(完整版)大连理工大学高等数值分析有限元简述-2017

1、椭圆与抛物微分方程的有限元法有限元法是与差分法并驾齐驱的一套求解偏微分方程 的方法。它的基本想法是，首先把微分方程转化成一种变分 方程(微分积分方程)，从而降低了对解的光滑性和边值条 件的要求；然后，把求解区域划分成有限个单元(有限元) 构造分片光滑函数， 这个光滑函数由其在单元顶点上的函数 值决定；最后，把这个分片光滑函数带入到上述微分积分方 程中去，就得到关于单元顶点函数值的一个线性方程组，解 之即得有限元解。与差分法相比，有限元法易于处理边界条 件，易于利用分片高次多项式等等来提高逼近精度。空间Hm作为例子，我们将考虑区间I 0,1上的微分方程。用L2(I)表示在I上勒贝格平方可积函数的

2、集合，Hm表示本身以及直到m阶的导数都属于L2(I)的函数的集合。我们 下面用到的主要是 H1(I)O这里所说的导数准确地说是应该是 广义导数，对此我们不予详细说明，只需知道比如说，连续 的分片线性函数(折线函数)就属于 H1(I),其广义导数是分 片常数函数。另外，我们还用到空间HE(I) v H1(I),v(0) 0 o(空间=函数集合。)微分方程考虑两点边值问题（pu ） qu f, x （0,1）（1）u（0） 0（2）u （1） 0（3）其中p, q, f都是区间（0,1）上的光滑函数，q 0,并且p P0, P0是 一个正常数。 用HE中任一函数v乘（1）式两端，并在0,1 上积分

3、，得 10 （ pu ） v quv fvdx 0（4）利用分部积分，并注意u （1） 0和 v（0） 0，得1111（pu ）vdx pu v |0 pu v dx pu vdx以此代入到（4）得到1 （pu v quv fv）dv 0（5）为了方便，定义1w,v w vdx（ 7）a（w, v） （pw ,v ） （qw,v）（8）则相应于微分方程（1）-（3）的变分方程 为：求u hE满 足a（u,v） （f ,v） v H 1E （I ）（9）注意在（9）中不出现二阶导数。可以证明，满足微分方程（1） -（ 3）的光滑解一定满足变分方程（9） 。 （ 9）的解称之为（ 1） -（ 3）

4、的广义解，它可能只有一阶导数，因此可能不是(1) - (3)的解；但是如果它在通常意义下二阶可微，则一定也是(1)-(3)的解。另外注意，在变分方程(9)中，我们强制要求广义解u满 足边值条件u(0) 0,因而称之为强制(或本质)边界条件； 而对边值条件u(1) 0,则不加要求。但是可以证明，如果广 义解u在通常意义下二阶可微，则一定有u(1) 0,即这个边界条件自然满足。这类边界条件称之为自然边界条件。总之，变分方程(9)不但降低了对解的光滑性的要求，也降低了 对边值条件的要求。有限元空间 构造有限元法的第一步与差分法一样， 也是 对求解区间作网格剖分 0 X0 X1 L Xn 1。相邻节点

5、X1,Xi之间 的小区间Ii X 1，X称为第i个单元，其长度为 hi Xi Xi 1 o记 h maX h o在空间HE(I)中，按如下原则选取有限元空间Vh：它的元素Uh(X)满足所谓本质边界条件 Uh(0) 0,在每一单元上是 m次 多项式，并且在每个节点上都是连续的。当 m 1时，就得到 最简单的线性元，这时每个qVh可表为Uh(X) jX-XUi 1 X Xi 1 U X I i 1,2,L ,n(10)hihi其中 Ui Uh(Xi), U0 Uh(0) 0O线性元的另外一种表示方法是利用以下具有局部支集的基函数：1 xTXi x x h，、, x x.一.i(x)1 ，X x x

6、 i i 1,2,L ,n 1h 10,在别处.x xn1n,xn 1 x xnn (x)hn0,在别处(11)(12)图2.线性元的基函数显然，任一 Uh Vh可以表为nUh(x) Ui i (x)(13)i 1有限元方程将变分方程(9)局限在有限元空间上考虑，就得到有限元方程：求有限元解Uh Vh满足a(Uh,Vh) (f,Vh)Vh Vh(14)注意到Uh和Vh都可以表示成(13)形式，容易看由(14)等 价于如下的线性方程组：求节点上的近似解U1,L ,Un满足na( i, j)Ui (f, j), j 1,L ,n(15)i 1这个线性方程组是三对角的，可以用追赶法求解。可以把微分方

7、程(1)、变分方程(9)和有限元方程(15) 比喻为确定“好人”的三种标准：他每一时刻表现都好；每 一个人都说他好；一个遴选委员会说他好。误差估计 可以证明，微分方程(1)-(3)的解u和有限 元方程(14)或(15)的解山之间的误差满足|u Uh| h|u Uh| Ch|u |(16)其中C是一个常数；|?|表示L2(I)范数，定义为., b b 22c/IIv| J(v,v)v dx , v L (I)(17)a二维椭圆方程有限元法以二维区域上的Poisson方程第一边值问题为例： 22-4 -4 f(x,y), (x,y) G(18)x yu| 0(19)其中G是以 为边界的一个二维区域

8、。利用Green公式，容易推生相应的变分方程：求 u H 1(G)满足a(u,v) (f,v), v H0(G)(20)其中空间H0(G)由在边界上为零且广义偏导数在区域G上勒贝格可积的所有函数组成，(w, v) wv dxdy(21)Gw v w v(a(w,v) ()dxdy(22)g x x y y二维区域上最常用的剖分是形如下图的三角剖分：9181D我们可以相应地构造三角剖分上的线性元。对内点集合Gh（例如上图中3， 6， 5 这三个点）中每个节点i ，定义其基函数i（x,y）为一个分片线性函数，它在节点 i取值为1,而在 所有其他节点为0。这样，有限元空间Vh中任一元素就可以表示成U

9、h（X）Ui i（x）o把它带入到变分方程（20）使得有限i Gh元方程：求Gh上的近似解Ui满足a（ i, j）ui （f, j）, j Gh（ 23）i Gh高次元可以从两个途径来提高有限元法的精度，一个是加密网格，另一个是利用高次元。例如对于一维问题，可以使用所谓Hermite 三次元，它在每一个单元Iixi 1,xi 上是一个三次多项式，由两个端点上的函数值和导数值总共4 个参数确定。这时，相应于（16）我们有误差估计3|U Uh| h|U Uh| Ch4|U（k）|（ 24）k0其中u（k）表示k阶导数。对于二维问题也可以使用高次元，但 是其定义要稍微复杂一点。抛物方程有限元法考虑一

10、维抛物方程-u -(p-u) qu f, 0<t T, 0x1(25)t x xu(x,0) U0(x), 0 x 1(26)u(0,t) 0, -u(1,t) 0, 0 t T(27)x其中系数p,q,f都是x和t的已知光滑函数，初值u0(x)是x的已知光滑函数。它的变分方程为：求u(x,t)使得对每一个固定的t 0,T,都有 u(x,t) HE(I),并且(n) a(u,v) (f,v), v HE(I)(28)其中1(w, v)0 wv dxdy( 29)w v a(w,v) (p ,一)(qw,v)(30)x x抛物方程有限元法的通常做法是在时间方向用差分法， 在空间方向用有限元

11、法。象在(10)中那样，可以关于变量 x构造线性有限元空间Vho令时间方向步长为 。若时间方向 用向前差商，空间方向用线性有限元，并记fk f(x,k ),则有n限元方程为：对k 1,L ,K T/ ,逐层求ukuik i(x) Vh满足i 1k 1 k(-,vh) a(u：,vh) (fk”h), vh Vh(31)这相当于在每一层要解一个线性方程组：nk 1 k n(i, j)(-) a( i, j)u： (fk, j), j 1,L ,ni 1i 1或者稍微整理一下：nnn(i, j)uk 1( i, j)uika( i, j)u： (fk, j), j 1,L ,n (32)i 1i 1i 1如果在时间方向用梯形公式，则类似于（31）得到所谓Crank-Nicolson 格式kUhkUh,Vh)a(kUhkUh,Vh)fk 1,Vh),VhVh(33)习