河南省安阳市2020届高三年级第二次模拟考试理科数学(解析版)

1、河南省安阳市2020届高三年级第二次模拟考试理科数学、选择题（共12小题）1.已知全集 U = - 1, 0, 1 , 25,集合 A=xCZ|x- 1|<2, B=2, 3,4,5,则（？ua）n b=（）A. 4, 5B. 2,3,5C. 1, 3D.3, 42 .复数z产一1|的共轲复数为（=27A.i5 + 5B.C. 1 5-5D.2i一耳+弓3.设a= log 0.76b=兀0.5, c= 0.30.2,则 ac的大小关系为（A.b< a< cB. c< avbC. avcvbD.c< b< a4.已知向量r a (一3（x，一 4）.若(，&#

2、171; + ft «则向量；与工的夹角为D.5.要想得到函数 y =、3sinx+cosx的图象,可将函数 y= sinx-cosx的图象（A .向左平移个单位长度2b.向右平移r个单位长度2C.向左平移匕个单位长度3D.向右平移灯个单位长度36 .向一块长度为 4,宽度为3的矩形区域内，随机投一粒豆子（豆子大小忽略不计），豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于1的概率为（A.B.C.27 .已知m, l是两条不同的直线，a, 3是两个不同的平面，则下列可以推出3的是（C. m"l, m± a, l± 38.执行如图所示的程序框图，若输出的S为154,则

3、输入的n为（A. 18B. 19C. 20D. 219.设 f (x)和 g (x)是定义在a, b上的函数，且图象都是一条连续不断的曲线.定义:d (f, g)=/(x)g (x)|max.则“？x0a, b, f (xo) wg(xo) ” 是 “ d (f, g) >0” 的（）A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.已知a C（兀兀），2sin2a= 1 - cos2a,贝U tan=(2A.D.11.已知双曲线C:工 yLa2 /1 （a>0, b>0）的左、右焦点分别为F1, F2,其右支上存在一点M ,使得?MF±

4、; MF_ 0,直线l： bx+ay=0.若直线MF2/1,则双曲线C的离心率为（）A.产B. 2C. 0D. 512.设抛物线C： y2=2px (p>0)的焦点为F,抛物线C与圆C': x2+(y_E)2_吏交于 _ ,=16A, B两点，且|AB| = .若过抛物线 C的焦点的弦 MN的长为8,则弦MN的中点到直线x= - 2的距离为()A. 2B. 5C. 7D. 9、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.13 .在某歌唱比赛中，一名参赛歌手的得分为169, 162, 150, 160, 159,则这名歌手得分的方差为.14 . ABC的内角A, B, C的对边分

5、别为 a, b, c,已知A=60° , a=2,二|?AC d曰=可kJ1则4ABC的周长为.15 .已知定义在 R上的奇函数f (x)满足f (x-2) = - f (x),且当xC ( - 1, 0)时，f (x) = 2x 1,贝U f (log220)=.+ 516 .如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为 4,且两个四棱柱的侧棱互相垂直.则这个几何体的体积为 .三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第

6、 22, 23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17 .记数列an的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2n+1.(I)求数列an的通项公式;bn = (- 1) n? log2? (an+4)4,数列bn的前n项和为Tn,求Tn.18 .截至2019年，由新华社瞭望东方周刊与瞭望智库共同主办的“中国最具幸福感城市”调查推选活动已连续成功举办12年，累计推选出60余座幸福城市，全国约 9亿多人次参与调查，使“城市幸福感”概念深入人心.为了便于对某城市的“城市幸福感”指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下不完整的 2X2列联表(数据单位：人)男女总计非常幸福111

7、5比较幸福9总计30(I )将列联表补充完整，并据此判断是否有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关；(n)若感觉“非常幸福”记2分，“比较幸福”记1分，从上表男性中随机抽取3人,记3人得分之和为 : 求E的分布列，并根据分布列求 佞4的概率.附：K2n(ad be)7 ,其中 n= a+b+c+d(er + i?)(c -I-+ c)(h + d)P (K2>k0)0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.82819 .在如图所示的几何体中，底面 ABCD是矩形，平面 MAD，平面ABCD ,平面MAB n 平面MCD=MN, AMAD是边长为4的等

8、边三角形，CD = 2MN=2.(I )求证：MN ±MD ；(II)求二面角 M - BD - N的余弦值.20.已知椭圆C：产1 (a>0)的中心为原点O,左焦点为F ,离心率为,不与坐3标轴垂直的直线l与椭圆C交于M , N两点.(I)若K (2, 1)为线段MN的中点，求直线l的方程.(n )若点P是直线x0,设直伍!工上一点，点Q在椭圆C上，且满足r ? rPF QF 二线PQ与直线OQ的斜率分别为kl, k2,问：klk2是否为定值？若是，请求出klk2的值;若不是，请说明理由.21 .已知 f (x) = 2e2x 1+4ax (a 贝).(I)若a_1,求f (

9、x)在x=0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； e(n )若f (x)在1 , 2上的最大值为3e3,求a的值.(二)选考题：共 10分.请考生在第 22, 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选彳4-4 :坐标系与参数方程22 .在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为|厂；匕¥"*(其中t为参数，“笆, ly = 2 + tstna兀)，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 p= 2sin 0.(I)若点P (x, y)在直线l上，且 心+尸_ 2,求sin a的值； x y + 4 *(n)若) 求曲线C上

10、的点到直线l的距离的最大值.- 4选彳4-5:不等式选讲23.已知 f (x) = |x- 1|- |ax- 2a| (aCR).(I)若a=1,求f (x)的值域；(n)若不等式f (x) > x- 4在x2, 9)上恒成立，求 a的取值范围.、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知全集 U = 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,集合 A=x%|x1|W2, B=2, 3, 4, 5,则(？UA) n B=()A. 4, 5B. 2, 3, 5C. 1 , 3D. 3, 4【分析】先求出集合 A,再求出其补集

11、，进而求得结论.解：因为全集 U = - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,集合 A=xCZ|x一1|W2 = - 1, 0, 1, 2, 3, B = 2, 3, 4, 5,( ?uA) n B=4, 5.故选：A.【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2 .复数z产一 的共轲复数为()A. 13iB.13iC. %D.，2j耳耳-5-55-5-5 5【分析】利用复数的运算法则、共轲复数的定义即可得出.解：复数z j3- 12(2 +。421的共轲复数为="一=_ :一 .一 吐一亏十几77 (2-0(2 + i)5 5【点评】本题考查了复数的运算法则、共轲复数的定义

12、，考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3 .设 a=logo.76, b= 7t0.5, c= 0.30.2,则 a, b, c 的大小关系为（）A. bvavcB. cvavbC. avcvbD. cvbv a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.解：-.1 10g0.76v logo.7l = 0, /. a< 0,-兀°.5> 兀°= 1,b> 1,0V 0.30.2< 0.30= 1,0V cv 1,a v cv b,故选：C.【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用.4已

13、知向量三（一 3八 可 -4）.若"» 则向量的夹角为（A. bB. cC.2"d.四【分析】利用向量垂直则数量积为零，可算出坐标，再由夹角公式计算.解：因为,:(x3, 3), L所以3 (x 3) +1 X ( 3) =0,则 x = 2,由cos r, L a b 2,又 Z q0，兀，所以，5一才"产*2同训故选：D.【点评】本题主要考查向量数量积的应用、向量夹角公式，根据向量垂直的坐标公式进 行求解是解决本题的关键，属于基础题.5 .要想得到函数 y = 43sinx+cosx的图象，可将函数 y= sinxcosx的图象（）a .向左平移三个

14、单位长度C.向左平移打个单位长度3B.向右平移三个单位长度2D.向右平移开个单位长度3【分析】由题意利用两角和差的正弦公式，化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（cox+g的图象变换规律，得出结论.解：,函数 y=sinx_ /Jcosx= 2sin （x 仃），函数 y= 3sinx+cosx=2sin （x "）， 36故要想得到函数y = .J3sinx+cosx的图象，可将函数y= sinx一、3 cosx的图象向左平移订个单位，【点评】本题主要考查函数y= Asin （ cox+力）的图象变换规律，两角和差的正弦公式,属于基础题.6 .向一块长度为 4,宽度为3的矩形区

15、域内，随机投一粒豆子（豆子大小忽略不计），豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于1的概率为（）C. 1D.进而求得对应的面积之比，即可求得结论.因为豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于1,故豆子需在长为2,宽为1的矩形内运动;，豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于1的概率为：Tx4 = 6【点评】本题主要考查几何概型的应用问题，考查学生的理解能力和运算能力.7已知m, l是两条不同的直线，”，3是两个不同的平面，则下列可以推出的是（）A . m±l, m? 3 , H aB. m±l, aA 3= l, m? aC. m / l, m± a, l± 3D.

16、 l ± a, m / l, m / 3【分析】在A中，a与3相交或平行；在 B中，口与3有可能相交但不垂直；在 C中， a/ 3；在 D中，推导出 m± a,由m / 3 得到 3.解：由m, l是两条不同的直线，”，3是两个不同的平面，知：在A中，m± l, m?3, la,则a与3相交或平行，故 A错误；在B中，m± l, an 3= l, m?a,则a与3有可能相交但不垂直，故 B错误；在 C 中，m/ l, m± a, l± 3,则 all 3,故 C 错误；在 D 中，l, a, m / l,则 m± a,又m

17、/ 3则a± 3,故D正确.故选： D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题8 执行如图所示的程序框图，若输出的 S 为 154，则输入的n 为（1=1,5 = 1A. 18B. 19C. 20D. 21【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s=1+0+1+2+3+ + (i-1) =154,模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.s= 1+0+1+2+3+ + (i - 1) = 154,解：模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出所以153,解得 i=1

18、8, 2=故最后一次对条件进行判断时，i=18+1 = 19,所以n=19.故选：B.【点评】本题考查了程序框图的应用问题，考查学生的逻辑推理能力，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.9.设f (x)和g (x)是定义在a, b上的函数，且图象都是一条连续不断的曲线.定义：d (f, g) = |f (x) g (x) |max.则“？xoqa, b, f (xo) w g (xo) ” 是"d (f, g) >0” 的()B.必要不充分条件A.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】若？XoCa,b, f(xo)w g (xo),则

19、 d(f,g)= |f(x) g (x) |max> |f(xo)g(xo)|>0,若 d(f,g)>0,则？xoQa,b, |f(xo)- g(xo)|>0,即 f (xo)w g(xo).解：若？XoQa,b , f (xo)Wg(xo)，则 d(f,g)= |f (x) g ( x)|max> |f (xo)- g(xo) |>o,，充分性成立.反过来，若 d (f,g) >o,则？xoQa,b, |f (xo) g(xo)|>o,即 f (xo)wg(xo),，必要性成立."?xoqa, b, f (xo) wg (xo) ”

20、是"d (f, g) > o” 的充要条件.故选：C.【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查曲线性质等基础知识, 考查推理论证能力，属于基础题.io.已知 ”6（兀，N兀）,2sin2 “= 1 cos2”，则 tan'=（）22A .币 + 3B.币3C. 1 卢 222解：: a （ Tt,窘兀）, 2£ (U2)2sin2 a= 1 cos2a,4sin acosa= 2sin2 a,【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得1 sin a= o (舍去)，或 tan a= 2 Ziun-，1 Tmq解得tan1士户.2

21、 =2再根据口C （ 丁立）,tan5 0.22 V 2<：故 tan”-1-JS 1 + 户，222故选：D.【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题.11.已知双曲线C: / 必a2 bz1 （a>0,b>0）的左、右焦点分别为 Fi, F2,其右支上存在MF 2 / l,则双曲线C的离心一点M,使得 r ? r 0,直线l： bx+ay=0.若直线MFi MF2 =率为（）A. L.2B. 2C.D. 5rvn【分析】由已知得MF iMF 2,直线l： bx+ay= 0为双曲线的一条渐近线， 求出直线MF i 的方程为yj（x+p，联立两

22、直线方程求得 N （ / M）,又Fi （- c, 0）,由中 点坐标公式得M （ c 2a2, 吧），再由双曲线的定义结合MF 1，MF2得 |MF|JM七| 二Z辰，得到点M的纵坐标为,，则后 2处，即b=2a.由此可得双曲线 cC的离心率.解：由.二? 二 0，得MF 1 X MF 2,直线l： bx+ay=0为双曲线的一条渐近线，WF1 机匕=可知l的方程为y_ b 且MF1从而l是线段MF1的垂直平分线，且直线 MF1的 1 -Xa方程为y F-n刀底刀y=5（x + c）.设MF1与直线l相交于点N （x, y）,由y = ：（H + c）,解得X二即N （ 1，又f1（_ c,

23、0）,由中点坐标公式得 M （c2岫）t n-由双曲线的性质可得|MF i|- |MF2| = 2a,由MFdMF2,得|MF产+眼出产=4/联立 可得|MFi "MF引=2朋.点M的纵坐标为户则7 2仙，即b= 2a.故选：C.【点评】本题考查双曲线性质的综合问题，考查数形结合的解题思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题.12.设抛物线C： y2=2px (p>0)的焦点为F,抛物线C与圆C': x2+ (y_5) 2=受交于. 16A, B两点，且|AB|=<5.若过抛物线 C的焦点的弦 MN的长为8,则弦MN的中点到直线x= - 2的距离为()A

24、. 2B. 5C. 7D. 9【分析】化简圆。，得,可得圆经过原点，抛物线C： y2= 2px (p>0)也经过原点，设 A (0, 0) , B (m, n) , m>0,得到 m2+n2= 5, “工 _，联立可JTI 1 It fl得m=1, n=2,求得B点坐标，把B点坐标代入y2 = 2px,解得p=2.可得抛物线方程，求出焦点坐标与准线方程，由抛物线定义及梯形中位线定理可得弦MN的中点到直线x=- 2的距离.解：由圆25,得T6可得圆经过原点，抛物线 C: y2=2px (p>0)也经过原点,设 A (0, 0) , B (m, n) , m>0,由 1AB

25、I = %5 可得m2+n2= 5,又联立可得 m = 1, n = 2,即B (1把 B (1, 2)代入 y2=2px,解得 p=2.故抛物线方程为y2=4x,焦点F (1, 0),直线方程为x=- 1.如图，过M、N分别作MEl于E, NKH于K,可得 |MF|=|ME|, |NK|=|NF|,即有 |MN |= |MF |+|NF|= |ME|+|KN |.设MN的中点为Po,则P0到准线l的距离为lIMW r则弦MN的中点到直线 x=- 2的距离为4+1 = 5.故选：B.【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查数形结合的解题思想方法，考查分析问题与 解决问题的能力，是中档题.、填空题

26、：本题共 4小题，每小题5分，共20分.13 .在某歌唱比赛中，一名参赛歌手的得分为169, 162, 150, 160, 159,则这名歌手得分的方差为 37.2 .【分析】先求出这名歌手得分的平均分，由此能求出这名歌手得分的方差.解：在某歌唱比赛中，一名参赛歌手的得分为169, 162, 150, 160, 159,，这名歌手得分的平均分为：II ( 169+162+150+160+159 ) = 160,则这名歌手得分的方差为：S2_ 1 (81+4+100+1 ) = 37.2.=5故答案为：37.2.【点评】本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查推理论证能力能力 与运算

27、求解能力，属于基础题.14 . ABC的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,已知 A=60° , a=2, ，？总入 1 AC八3-kJ, 则 ABC的周长为2JM+2 .【分析】先根据向量的数量积求得bc R.再结合余弦定理求得 b+c=2 3 ;进而求得结=rv3论.解：因为 r ?4,得 bccos60°4? bc % 又因 A = 60° , a=2;及 e 333所以 b2+c22bccos60° = 4? (b+c) 2= 4+3bc= 12? b+c=3 ；所以：a+b+c= 2+2(3.故答案为：2+2【点评】本题考查三角形

28、周长，向量的数量积以及余弦定理，注重学生对运算能力的考查.15 .已知定义在 R上的奇函数f (x)满足f (x-2) = - f (x),且当xC ( - 1, 0)时,(x) =2x 1,则 f (log220) =- 1.+ E【分析】根据题意，由 f (x-2) = - f (x)分析可得f (x-4) = - f (x-2) =f (x) 即函数是周期为 4的周期函数，据此可得 f (log220) = f (log2r;),结合函数的奇偶性与解析式求出f (l0g2、)的值，分析可得答案.解：根据题意，函数 f (x)满足f (x-2) = - f (x),则有f (x-4) =-

29、 f (x-2)f (x),即函数是周期为4的周期函数,4vlog220 <5,贝U f (log220) = f (log220 4) = f (log2), 国又由f(x)为奇函数且当xC (- 1,0)时，f(x)=2x1,+ 5则 f ( l0g2) = - f ( log 2，)= - f ( log2”)= lQ 1 = - 1 ；F,52+故 f (log220) = - 1;故答案为：-1.【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的求值，属于基础题.16 .如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个

30、四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为 4,且两个四棱柱的侧棱互相垂直.则这个几何体的体积为二2 1印一【分析】该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，两个四棱柱的体积和为：V=2X 2X2X 4=32,交叉部分的体积为四棱锥 S-ABCD的体积的2倍，由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形 ABCD为边长为、方的棱形，设AC的中点为 H,连结 BH , SH,由题意得 SH为四棱锥 S - ABCD的高，求出I8尸，由此能求出这个几何体的体积.S-ABCD = g * $平行四脂总HtP X Z 二一一解：该几何体的直观图如图所示，该几何体的体积为两个四棱柱的体积

31、和减去两个四棱柱交叉部分的体积，两个四棱柱的体积和为：V=2X2X2X 4= 32,交叉部分的体积为四棱锥 S-ABCD的体积的2倍，在等月ABS中，SB =2,?, SB边上的高为2,则SA=/,由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形ABCD为边长为弋6的棱形，设AC的中点为H,连结BH, SH,由题意得SH为四棱锥S- ABCD的高，在 Rt ABH 中，BH =日工=。61= 2,VV又 AC = SB= 2 2, 11、¥42,/$平行四油形#且匚。=2 x 2 x2"x Z = W. BH=SH,1 ,1即2,- aucu =彳X 5平行四曲用力圮口 K 2匚

32、w * 4JZ X 2 =q一，这个几何体的体积为 V=32 即 2=32 l&g.故答案为：32 1&R.【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等 基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于难题.三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22, 23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.记数列an的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2n+1.(I)求数列an的通项公式；(n)记 bn= (- 1) n? log21(an+4) _2,数列b

33、n的前 n 项和为 Tn,求 Tn.习 I【分析】(I)运用数列的递推式：n=1时，a1=S1, n>2时，an = Sn - Sn-1,化简整理，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；(n )运用对数的运算性质化简可得bn= ( - 1) n? n,再对n讨论是奇数和偶数，运用并项求和，计算可得所求和.解：(I)当 n=1 时，由 Sn= 2an _ 2n+1,可得 a1=S1 = 2aI 一 2+1,即有 a1=1.当 n>2 时，an = Sn - Sn-1 = 2an2n+1 2an -1 2n+2 1,即为 an= 2an 1+2,可得 an+2=2 (an-1

34、+2),显然 an 1+2 0,所以数列an+2是首项为3,公比为2的等比数歹U,则 an+2=3? 2n M 即有 an=3? 2n 1 2, nCN*;(n) bn=( 1) n? log22(an+4) _勺=(1) n? log22(3? 2n1+2) _A=( 1)3- 33- 3n? log22n= (- 1) n? n,当 n 为偶数时，Tn = (- 1+2) + (- 3+4) + (- n+1 + n) _ 】n； =2当 n 为奇数时，Tn=Tn- 1+bn_l ( n - 1) - n_】(n+1).=2=2综上可得，Tn1产''】为偶数1-2(

35、1;+ 1),尤为奇数【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式以及求和公式，同时考查 对数的运算性质，对数值 n的奇偶性进行分类讨论求解，考查分类讨论思想和化简运算 能力，属于中档题.18.截至2019年，由新华社瞭望东方周刊与瞭望智库共同主办的“中国最具幸福感城市”调查推选活动已连续成功举办12年，累计推选出60余座幸福城市，全国约 9亿多人次参与调查，使“城市幸福感”概念深入人心.为了便于对某城市的“城市幸福感”指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下不完整的 2X2列联表(数据单位：人)男女总计非常幸福1115比较幸福9总计30(I )将列联表补充完整，并据此判

36、断是否有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关；(n)若感觉“非常幸福”记 2分，“比较幸福”记1分，从上表男性中随机抽取 3人,记3人得分之和为 巳求E的分布列，并根据分布列求个4的概率.附：K2n(ad - be)7 ，其中 n=a+b+c+d+ 6)(匚 + d)g + 匚)(匕 + d)P (K2>ko)0.100.050.0100.001ko2.7063.8416.63510.828【分析】(I)完成2X2列联表，求出K2_3»x 6x9-11 x(S)= 0.6< 2.706,从而没 =15X15X 10x20 =有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关.

37、(n)由题可知，E的可能取值为3, 4, 5, 6,分别求出相应的概率，由此能求出 E的分布列和5 4的概率.男女总计非常幸福41115比较幸福6915总计102030解：(I )完成2X2列联表(数据单位：人),得:K2 的乂(4x9-11x6)0.6< 2.706,15 x 15 x 1(1 X 20没有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关.(n)由题可知，E的可能取值为3, 4, 5, 6,则 P (e 3)琮 1，-I% 6P(4 4)日以 1,三与七IO=P ( E= 3) +P ( e 4)【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的要布列、概率的求法，考查超几

38、何分布等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题.19.在如图所示的几何体中，底面 ABCD是矩形，平面MAD，平面 ABCD ,平面 MAB n平面MCD = MN , MAD是边长为4的等边三角形,CD = 2MN =2.(I )求证：MN LMD ;(II)求二面角 M - BD - N的余弦值.【分析】(I )推导出ABXAD , ABL平面 MAD ,从而 AB /平面 MCD ,进而 MN /AB, MN,平面 MAD,由此能证明 MN ±MD .(n)设AD的中点为O,过O作OH / AB ,交BC于H ,由题意知 OA, OH , OM两两垂直，以。为原点

39、，分别以 OA, OH, OM为x, v, z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 M - BD - N的余弦值.解：（I）证明：由底面 ABCD为矩形，得 ABXAD,平面 MAD，平面 ABCD ,平面 MAD n 平面 ABCD = AD , AB?平面 ABCD, . AB,平面 MAD ,. AB / CD, CD?平面 MCD , AB?平面 MCD ,/.AB /平面 MCD , 平面 MABA 平面 MCD = MN, MN / AB , 二. MN，平面 MAD , MD ?平面 MAD , MN ±MD .(n)解：如图，设 AD的中点为O,过。作OH

40、/AB,交BC于H,由题意知OA, OH, OM两两垂直，以。为原点，分别以 OA, OH, OM为x, v, z轴，建立空间直角坐标系，则 B (2, 2, 0) , D (2, 0, 0) , M (0, 0, 2*3), N (0,1, 2、科)，设平面MBD的法向量.(x, v, z),则，,日、=一4片一 Zy = x)，取 x= 3,得(3， 6，一、3)，U= -2x - 2y4-= 0设平面NBD的法向量|一(a, b, c),则 m BD = 4a -= 0,取 a=1,2, 0),DN= -2a + * + 2$(: = 0面角M - BD - N的余弦值为z【点评】本题考

41、查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题.20.已知椭圆C: /12 1 (a>0)的中心为原点 O,左焦点为F,离心率为一5,不与坐+4=T标轴垂直的直线1与椭 圆C交于M , N两点.(I)若K (2, 1)为线段MN的中点，求直线1的方程.(II)若点P是直线x-？上一点，点 Q在椭圆C上，且满足 工？ t0,设直=_PF QF-5*线PQ与直线OQ的斜率分别为kl, k2,问：kik2是否为定值？若是，请求出 kik2的值; 若不是，请说明理由.【分析】(I)由题意离心率的值及a,

42、b, c之间的关系可得 a的值，进而求出椭圆的方程，由MN的中点坐标，由点差法可得直线MN的斜率，进而由点斜式求出直线MN的方程；(n )由(I )可得 P点所在的直线方程，及左焦点F的坐标，设P的坐标，及椭圆上的点Q的坐标，将 Q的坐标代入椭圆的方程可得横纵坐标的关系，求出的表达式，由题意求出kik2的表达式，进而将 二 -。代入可得kik2为定值.PF -QF =解：(I)由题意可得 心_户，且c2=a2-4,解得a2=3,所以椭圆的方程为：尸 9i, 亨+耳=设 M（X1, yi） , N（X2, y2）,由于M, N在椭圆上，所以作差可得当一先0,因为K （2, 1）为线段MN的中点，

43、所以|A 门_ 4%+电）_ 8, ._ _ _ _ %+此）_ _ 故直线l的方程为y-1_*（x-2）,即8x+9y- 25=0;（n）由（I）可得直线 X /牙 dj声，点F （-飞5, 0）,5 亏设P （9卢，t）,Q(X0, yo),易知 X0W0,因为t r. 0PF* QF =%，- t) ? (_J?_X0, _y0)=0,可得 ty0=4 47sx0, +亏因为Q在椭圆上，所以r3u 21,即y02 = 4（1工之），+= -949所以k1k2 为一 E打 打为 4_%_4_准a 4, =醇元=；7二与之十"&=一7所以k1k2的值为定值，且为 _29【点

44、评】本题考查向量与椭圆方程的综合问题，及点差法求直线的斜率的求解问题，属 于中档题.21.已知 f （x） = 2e2X 1+4aX （a-、选择题）.（I）若a_ I,求f （x）在x=0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;'e（n ）若f （x）在1 , 2上的最大值为3e3,求a的值.(0) 一,【分析】(I) a = J 时，f (x) =2针一1 十，x, f' (x) =4e2x1十,，可得 f' f (0) J.利用点余式可得f (x)在x = 0处的切线方程：y_m = px.进而得出切线与- ee- e两坐标轴围成的三角形的面积.(II)，(x) =

45、 4e2x 1+4a. (i) a>0 时，f' (x) >0,利用函数 f (x)的单调性与最 大值可得a.(ii) av 0时，由f' ( x) = 0,解得x_ ll+ln ( - a).对a分类讨论利用函数 f (x) |= 2的单调性与最大值可得a.解：(I) a_ 1 时，f (x) =2e2x 1+x, f/ (x) =4e2x1+, f' (0) =?, f (0) "eee- e2-e可得：f (x)在x=0处的切线方程：y 2 8x.=一令x=0,可得y 2.令y=0,可得x 】 'e-4切线与两坐标轴围成的三角形的面积

46、_1 2 1 _ 1= 2XiX4 = 4(II) f' (x) =4e2x 1+4a.(i) a>0时，f' (x) >0,故f (x)在1, 2上单调递增，f (x)在1, 2上的最大值为 f (2) = 2e3+8a=3e3,，a(ii) av 0 时，由 f' (x) = 0,解得 x=:i + ln (a). l1 + ln (-a) <1,即-e< a<0 时.故 f (x)在1 , 2上单调递增，. f (x)在1 , 彳2上的最大值为 f (2) =2e3+8a=3e3,a 舍去. l1 + ln (- a) >2,即 aw - e3时.故 f (x)在1 , 2上单调递减，. f (x)在1 , 2上的最大值为f (1) =2e+4a=3e3, . ae3e,舍去.1 + ln ( - a)上单调 1 41 + ln ( a) <2,即e3vav- e时.故 f (x)在1 ,1冏2递减，在(l1+ln (-a) ) , 2上单调递增， &由可知：f (2)不可能为最大值，而 f (1) =2e+8a=3e3, f (2) -