有关圆锥曲线的经典结论

1、有关解析几何的经典结论一、椭 圆1.点P处的切线PT平分 PFF2在点P处的外角.除去长轴2.PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离4. 以焦点半径PF为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切x25. 若Po(Xo, yo)在椭圆a2X6. 若Po(Xo, yo)在椭圆a2爲 1上，则过F0的椭圆的切线方程是 竽ba2笃 1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为byoy1P、P2,则切点弦PP2的直线方程是竽a27.椭圆务ayoyb22*11.(a >b>0)的左右焦点分别为Fi, F

2、2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为2Sf1 pf2 bt形.第6页，共7页2 2a exo (Fi( c,0),X y8.椭圆务 1 ( a > b > 0)的焦半径公式：I MFj I a eX) , | MF2 | a bF2(g0)m (Xo, yo).9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于 M N两点，贝y MFL NF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点PQ, Ai、A为椭圆长轴上的顶点,AiP和AQ交于点M AP和AQ交于点N,则2 211.AB是椭圆笃与a

3、2b2KK AB2°a yoMFX NF.1的不平行于对称轴的弦,M(Xo,yo)为AB的中点，则kOM kABb2a12.若F0(xo, yo)在椭圆2 X 2 a2込 1内，则被Po所平分的中点弦的方程是2baXoXb22Xo2a2b213.若Rdo, yo)在椭圆2 2 鶴 1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 ba2 y b2XoX2ayoyb2二、双曲线1.点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的内角.2.PT平分 PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交4. 以焦点半径

4、PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)5.若P0(x0,y0)在双曲线6.若Po(Xo, yo)在双曲线点弦PiP2的直线方程是2Xp a2X p aX0Xa2 y_ 1 b212r 1b21y0y(a > 0,b > 0)上，则过P0的双曲线的切线方程是X0X2a(a>0,b >0) 外，则过Po作双曲线的两条切线切点为1.2 27.双曲线221 ( a> 0,b > 0)的左右焦点分别为F1，F 2，点a bP为双曲线上任意一点则双曲线的焦点角形的面积为SFiPF2叽.y0y 1Pi、P2,则切F1PF22 28.双

5、曲线2 2 1 ( a> 0,b > 0) a b当M (X0, y0)在右支上时，当M(X0,y0)在左支上时，的焦半径公式:| MF1 | eX0| MF1 | eX0(Fi( c,0),F2(c,0)a.a, | MF21 eX0a , | MF2 | eX0 a9.设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于 M N两点，贝y MFI NF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A为双曲线实轴上的顶点,AiP和AaQ交于点M AP和AQ交于点N,贝U MF1 NF.11.A

6、B是双曲线KOM K AB2X2ab2X01 ( a > 0,b > 0)的不平行于对称轴的弦,M(X0,y0)为AB的中点，则2a y。，即Kab12.若P0(X0, y。)在双曲线2 X 2 ab X。a y2与 1 ( a > 0,b > 0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是bX0XTaYcy22X0 y0 r TT a b13.若2XP0 (X0, y0)在双曲线a2y勺 1 ( a > 0,b > 0 )内，则过Po的弦中点的轨迹方程是b2 X 2 ay2XqXaYcyb2 .椭圆与双曲线的对偶性质椭(会推导的经典结论) 圆21.椭圆X2a2b2

7、1 (a>b>0)的两个顶点为 A1( a,0) , A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于PP时AP与A2P2交点的轨迹方程是2 22X-L12. 2I a b(a >0, b >0)上任一点A(X0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且kBC2a yb2X0 (常数).3.若P为椭圆1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点，PF1F2PF2F1，则tan?cot2.24.设椭圆笃a(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在P F1F2中，记 RP

8、F2PF1F2F1F2 P，则有一Sin一sin sin(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为L,则当0vew1时，可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离 d与PF2的比例中项.X26.p为椭圆a2y吉 1 ( a >bb > 0 )上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内定点，则2a IAF2I |PA|PF1I 2a| AF1 |,当且仅当A, F2, P三点共线时，等号成立.7.椭圆(X X0)(y y。)22a«2 22, 2A aB b2X8.已知椭圆a1(AX02y_b2b22By0 C).1与直线 Ax By C 0有公

9、共点的充(a > b > 0) , O为坐标原点， P、Q为椭圆上两动点，且OP要条件是OQ . (1)1|OP|2 |OQ|22b2 |PF | | MN |2X10.已知椭圆a29.过椭圆务a轴于P,则P(Xo,O),则2 y b22aX211.设P点是椭圆a1;(2) |OP|2+|OQ|2 的最大值为2ba4 2b 2笃；(3) S OPQ的最小值是 b2(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于b22 y b22 b22-2a b272 .a bM,N两点，弦 MN的垂直平分线交X> b>0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与 X轴

10、相交于点2.2a bXo> b > 0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记F1PF2，则(1) | PFj PF2| .(2)1 cosPF1F25.x212.设A、B是椭圆a271(a > b > 0 )的长轴两端点，P是椭圆上的一点， PAB有关解析几何的经典结论2PBABPAc、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有2ab |cos |(1) |PA| -2-J .(2)a c costan tan2 22c2a b 丄e .(3) S PAB2 cotb a13.已知椭圆1 ( a > b>0)的右准线I与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭

11、圆相交于A、B两点，点C在右准线I上，且BC X轴，则直线 AC经过线段EF的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注 :在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项双曲线2 21.双曲线务与a2 b21 ( a&

12、gt;0,b > 0)的两个顶点为 A1( a,0) , A (a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P、2 2XyP2时A P1与AaP2交点的轨迹方程是 1 .ab22.过双曲线务a2占 1 (a> 0,b > o)上任一点 A(Xo, yo)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于bB,C两点，则直线b2xBC有定向且kBc pA (常数).2a y。23.若P为双曲线一2a1 (a>0,b > 0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F2是焦点，PF1F2PF2F1，则tan cot (或-22 c atan cot ).2 2第8页，共7页24.设双曲线X

13、aF2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在2苕1 (a> 0,b >0)的两个焦点为F1、 PF1F2 中，记F1PF2PF1F2F1F2 P，则有Sin - e.(si nsin ) a有关解析几何的经典结论第12页，共7页2 25.若双曲线冷a b1 (a> 0,b >0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为L,则当1 < ew J2 1时,可在双曲线上求一点P,使得PFi是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.2x6.P为双曲线笃a2与 1 ( a > 0,b > 0)上任一点,F 1,F 2为二焦点，A为双曲线内一定点，则b| AF

14、2 | 2a|PA| | PFi |,当且仅当A, F2, P三点共线且P和A, F2在y轴同侧时，等号成立.2x7.双曲线a8.已知双曲线2 y 孑2xa1 ( a> 0,b > 0)与直线 Ax By C0有公共点的充要条件是.22A aB2b2C2.1 |0P?2yb211 (b> a > 0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且0P0Q.29.过双曲线务a|OQ I22分线交x轴于P,2x10.已知双曲线飞a点 P(Xo,O),则Xo2x11.设P点是双曲线一2"a1122“ 冃，+、， 4a 2b2c;(2) IOPI +IOQI 的最小值为

15、2 ； (3) S OPQa bb a(a> 0,b > 0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于的最小值是M,N两点，弦则2.1 MN I 22每 1 (a > 0,b > 0) ,A、B是双曲线上的两点，线段 AB的垂直平分线与 ba2 b2或X0a22 .2a b则 |PFi II PF2 |71 (a>0,b > 0)上异于实轴端点的任一点b2b2.(2),F1、F2为其焦点记12.设 A、B是双曲线1 cos2xa2 y b2PBABPA tantanPFiF2b2cot-(a > 0,b > 0 )的长轴两端点，Pe分别是双曲线的半焦距

16、离心率，则有_ 2, 2c2 a bS PAB72cotb a是双曲线上的一点,213.已知双曲线笃a22b21 (a > 0,b > 0)的右准线I与x轴相交于点a2b2 b2 aMN的垂直平x轴相交于F1PF2PAB2， 2ab I cos IPA 222_II a c cos IE ,过双曲线右焦点 F的直线与双曲线相交于 A B两点，点C在右准线I上，且BC x轴，则直线 AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连

17、线必与焦半径互相垂直16.双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注：在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.17.双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18.双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项其他常用公式:1.连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：ABJ1 k2 卜1X22.直线的一般式方程：任何直线均可写成加+ 0y+U = °（A,B不同时为0）的形式。0的直线）_ Ig-Gl 必十护。3.

18、知直线横截距心，常设其方程为兀=傑+吗（它不适用于斜率为与直线/：加+砂+0=0垂直的直线可表示为 吐/丁十y44.两平行线"F+GUM+启* = 0间的距离为 5.若直线人：*+£法心=0与直线&时也叶0平行则A為丛=0 （斜率）且耳1也工0 （在丁轴上截距）（充要条件）6.圆的一般方程：*，特别提醒：只有当DHk'-4F>0时,3 a+丘2 -4厅方程K +_y 4D工斗即+0才表示圆心为 '、工，半径为2的圆。二元二次方 程肿+阳+夕+巫+卵+ 10表示圆的充要条件是4UE且占M且0丁+矿-4血>0。（x = 3 +r C03&（日为参数），其中圆心为Q），半径为厂。圆的参数方程的主要应用是三角换元.定2 +b =严2 T T =尸 C懐日 j = psin.9 . 74 J j： = r cos 9,y-r