漩涡理论与势流理论

1、Cha pter 4Vortex Theory and Poten tial Theory第四章漩涡理论与势流理论流体由于具有易变形的特性，因此流体的流动要比刚体的运动复杂得多。在流 体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。 由流体微团运动分析可知， 有旋流动是指流体微团旋转角速度0的流动，无旋流动是指=0的流动。实际上,粘性流体的流动大多数是有旋流动。流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但 无旋流动比有旋流动在数学处理上简单得多，因此，在流体力学中无旋流动的研究 具有重大的意义。对工程中的某些问题，在特定条件下对粘性较小的流体运动进行 无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是

2、绕流物体的流动规律，对工程实 践具有指导意义和应用价值。本章首先对流体微团的运动进行分析，同时得出无旋运动和有旋运动的概念。 然 后讨论理想流体运动的基本方程和求解。在此基础上本章侧重讨论旋涡基本理论和 平面势流基本理论。4.1流体微团的运动分析在流体流动时，流体微团除了可以像刚体那样平动和转动之外，还伴有变形运动，如图4-1所示。由于有变形运动，流体微团的旋转也不像刚体转动那样简单。 如果从流体微团中引 出若干条直线，它们的 旋转角速度可以各不 相等，所以流体微团的 旋转角速度是指过同 一点，若干条直线旋转 角速度的平均值。y*Rukilion直转由于流体所具有的易流动性，流体微团 即使是在

3、一个很小的 力的作用下，只要时间 足够长，就可以发生足 够大的变形。因此，在 对流体微团进行变形rinnskHii>n 平移near det(*nna(ii>n线变形AnmiLir detnniiaiiouFluid Llunicjit 流体做团Fig. 4-1流体微团运动运动分析时，不是看其变形量的大小，而是看其变形速度的大小。作为分析流体微 团运动的基本量，引入线变形速度，剪变形角速度和平均旋转角速度。4.1.1线变形速度如图4-2所示，首先考虑最简单的一维流动情况。在 t时刻，在x轴上取一微 小线段AB= x,A点的速度为vx,按泰勒级数展开，B点的速度可表示为 经过t时间之

4、后，AB线段运动到新的位置 A B。AB线段经过t时间之后，其长 度的改变量为X.1 * AtAxifI事|di-,g十d*山）加Fig. 4-2 Lin ear Deformati on Velocity单位长度在单位时间内长度的改变量为(4.1)把x叫做线段AB的线变形速度。x是正值时为拉伸，负值时为压缩。将上述推广到三维空间的情况。三维空间 的流体微团，不仅具有x方向上的线变形速度，还有y方向和z方向上的线变形速 度。在三维空间中，流体微团的速度是空间坐标的函数，即所以，流体微团在x、y、z方向上的线变形速度分(4.2)下标X、y、z表示变形发生的方向。所以流体微团的线变形速度是单位长度

5、在 单位时间内长度的改变量。d;'IV V I 氓 AJ) d *估“）dy(1 +£ At) dz（1 *£山）山J + e, Al) djr（I +兀川2窝< t )C b)Fig. 4-3 Fluid Eleme ntDeformati on-44-3所示，图（a）为初始状态。作若在流场中取一平行六面体的流体微团，如图为一种特殊情况，当时，流体微团变形之后仍为平行六面体，当时，为膨胀变形，变形如图（b）所示，当时，为压缩变形。当时，变形情况如图（C）所示。对于不可压缩流体，由于在变形过程中，体积不发生改变，所以有展开上式，并略去高阶无穷小量，得(4.3a

6、) (4.3b)这就是不可压缩流体的连续性方程，与方程4.1.2剪变形角速度首先仍以最简单的平面问题为例。如 图4-4所示，图中OACB为初始状态的流体 微团。（3.29） 一致。厂,A经过t时间之后，流体微团变形如图4-4（ b）中虚线所示，0B边转过的角度； 0A边转过的角度为。4.1.3平均旋转角速度Fig. 4-5在t时间内，流体微团中直角 AOB的改变量的一半为单位时间内改变量的一半为对于三维空间，类似有(4.4)上式就是流体微团的剪变形角速度。剪变形角速度是流体微团中某一直角的减 小速度的一半。下标x、y、z表示剪切变形发生面的法线方向。由于流体微团在运动过程中发生 变形，在流体微

7、团中某一点引出的若干 条直线所转过的角度各不相等。流体微 团的旋转，是指过同一点，若干条直线 旋转的平均值，等于过该点的直角角平 分线转过的角度。在图4-4中，当= 时，角平分线没有发生转动，这是一种 纯剪切运动状态。作为一般情况，如图 4-5所示，矩形OACB是初始位置。经 过t时间之后，流体微团运动到 OA C B根据几何关系，在t时间内， 角平分线转过的角度单位时间内角平分线转过的角度为将这一结果推广到三维空间，则有(4.5)上式就是流体微团的平均旋转角速度三个分量表达式。可将方程(4.5)用矢量式表示为(4.6)流体微团在运动过程中，可同时发生线变形运动，剪切变形运动和旋转运动。 而线

8、变形速度、剪变形角速度、平均旋转角速度分别是度量这三种运动的特征量。 Exa mple 4.1It is known that the velocity distributi on of a planar flow field isAn alyze the deformati on and rotati on happen duri ng the motio n of fluid eleme nt. 例4. 1已知平面流场的速度分布为试分析流体微团在运动过程中所发生的变形与旋转。Solutio n:Lin ear deformatio n velocity解：线变形速度An gular vel

9、ocity of sheari ng deformati on剪变形角速度Average an gular rotat ing velocity平均旋转角速度4.2理想流体的有旋流动和无旋流动4.2.1有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流 动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有 旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无 旋流动。这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体 微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。在图 4-6(

10、a)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动; 在图4-6(b)中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无 旋流动。004hlrTPlLitionLil Flow无旋流动Fig. 4-6 Rotati onal and Irrotati onal Flow速度场是一个矢量场，根据矢量场的旋度的概念，速度矢量的旋度为将上式与平均旋转角速度相比较，得(4.7)所以，平均旋转角速度不仅是分析流体微团在运动过程中旋转运动的特征量, 也是判断流体流动是有旋流动还是无旋流动的标准。判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微团都满足对于无旋流动=0or

11、或rotv=0对于有旋流动0 or或rotv 0422旋涡的基本概念在第三章我们给出了描述速度场的流线、流管、流量等基本概念。速度场和旋 涡场都是体现流动特征的矢量场，因此，描述速度场和旋涡场的基本概念之间，具 有对应的关系。例如速度场（V） 速度 流线 流管旋涡场（） 平均旋转角速度 涡线 涡管这样，就很容易理解旋涡的一些基本概念了。1.涡线某一瞬时的涡线是这样的一条曲线，在该曲线上 各点的平均旋转角速度矢量与该曲线相切，如图4-7 所示。与流线一样，在定常流场中，涡线的形状保 持不变，在非定常流场中，涡线的形状是变化的。 类似流线方程，涡线的方程可写为Fig. 4-7 Vortex Lin

12、e2. 涡管在旋涡场中通过任一不是涡线的封闭曲线的 每一点作涡线，这些涡线所形成的管状表面称为 涡管，如图4-8所示。3. 涡束截面积无限小而强度（涡通量）为有限值的 涡管。cFig. 4-8 Vortex Bun4.2.3速度环量为了进一步了解流场的运动性质，引入流体力学中重要的基本概念之一 度环量。在流场中任取封闭曲线K，如图4-9所示。速度j 速度沿封闭曲线K的环量，简称速度环量，用 表示，速.8)式中在封闭曲线上的速度矢量；速度与该点上切线之间的夹角。速度环量是个标量，但具有正负号。 速度环量的正负不仅与速度方向有 关，而且与积分时所取的绕行方向 有关。通常规定逆时针方向为K的 正方向

13、，即封闭曲线所包围的面积 总在前进方向的左侧 示。当沿顺时针方向应加一负号。实际上， 表征的是流体质点沿封闭 动的总的趋势的大小，或 映的是流体的有旋性。由于4.2.4旋涡强度ig.4-9 Velocity Circulation和则代入式（4.8），得(4.9)V,泪須闭曲线的連廈11不量4-7所 式(4.8)F. +沿封闭曲线K的速度环 旋流动之间有一个重要的关系， 以平面流动为例找出这个关系。 4-10所示，在平面Oxy上取一微元矩 形封闭曲线，其面积A=dxdy ,流体在A 点的速度分量为 Vx和vy，贝U B、C和D点 的速度分量分别如下： dr 1Q"w1輕V +=b1B

14、AVleiocify Ci/rtiktr/tfii tjioE/eruc t itutyfiectangie Path沿餓矩比的速S師量ex3眄Fig. 4-10于是，沿封闭曲线反时针方向 ABCDA的速度环量(4.5)的第三式,将点的速度值代入上式，略去高于一阶的无穷小各项，根据方程 得(4.10)然后将式(4.10)对面积积分，得(4.11)上式即为所谓的反映速度环量与旋转角速度之间关系的斯托克斯定理，其表明:沿封闭曲线的速度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍，称 之为旋涡强度I，即或式中n 在微元面积dA的外法线n上的分量。(4.12)由式(4.8)可导出另一个表示有旋

15、流动的量，称为涡量，以表示之。它定义为单位面积上的速度环量，是一个矢量。它在z轴方向的分量为疋对于流体的三维流动，同样可求得 x和y轴方向涡量的分量。于是得(4这意味着，在有旋流动由此可见，在流体流 流动。如果在一个流动 速度环量都等于零，则如果涡量的三处的涡量分量区域内的流动一有旋在此举两个简单的例子来说明速度环量 和旋涡强度的物理意义，以及有旋流动和无 旋流动的区别。Exa mple 4.2As shown in Fig. 4-11, a flow rotates coun terclockwise like a rigid body at an gular velocity . Find

16、 velocity circulation along a closed curve in the flow field, and dem on strate the flow is rotati onal flow.例4.2 个以角速度按反时针方向作像 刚体一样的旋转的流动，如图4-11所示。试 求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量，并 证明它是有旋流动.Fig. 4-11Exam pie 4.2Solutio n:Randomly take two circles of radius nand r2 in flow field, their velocities are andrespect

17、ively, velocity circulation along the circumfereneeABCDA of the sector area highlighted by in cli ned lines is 解：在流场中对应于任意两个半径r1和r2的圆周，其速度各为 沿图中画斜线扇形部分的周界 ABCDA的速度环量It is obvious that flow in the regi on is rotati on al. Since the sector area is可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积Thus上式正上结论可用于圆内任意区域内。VAo radint,o

18、rse prreThe above equati on is just a dem on strati on of Stocks theorem, and the con clusi on may be popu larized to any regi on in the circle.Exa mple 4.3 A planar point O, the m at each point is that is shown in Fig. circulati on of a clos and an alyze the flotates cone of perily aboutvelocity/4于

19、是例4.3 流体绕0点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆周速度的大小与该点 半径成反比，即，其中C为常数，如图4-12所示。试求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。Solutio n:The velocity circulati on along the boun dary of the sector area is解：沿扇形面积周界的速度环量Fig. 4-12Exam pie 4.3It can be see n that flow in this regi on is irrotati on al. This con clusi on may be popu larized

20、to any area that does not in clude the circle cen ter O, such as ' '' A'.lf the area in cludes point 0( r=0), since its velocity is infin ite, it should be dis po sed as an exception. Now we calculate the velocity circulation along a closed circumferenee of radius r可见，在这区域内是无旋流动。这结论可

21、推广适用于任何不包围圆心0的区域内，例如A'B'C'D''若包有圆心(r=0)，该处速度等于无限大，应作例外来处理。 现在求沿半径r的圆周封闭曲线的速度环量The above expression circumfere ntial curve in flow fie flow is rotati on al. But the velo in clude point O must equal zero sin gular point.上式说明，绕任何一个圆周的流 所以是有旋流动。但凡是绕不包括圆 圆心0点处必有旋涡存在，圆心是strates that no

22、t be zer irculatio n centeelocity circulation along any quals a con sta nt, therefore the any circumfere nee that does not isolated vortex point, and is called量都不等于零，并保持一个常数, 圆周的速度环量必等于零，故在 ,称为奇点。4.3无旋流动的速度势函数如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度在任意时刻处处为零，即满足的流动为无旋流动，无旋流动也称为有势流动。4.3.1速度势函数引入由数学分析可知，是成为某一标量函数全微分的充分必要条

23、件。则函数 称为速度势函数。因此，也可以说，存在速度势 函数 的流动为有势流动。根据全微分理论，势函数的全微分可写成于是有(4.15)按矢量分析(4.16)对于圆柱坐标系，则有(4.17)从而从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还 是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然存在速度势函数。4.3.2速度势函数的性质1.不可压缩流体的有势流动中 将式(4.15)代入到不可压缩流体式中数为拉普拉斯算方程，是调和函数。，则有(4.18)X为拉普拉斯方程，所以在不可压流体的有势流动中，速度势必定满足拉普 函数，在数学分析中称为调和函数，所以速从上可见，在不可压流体的有势流动

24、中，拉普拉斯方程实质 特殊形式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求满定边 斯方程的问题。12.任意曲线上的速度环量等于曲线两端I 形状无关。根据速度环量的定义，沿任意曲线m立斯方程的程的一种 的拉普拉而凡是满 是一个调和函这样，将求环量问题，变为求 若A点和B点重合，速度势函数是 度环量等于零，即曰差，而与曲线的3.等势面与流线垂直将流场中速度势相等的点连接起来, 流动中，称为等势线。在等势面上为等势面。在平面势函数值之差的问题于任意封寸闭曲线，(封闭曲线的速(X, y, Z) = C因为代入上式，得(4.19)因为dl是等势面上的有向线段，所以上式说明4.速度势在任何方向上的偏导数，等于速度

25、在该根据数学上方向导数的概念，速度势 在任意方所以与流线垂直。的投影 的方向4.4平面流动的流函数4.4.1流函数的引入对于流体的平面流动，其流线的微分在不可压缩流体的平面流动中，速度场:1函数称为流场的流函数。由式(4.2|可由式(4.22)，令d =0，即=常数，可 (x,y)=常数的曲线即为流线，若给定一组常数彳或簇。由数学分析可知，式(4.21 )是 表示该函数，则有改写成下列形式(4.20)呈，(4.23)由此，只1.对于不可压缩流体的平面流动，流函数将式(4.23)代入式(4.21),得即流函数永远满足连续性方程。ble fluid, strea足拉普拉斯方程,对于平面无旋流动，因

26、为将式(4.23)代入上式，得给定流场中某一固定点的坐标(xo,yo)代入流函数，便可得到一条过该点的确定 的流线。因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场。对于极坐标系，方程(4.22)与(4.23)可写成(4.24)(4.25)在已知速度分布的情况下，流函数的求法与速度势一样，可由曲线积分得出。至此可看到，在不可压缩平面流动中，只要求出了流函数(x,y)，由式(4.23)或式(4.24)就可求出速度分布。反之，只要流动满足不可压缩流体的连续性方程， 论流场是否有旋，流动是否定常，流体是理想流体还是黏性流体，必然存在流函数。这里需说明，等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。对于三维

27、流动，不 存在流函数，但流线还是存在的。4.4.2流函数的性质数也是调和函，则永远满足连续,ion satisfiesT2. For planar potential flow of inco Lap lace' equatio n, and is a harm onic func对于不可压缩流体的平面势流，流函 数。It is clear that the stream function of incompressible irrotational planar flow also satisfies LapI acesequati on, and is a harm onic fu

28、n cti on.可见，不可压缩流体平面无旋流动的流函数 也满足拉普拉斯方程，也是一个调和函数。因此，在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题，可以转化为求解一个满 足边界条件的拉普拉斯方程。3.平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量等于两条流线的 流函数之差。这就是流函数 的物理意义。如图4-13所示，在两流线间任取一曲线 AB，则通过曲线AB单位厚度的体积 流量为(4.26)由式(4.26)可知，平面流动中两条流线间单位宽度通过的流量等于这两条流线上 的流函数之差。4.4.3和的关系1.满足柯西-黎曼条件如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速度势和流函数，比较 式

29、(4.15)和式(4.23)，可得到速度势函数和流函数之间存在的如下关系这是一对非常重要的关系式，在高等 数学中称作柯西-黎曼条件。因此， 和互为共轭调和函数，这就有 可能使我们利用复变函数这样有 力的工具求解此类问题。当势函数和流函数二者知 其一时，另一个则可利用式(4.27) 的关系求出，而至多相差一任意常 数。(4.27)Fig. 4-14 Flow Net1.流线与等势线正交式(4.27)是等势线簇(x,y)=常数和流线簇(x,y)=常数互相正交的条件，若在同一流场中绘出相应的一系列流线和等势线，贝尼们必然构成正交网格，称为流网， 如图4-14所示。Exa mple 4.4Veloci

30、ty distribution of an incompressible planar flow is.Fi nd :(1) whether there exist stream fun ctio n and velocity poten tial in the planar flow; (2) the expressions of and if they do exist; (3) if the absolute pressure at point A(1m, 1m) in the flow field is 1.4 >105Pa, density of the fluid is 1.

31、2kg/m3, what is the absolute p ressure at point B(2m, 5m)?例4.4有一不可压流体平面流动的速度分布为。(1)该平面流动是否存在流函数和速度势函数；(2)若存在，试求出其表达式；(3)若在流场中A (1m, 1m)处的绝对压强为1.4 X05Pa,流体的密度1.2kg/m3,贝U B (2m, 5m)处的绝对 压强是多少？Solutio n:(1) From continuity equation of incompressible planar flow解由不可压流体平面流动的连续性方程The flow meets con ti nui

32、ty equati on, thus there exist stream fun ctio n.该流动满足连续性方程，故存在流函数。For planar flow,对于平面流动,and because，又因为So the flow is irrotati on al, there exist velocity poten tial fu该流动无旋，存在速度势函数。(2) According to the total differential of stream function, we o由流函数的全微分得：By in tegrati on, we have积分，得Accord ing to

33、 the total differe ntial of velocity poten tial , we obta in由速度势函数的全微分得：By in tegrati on, we have积分，得Exa mple 4.5Assume velocity distributio n of a planar flow isFind: (1) whether it satisfies continu ity equati on; (2) velocity poten tial ; (3) stream fun cti on例4.5设平面流动的速度分布为求：（1）是否满足连续方程；（2）速度势；（

34、3）流函数。Solutio n:(1) Si nee 由于The flow satisfies con ti nu ity equati on.流动满足连续方程。/x =x=(2) For planar flow, x= y=0. 对于平面流动，x= y=0。So the flow is irrotati on al, th potential :所以流动是无旋流动，存在速Take in tegral p ath as show n in sec ond term on the right-ha nd side is con sta nt, thus取积分路径如图4-15所示，上式 为常数，所

35、以(3) Since continuity equation is satisfied, there must exist stream function . Because the in tegratio n is independent of in tegral p ath, we may take the same in tegral p ath show n in Fig. 4-15.因为满足连续性方程，故存在流函数。由于积分与路径无关，可以取图4-15 相同的积分路径。Exa mple 4.6Stream function of incompressible planar flow

36、is =5xy, (1) Prove the flow is a poten tial flow, the n find velocity poten tial fun cti on; (2) Fi nd velocity at point (1,1); (3) If pressure at point (1, 1) is 105Pa, the density of the fluid is =1000kg/m3. Find the p ressure at the stag nati on point in flow field.例4.6不可压缩平面流场的流函数为=5xy，( 1)证明流动有

37、势，并求速度势函数；(2)求(1,1)点的速度(单位为m/s);( 3)如果点(1,1)的压强为105Pa, =1000kg/m3。 试求流场中的驻点压强。Solutio n:(1) Si nee解： 因为And because the flow istwo-dime nsio nalflow, x=0, y=0,therefore the flow is potential flow, there existvelocity poten tial fun cti on.,故流动为有势又因为是平面流动，x= y=0,流动，存在速度势函数。(2)velocity components at po

38、int (1, 1) are v=5(m/s) and vy=-5(m/s)(1，1)点的速度分量为 vx=5(m/s), vy=-5(m/s)(3) Suppose pressure at the stagnation point is po, from Bernoulli ' equation for incomp ressible fluid, we obta in设驻点的压强为P0，由不可压缩流体的伯努利方程，得4.5基本平面势流及其叠加4.5.1直均流所谓直均流，就是流体质点以相同的速度相互平行地作等速直线运动。如图4-16所示，取流体运动方向为ox轴，其速度分布为Vx=V0

39、，Vy=0.因为=vox所以是无旋运动，存在速度势(4.29)当=常数时，x=常数，所以等势线是 x = C的一族与y轴平行的直线 口图4-16 中的虚线所示。将速度分布函数代入人连续 因为满足存在流函数=V0y(4.30)当=常数时，y=常数，所以流线是平4.5.2源和汇如果在无限平面上流体不断从一 流动称为点源，这个点称为源点，如图 均匀地从各方流入一点，则这种流动称 显然，这两种流动的流线都是从原点 都只有径向速度Vr。现将极坐标的原点Fig. 4-16 Parallel Flow 轴的直线族，如图4-16中箭头线所示。这个点称勺放射线，即从原点或汇点,向各方流出，则这种 流体不断沿径向

40、直线如图4-12(b)所示。在出和向汇点流入系中的速度分布(4.31)可以证明该流场满足速度势和流函数 的存在条件，速度势为(4.32)SinkCiD(b) Si nkSource < 源)Fig. 4-17 (a) Source或者(4.33)当=常数时，r=常数，所以等势线是r= C的一族同心圆。C为任意常数。 流函数为(4.34)当=常数时，=常数，所以流函数的等值线是 =常数的射线族，如图4-17所示。列出流场中任一点与无穷远点间的伯努利方程，得式中P为无穷远处(速度为零)的压强，则任意一点的压强可表示为(4.35)由上式可知，压强随距离r减小而减小，在处压强变为零。10Fi图4

41、-18为汇的压强分布图4.5.3点涡设有一旋涡强度为I的无限长直线涡束，该 涡束以等角速度 绕自身轴旋转，并带动涡 束周围的流体绕其环流。由于直线涡束为 无限长，所以可以认为与涡束垂直的所有 平面上的流动情况都一样。也就是说，这 种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面 流动来处理。由涡束所诱导出的环流的流 线是许多同心圆，如图4-14所示。根据斯 托克斯定理可知，沿任一同心圆周流线的 速度环量等于涡束的旋涡强度，即Fig. 4-19于是(4.36)因此涡束外的速度与半径成反比。若涡束的半径 样的流动称为点涡，又称为纯环流。但当 时,，则成为一条涡线，这，所以涡点是一个奇点。向。现在求点涡的速度势

42、和流函数。由于积分后得速度势又由于积分后得流函数时，环流为反时针方向，如图4-14所示;(4.37)时,(4.38)顺时针由式(4.37)和式(4.38河知，点涡的等势线簇是经过涡点的放射线，而流线簇是 同心圆。而且除涡点外，整个平面上都是有势流动。设涡束的半径为ro,涡束边缘上的速度为，压强为P0；时的速(4.40)度显然为零，而压强为P。代入伯努里方程(3.41),得涡束外区域内的压强分布为(4.39)由上式可知，在涡束外区域内的压强随着半径的减小而降低，涡束外缘上的压 强为所以涡束外区域内从涡束边缘到无穷远处的压强降是一个常数。又由式(4.39)可知，在处，压强，显然这是不可能的。所以在

43、涡束内确实存在如同刚体一样以等角速度旋转的旋涡区域，称为涡核区。由式(4.40)可得涡核的半径。以dx和得积分得将涡核内任一点的速度vx=- y和vy=由于涡核内是有旋流动，故流体的压强可以根据欧拉运动微分方程求得。平面 定常流动的欧拉运动微分方程为在r=ro处，p=p0、v =v0，代入上式，得最后得涡核区域内的压强分布为(4.41)(4.42)于是涡核中心的压强所以可见，涡核内、外的压强降相等，都等于用涡核边缘速度计算的动压头。涡核 内、外的速度分布和压强分布如图 4-20所示。t/ore.4-204.6基本平面势流的叠加的"CVelocity and rnes:sin but

44、mi既然在上述章节所给出的基本流函数 那么也可以将这些基本流动进行叠加，从而得到由方程(4.15)与(4.23)可知，速度是流函数或势函数的线性函数。另外，拉普拉 斯方程也是线性函数。根据拉普拉斯方程的线性关系可知，如果已知两个解，则该两个解的任何线性 组合也构成一个解。这意味着通过叠加、即将简单的解相加，可以构造出方程更复 杂的解。换句话说，如果存在两个无旋不可压的速度场，则速度的矢量合也是无旋不可 压流动方程的有效解。设有势函数1、 2、3等等，这些函数的叠加便构成一个新的势函数1+ 2+ 3+?(4.43)从而因此(4.44)流函数也存在类似的关系。由于所有势函数满足拉普拉斯方程，则(4

45、.45)类似有(4.46)4.6.1螺旋流回旋式燃烧室或离心式除尘器内的流动可视为汇流与涡流的叠加，称为螺旋流。如环流的方向是逆时针方向，贝»加后的势函数与流函数可表示为式中q为流量，r为半径，为转角， 为速度 等势线与流线的方程为(4.48)(4.49)(4.47)(4.50)z0二CFig. 4-21P 二 CSpiral Flow 螺旋流该两方程构成了相互正交的对数螺旋线，如图4-21所示。径向速度及切向速度为(4.51)(4.52)利用伯努利方程，可导出压强分布的表达式为(4.53)4.6.2偶极偶极被定义为等强度的源和汇的极限情况。当源与汇相互靠拢时，其强度与间距的乘积为一

46、常数。如图4-22(a)所示，源位于点A(-a,0)，而等强度的汇位于点B(a,0)。偶极的强度为(4.54)式中M为一常数，具有体积流量单位。y屮=ClPAi.-'A, 0)/v<p=cFig.4-22 Doublet 偶极偶极的轴线为由汇到源、也就是它们相互靠拢的直线。速度势为° 0 )Z/(4.55)式中。注意，式中为无穷由图4-22(a)的几何关系有 小。贝U所以势函数为(4.56)等势线的方程为等势线为一族通过原点且圆心在 x轴上的圆，如图4-22(b)所示。 利用关系对偶极，有积分，得4.58)流线方程为(4.59)流线为一族通过原点且圆心在 y轴上的圆。原

47、点为奇点，其速度为无穷大，如 图4-22(b)所示。4.7绕圆柱体流动4.7.1绕圆柱体无环流流动偶极与均匀流的叠加可用来表征绕圆柱体流动，见图 数为4-23。此时势函数与流函(4.60)(4.61)流线方程为y3DFig. 4-23 Flow around5 =0的流线可由y=o及的圆。对于定常流动的流线, 表示了绕半径为r0的圆柱体流动。根据势函数或流函数，可得流场中任一'(4.62)这即为这速为轴和半径方程(4.61)x可能的,(4.63)由方程(4.63)可知，在无穷远处Vx= V、Vy= 0。这说明在无穷远处仍然为均匀流。 在点A与B处速度为零，分别称为前驻点与后驻点。在极坐

48、标系中速度表示为(4.64)绕圆柱体的速度环量为(4.65)圆柱体表面r=ro，速度为(4.66)在=0与=(驻点)处速度为零，在=/2及=3 /2处速度达到最大值2v 。 由伯努利方程得从而(4.67)定义压强系数为此时，压强系数(4.68)(4.69)Fig. 4-24 P ressure Coefficie nt压强系数可知压强系数与圆柱体的半径、无穷远处的速度及压强无关。如图4-24所示,对于理想流体，压强系数是对称的。故圆柱体的升力及阻力都为零。事实上，没有粘性，根本就不会有升力及阻力。理想流体绕任何物体的流动， 会在该物体的前端与尾部产生对应的驻点，压强在流动方向上的增量永远为零。

49、1： (deal lluid： 2:屁AR广氐4.7.2绕圆柱体有环流流动承接上节的例子，在偶极均匀流中加上涡流，可表征绕圆柱体有环流流动, 图4-25所示。在极坐标系中，势函数与流函数为(4.70)绕圆柱体由环流流动Fig. 4-25 Flow around a Cyli nder with Circulati on 流场中任一点的速度为(4.72)在圆柱体表面r= ro,流函数为,表明圆柱体表面为一条流线。y'a )由伯努利方程，圆柱体表面压强;通过对压强在表面进行积分，可得作用(h )Fig. 4-26 P osition of Stagn圆柱体表面的速度为(4.73)这说明流体

50、绕圆柱体表面流动时不会分离。无穷远处vx=v，vy=0,即无穷远处的流动为均匀流动。如果涡流顺时针流动，即 <0，则速度在圆柱体上半部增加而在下半部减小, 其关于x轴的对称性被破坏，从而导致驻点偏离 x轴，驻点的位置由下式确定(4.74)如果环量的绝对值I |<4 r0v，贝U |sin | <1，驻点位于如图4-26(a)所示的位置。 如果| |<4 r0v，驻点位于y轴的负方向，如图4-26(b)所示。如果| |<4 r0v，驻点 将脱离圆柱体的表面。y1(4.76)将(4.75)式代入(4.76)式，得(4.77)(4.78)方程(4.78 )表明，升力与流

51、体的密度、速度及环量成正比，这就是库塔-儒可夫斯基定理。Dd is describethetionId itis suggested thatvz=2z4.6 It is known that streaconcen tric &y方程给出vz=2zv=x2yi xmp ressible fl equati ons2yvy=该流动是否无旋？(有旋)ntthe con ti nuitation isvelocityity distributio n isP roblems4.1 The velocity field of a rotati onal flow is give n byFi nd the average an gular rotat ing velocity at point (2,2,2).已知有旋流动的速度场为求在点(2,2,2)处平均旋转角速度。(x=0.5，