abcda1b1c1d1，点e在棱d1d上，截面eacd1b，且面eac与底面abcd所

17、成的角为45，aba.求截面eac的面积；求异面直线a1b1与ac之间的距离；图解：如下列图，连结db交ac于o，连结eo。底面abcd是正方形，doac又ed底面ac， eoaceod是面eac与底面ac所成二面角的平面角，eod45doa，aca，eoasec45a，故seac=eoaca2由题设abcda1b1c1d1是正四棱柱，得a1a底面ac，a1aac又a1aa1b1，a1a是异面直线a1b1与ac间的公垂线.d1b面eac，且面d1bd与面eac交线为eo，d1beo，又o是db的中点e是d1d的中点，d1b2eo2a.d1da异面直线a1b1与ac间的距离为a.题型5：面面平行

18、的判定与性质例9如图，正方体abcda1b1c1d1 的棱长为a。证明：平面acd1 平面a1c1b 。证明：如图， a1bcd1 是矩形，a1b d1c 。又d1c平面d1ca ，a1b平面d1ca ， a1b 平面d1ca。同理a1c1 平面d1ca ，又a1c1a1b a1 ， 平面d1ca 平面ba1c1 点评：证明面面平行，关键在于证明a1c1 与a1b 两相交直线分别与平面acd1 平行。例10p是abc所在平面外一点，a、b、c分别是pbc、pca、pab的重心。1求证：平面abc平面abc；2sabcsabc的值。解析：(1)取ab、bc的中点m、n，那么acmnac平面abc。同理ab面abc，abc面abc.(2)ac=mn=ac=ac，同理五思维总结在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的根底上，研究有关平行的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理