(江苏专用)2020年高考数学一轮复习考点14导数的应用必刷题(含解析)

1、考点14导数的应用x 21.（江苏省苏锡常镇四市 2019届高三教学情况调查二）已知e为自然对数的底数，函数f e e ax的上方，则实数a的取值范围为3y ax图像恒在直线 2【答案】 2e 1,0【解析】因为函数x 2e ax的图像恒在直线3y 2 ax上方,所以x R, ex2 ax3.x一 ax恒成立，即：e23一x恒成立.2当a 0时，若X不满足ex a x2恒成立0 时，ex 00恒成立.0时，不等式ex恒成立等价于:23x x2x emind 3x 1 x2 ，此时，h x在上递减,3在 1,3上递增,233,上递减，其简图如下:2 1 e所以一一，又a 0 ,a2解得：e a

2、0. 2 e 综上所述：e a 0.2f= f x+ "W 02.(江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试) 若函数 I"-加匕工> °在其定义域上恰有两个零点, 则正实数a的值为.：【答案】【解析】当xwo时，f (x) =x+2x,单调递增，f( i)= 1+2 20, f (0) = 1 >0,由零点存在定理，可得 f (x)在(-1, 0)有且只有一个零点；则由题意可得x>0时，f (x) =axTnx有且只有一个零点， lnx即有a 1有且只有一个实根.令 g (x)当 x> e 时，g' ( x) v 0, g (x)

3、递减；当 0v xve 时，g' ( x) > 0, g (x)递增.1即有x=e处取得极大值，也为最大值，且为 。，当xT + sj t。如图g (x)的图象，当直线 y=a (a>0)与g (x)的图象只有一个交点时，则 a1f故答案为:3.（江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末检测试）若存在正实数x, y, z 满足加之 + 3/ 1。/，ey Inx - Inz =富，则，的最小值为 t> 3ln (/M) = In 才lnp令;%3,ln eet - Int , t呜3kJ,f （t） = et - Int ,利用函数求导求最值.: 正实数 x,

4、 y, z 满足 3y2+3z2 w I0yz, 3ML萼ln=In3则InInf (t) = et - Int ,et一Intf ' (t) =e0,I 1二归四可得f （t）在匕）递减，在（点）递增, f ( t ) min = f=1 ( 1) = 2,即(ln) min=2,的最小值为e2,故答案为：e2.4 .（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港 ）2019届高三年级第一次质量检测）已知 |z>0,且* + /=6,则尸+ / +女的最小值为 .37【答案】【解析】/ + / + ：/= / + / +-=至 - 3jt + ty - 十i令 r（©=

5、/ _：b g（y）=壬r 4,/=3/-3 = 331）（x+1）1,卜 ）0,/（幻在'Ll）上递减，在1匚+8）上递增,所以，I _ 3V-5|45当2时，必（用有最小值：4I 45 37所以，/ + /+a的最小值为 44故答案为：1 .5 .（江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第三次调研考试）已知数列,/1b = it满足 5%-2）% =（什 2）, %（fiE/V'）.（1）若"3,证明：饱是等比数列；1 1 1（2）若存在|kwN'，使得/，咻7,队斗2成等差数列.求数列1%的通项公式；也卸+>砥讦+1

6、）-匕iD证明： 2 M22._ 11 1+ 2 "得-n = 2 -O-D,艮丸=勖丁%口痔-1.【答案】（1）见解析；（2）,匕 见解析【解析】（1）由e%,-2）%=（2%-1）%.1,得；二因为一工所以二一一手 0,所以明一- = 2(心 2),所以九是以片为首项，2为公比的等比数歹U.设叮 ,由（1）知，=叫】，所以"他,1 = 2%=2"一闯，即7所以飞,因为电，/+ , Al成等差数列，则。"、+俱"7 +k+力=2（1"+火+1）,所以121二0,所以修0,要证Inn + /口 > InS + 1-1,、 n +

7、 1即证11 n + 1-+ > 2 In,即证门“+ 1”1 1 £-1 + t - 1 +，则 H « + 11i,且 >1|从而只需证，当时,t > Zlntf(x) = x2lnx设3>1),.12/1f(x) = 1 + = I-F x x1P> 0,所以（刈在十9上单调递增,所以">加=。,即x > 2li1t > 21nt所以，原不等式得证.6.（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知数列c I2/，an , ai2 ,且 an 1 an an 1 对任意n N恒成立.（1）求证：an i

8、 anan 冏 2L a2al 1（n N）；（2）求证：an 1 nn 1（ n n ）.【答案】（1）见解析（2）见解析22【解析】（1）当n 1时，a2 a1 a1 1 2 2 1 3满足a2a1 1成立.假设当n k时，结论成立.即：ak 1 akak 1ak 2L a2a1 1成立下证：当 n k 1 时，ak 2 akakak iL a2ai 1 成立。因为ak 2ak i ak i 1 ak i ak i 1ak iakak iak 2L a2a11 ak iakak iak 2L a2a1即：当n k 1时，ak 2ak iakak iL a2ai1 成立由、可知， an 1

9、anan 1an 2L a2al 1 ( n N*)成立。211 3 2 17 22 1 成立,(2) (i)当 n 1 时，a2 22 1 3 11 成立，当 n 2 时，a3 a2e a2 1 a2 a2 1(ii)假设n k时(k 3),结论正确，即:kak i k 1成立下证：当n k 1时，ak 2k ik 11成立.2因为 ak 2ak 1 ak 11ak 1 ak 11kk 1 kk 1k2kkk1k 1要证 ak 2k 11,只需证 k2k kk 1 k 1 k11 In1 1 In1 1 01只需证：k2kk 1k1,k 1只需证：In k In k 1即证：2klnkk 1

10、 In k 10 (k 3)记 h x 2xln xx 1 In x 1h x 2 Inx 1In x 112ln x In x 11,x1 八In 1 In x 1 2x 1x 1当 x 1>2 时，In x 111 In 2 - 22所以h x 2xIn x x 1 In x 1在1,上递增,又 h 32 31n3 41n 4 ln3 6 In 44 ln729ln2560所以，当x 3时，h x h 30恒成立。即：当k 3时，h k h 30成立。即：当k 3时，2k1nk k 1 1n k 1。恒成立.k 1所以当k 3, ak 2 k 11恒成立.由(i)(五)可得：对任意的

11、正整数n N，不等式an 1 nn 1恒成立，命题得证.27.(江办管办锡吊镇四市 2019届局二教学馆况倜查二)已知函数f x x 2 a x alnx ,其中a R.(1)如果曲线y f x在x= 1处的切线斜率为1,求实数a的值；(2)若函数f x的极小值不超过 a,求实数a的最小值；2(3)对任意X 1 , 2,总存在x2 4 , 8,使得f x = f x2成立，求实数a的取值范围.【答案】(1) 3； (2) 2； (3) -6 a 7722 ln2 7 3ln2a 【解析】(1)由题可得：f x 2x 2a ，所以f122aax又曲线y f x在x 1处的切线斜率为1,所以f 1

12、22aa1 ,33解得：a 32/、c 2 c2x1 x (2)a 2x 2 a x a2f x 2x 2 a - - x 0xxx因为函数f x的极小值不超过a ,说明函数f x有极小值alni一 .aa则一0 ,其极小值f二22即：1 a In a 02 42.1 a. a._记：ha 一In 一，上述不等式可转化成ha 02 42,122当 a2时，h 2 ln0,2 42要使得ha0,则ha h 211因为h a 一一 0恒成立，4 a所以h a在0,上递减，所以实数a的最小值为2(3)记 fx 在 x 1,2的值域为A, f x在x4,8的值域为B对任意X11,2 ,总存在x24,8

13、，使得 f xf X2成立,B成立当21时，fx在1,8递增，不满足A(n)当 12时,-,8递增，不满足A2（出）当24时,x在1,2递减，在4,8递增,要使得A4即：12a aln 2a 64 16168a8 4a aln4aln8整理得:16 oa 8 ln2a2 8时，f,a在1,2递减，在a-,8递增,要使得A即：64 16 8a aln8 1 2 a整理得:773ln2(V)当8时,1,8递减，不满足A B.综上所述:16772 In 28.（江苏省南通市基地学校7 3ln 22019届高三3月联考）某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地，准备建成各种不同鲜花景观带.为了便于游客

14、观赏，准备修建三条道路AB BC CA其中a B, C分别为圆上的三个进出口，且 A, B分别在圆心O的正东方向与正北方向上，C在圆心O南偏西某一方向上.在道路 ACIBC之间修建一条直线型水渠 MN中植水生观赏植物黄莺尾（其中点M N分别在BC CA上，且M在圆心O（1）求水渠MN£度的最小值;（2）求种植柳叶马鞭草区域 MNC®积的最大值（水渠宽度忽略不计）,并在区域mnCj种植柳叶马鞭草.【答案】（1） Z一百米；（2）的0。（置-1）平方米.【解析】（1）以圆心|。为原点，建立平面直角坐标系，则圆。的方程为一 十5/二sinO直线网的方程为NO, 1 - coaO直

15、线托的方程为,令令=0,得I cosOMl.011 - sM所以沙 f cost) MNZ = 11 - sinO( sinO11 ' cosOv 1 + sinO 1 + cosOJ 1 - sinO 1 - cosO1 + stnO 1 + cost)f即=+1 - sinf) 1 - cosU则(cost) - stnO)(2 + ainUcosO - 2in& - 2cosU)3)=-M-j1(1 - Sin(?)z(l - cosO)i令'o kI. . J当 h时，I/<,则/W单调递减；/5斤3耳当”1TT时，> o,则八/单调递增;51r所以

16、当"一彳时，/)砌把=6、2所以必k = 2-淄水渠阿川长度的最小值为2-京百米(2)由(1)可知,(cosO 、/5口), M。sini) 1匚皿,且0M LON则所以2”L不，I"去£1111 - sinO - cosO改9=5MM。+ / - 29M PN =(1-，仅1-3。)所以当t=7时，*： 二 '/k-1.种植柳叶马鞭草区域明凶面积的最大值为2平方百米另法：(2)因为UHn90'，所以MC4二45所以所以一媳一£ £T所以 ”cm =一f , |-v12<t1所以当（=T时，=Ia=+ Inx (a R)

17、x种植柳叶马鞭草区域|MNf面积的最大值为 2 平方百米.9.（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟）已知函数"" （1）讨论网好的单调性；（2）设.3的导函数为f,若/'（©有两个不相同的零点 与*士.求实数M的取值范围;证明：J("1)+ #> 2Mti + 2【答案】（1）见解析（2）/,见解析【解析】（1）（用的定义域为（°, *询，且f(x)=当口口时，/ M （成立，所以幻在：0， 9为增函数；当心口时，（i）当时，八方 >。，所以在/，|9；上为增函数;（ii ）当OCjtCQ时

18、，八所以（口）在口，可上为减函数.（2）由（1）知，当口/时，/V）至多一个零点，不合题意；当|口>。时，”灯的最小值为 人啖10 < Q V 依题意知 氏门14加。< 也解得 匚.一方面，由于口，在八 十3）为增函数，且函数/（*>的图 象在廿，上不间断.所以在（口 , + 3 J上有唯一的一个零点.0 < 0<-0 < 口" M 口 < -另一方面，因为 ，所以Jf（a2） = + Ina2 = + 2lna g（a） =- + 2lna u.a金 a0<口 <-时,“ 今=。=！ + 2打口 > * = e -&

19、gt;。所以口又幻在."，白;为减函数，且函数Ra)的图象在上不间断.所以，工在。，口.有唯一的一个零点.综上，实数a的取值范围是设=3 (与)+ 对出)=1 - 2 +12- x2. alux j + - = 0 ,旧心+=0 ,则尸=2 +M(修心).2卜面证明*1勺二 不妨设叮©修,由知。勺 要证“勺 >",即证'叼.a2无1, 一E(0. a)因为,(比在(°，口)上为减函数，(a2/I- 所以只要证 rJ .又(/)-，(勺卜,即证U .Fx) = / /-) - f(x) - -2/nx + 2ln.a (x> a)设函数

20、所以F(X)=(x -口产、-A >0ax4,所以“父在口所以从而“3)成立.成立.所以p 二工t加（#1勺） 2京日 + 2,即3,出）十/（勺”力作+ ?成立.10.（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港 ）2019届高三年级第一次质量检测）如图，某公园内有两条道路力瓦4广，现计划在 川'上选择一点匚,新建道路并把所在的区域改造成绿化区域.已孤1BAC =知 6,八日=2 km.（1）若绿化区域的面积为 依后,求道路的长度;（2）若绿化区域0白。改造成本为10万元/km,新建道路UC成本为10万元小田.设二日（ 当”为何值时，该计划所需总费用最小？2兀0<0 &l

21、t;3 )【答案】（1）戎一4【解析】（1）因为在|也现中，已知6所以由，灰，的面积S = X 4£f x X(7 x 5油一=126,由余弦定理得:BC2 = AB2 + AC2 - 2 x 4B x 4C x6= 224-22-2x2x2x t 唉=8-4、尺所以必:二次1币=忑-尊(2)由='则0< 0 < -所以HC£BAC sin(8 + -AC BC Ali，/H = 2 km,由正弦定理得占 irt 廿JihtA st.nt2sM AG =sin(t) +， 6记该计划所需费用为广,1 2sinO 1F(0) = - x - -xZx-xl

22、Df2 一定 会+ )610($E0 +1)x 10 = -LxLSinffi + )I sin(8 + )suil9+ 1fW=亏甲 1sini) + -cosO元 1-)+ -由,=0,得716.所以当,6时，fW<0,八。单调递减;=K 2X"A 丁时，八。）所以诲n _ _、时，该计划所需费用最小.11.（江苏省淮安市淮安区 2019届高三第一学期联合测试）已知函数/")=ax-l-lnx ae|R>.（1）当a= 2时，求函数（行的单调区间;（2）若函数I/V）在m=1处取得极值，对 匕W （0 , +s）（幻之以-2恒成立，求实数 b的取值范围.【答

23、案】（1）递增区间为,单调减区间为（。或(2)1_2jc x .【解析】（1）在区间（0. + M上，尸= 2-1 Q<x<-从而函数月灯的递增区间为7,函数的单调减区间为（2）因为函数（工；在r=1处取得极值，所以 八1） = 0,解得口二I.因为（幻之bU对以0/恒成立1 Inx1 +x x1 hixH =1 +X X易得©6在（0芦1上递减，在>，+ -）上递增双初 3 = #（/）= 1 - J所以小，即12.（江苏省苏北四市 2019届高三第一学期期末考试考前模拟）设区间 D -33 ,定义在D上的函数-3.， 一-f x ax bx 1 a 0,b R

24、集合 A a x D,f x 02设常数b 0.讨论f x的单调性；若b 1,求证A1【答案】(1) A a|0 a 一 见解析；见证明54【解析】 13121(1)当 b 时，f x ax x 1 ,则 f x 3ax 一 . 666由a 0可知f x 0恒成立，故函数f x在 3,3上单调递增,1_1所以 fx minf 327a -0,解得 0a 不，所以集合A a|0 a 看32.(2)由 f x ax bx 1 得 f x 3ax b,因为 a 0, b 0,则由 f x 0,得 x1,2Ab(x1 x2).在R上列表如下:x,x1XK ,x2x2x2,f x十0一0十f x单调递增

25、极大值单调递减极小值单调递增-b(i)当 x2 3,即 0 a 一时, 27则 3,3x1,x2，所以f x在 3,3上单调递减；b(ii)当x2 3,即a 时，此时x13,27f x在 3, x1和x2,3上单调递增；在 x1，x2上单调递减.b综上，当0 a 时，f x在 3,3上单调递减；27在b J 上单调递减 ; 3a 3a（方法一）当b 1时，由可知,(i)当 0 ab -时，f x在273,3上单调递减,所以f X min27a 3b 1b 3b2b 110,0恒成立矛盾,a不存在;(ii)当 a故此时实数f x 在 3,3baJ 2,3上单调递增;, 3aJ -上单调递减,1,

26、 3a . 3a所以f X min min f27a 3b0,这与D,X 0恒成立矛盾,故此时实数a不存在;27a3bX23ax2X223ax20,X2-3 uax2 bx2X2bx22 bx23b 13a2b3薨1因为a卜面证明0且27也即证:4b327a3b 1 0,则 27a 3b1,下证:4b33b4b33b1(b1),则 gb 12b2 30,所以g1上单调递增，所以0,即f X20.这与 x D, f x 0恒成立矛盾，故此时实数 a不存在.综上所述，A（方法二）（i）当x 0时，f 01 0成立;(ii)当x 0,3时，由题意可知ax3bx 1恒成立，则a2b2bx 34,x2b

27、因为1,所以所以0,32b上单调递增,32b3上单调递减,所以max32b4b398b3274b3匕-b-,所以a274b3273,0时,由题意可知3 axbx 1恒成立，则a2bx - x34 x2bx 34,x因为1,所以g所以在3,0上单调递增,所以min127，所以127,则存在实数a满足4b34b32727127也即b2b这与1r 3成立，即4b3 3b 127210成立,b 1矛盾,所以A13.（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市部分组成，下部为矩形 2019届高三第一次（2月）模拟）如图1, 一艺术拱门由两,的长分别为244切和4触，上部是圆心为口的劣弧CO2n jLCOD =

28、 3图W图图ABI 4*U_J(1)求图1中拱门最高点到地面的距离；(2)现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，如图 2、图3、图4所示.设修。与地面水平线|!所成的角为R.记拱门上的点到地面的最大距离为 |机试用。的函数表示W,并求 出力的最大值.4喜由。+ 2-j3cosG , 0 £ 0 <h = 6工簿 江帝2 + 2v'5s/n(6f + -). -<0<-【答案】(1)拱门最高点到地面的距离为5用(2) I 、/62,其最大值为|上+人科【解析】(1)如图，过门作与地面垂直的直线交/乩 G于点明，门2,交劣弧匚打于点

29、P,的 长即为拱门最高点到地面的距离.在心。”中，町成 ，他八工 所以,°2 = 1,圆的半径R = 0C = 2.所以 E += E +答：拱门最高点到地面的距离为5中,.(2)在拱门放倒过程中，过点 。作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点当点r在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离 上等于圆U的半径长与圆心a到地面距离之和;当点在线段 想上时，拱门上的点到地面的最大距离 人等于点打到地面的距离.由(1)知，在外一中,破 以方为坐标原点，直线'为轴，建立如图所示的坐标系.杆工"XJ .I_<g£ 当点|P在劣弧上时，6aOBx = 0

30、十 -由“。"二入吊由三角函数定义，3t汽烈«（八品如S+&）,人工也（。*）兀h = 2 + 2Jsin（ff + -）则 '6 .公兀 k i dh+ g=m所以当 G 2即 ,时，0<D毕，在鹏心/壮。中人取得最大值|2十23当点在线段上时,设口和 = 4Hd + C小=2皿,2J3 J2I4 绮sintp = -= =* cosqf =-="彳2<77由/加?I二门+中,得火人之风力十.2yf7sin(6 +1所以k2"皿吟斓二inO +蟠.ff一 IT .，口 白<一 = 4cos0 - 2J3si n8 &g

31、t; 4cos- 2 J3sin- = v 3 > 又当 研'6、&、K |0 * |所以h二45M十人位区。在门上递增.所以当“=i时，入取得最大值6.因为2 +所以|6的最大值为|2 + ?%月.综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为(|2 +入力)14.(江苏省扬州市 2018-2019学年度第一学期期末检测试)已知函数f(x) = (3 x)e x, g(x)=是自然对数的底数，e=2.718).求函数f(x)的极值；(2)若函数y=f(x)g(x)在区间1 , 2上单调递增，求实数 a的取值范围；+ g (3)若函数h(x)= 犬 在区间(

32、0 , +8)上既存在极大值又存在极小值，并且函数 h(x) 整数b,求b的最小值.【答案】(1)见解析；(2) 口之-(；(3) 4【解析】x+ a(a C R)(e的极大值小于*|( BN2伍+ x)|73+0-fM极大值忖(1) /(V)= (3-x)e l/X.t) =,令，(» = 0,解得.r = 2,列表:.当纪二2时，函数If"取得极大值/幻=，无极小值(2)由 y = /0)或用=(3-0仪+ 以)/ ,得 /=+ 13 - ajx t :加-2广卜(3-u)=d (1 - a)x + 2a + 3j|函数y二(,幻在区间12上单调递增等价于对任意的-re

33、L2,函数m")二。恒成立(3).、fW + flW (3-x)/ +x + «|"(-步 + -3)-廿h(x) = = w -,XXX令业)二道精+既一m)-d,.断K在(0, +8上既存在极大值又存在极小值，砥打二口在Q + s 上有两个不等实根,即«幻二|/+ :氏-=0在1Q1I上有两个不等实根 勺酒式/ <勺）.卜O）=小（- + 融-3- 2x + 3）=小-/ + 刈=取1 一工）/当卜W10）时，单调递增，当 相。+必时，/<0,单调递减. 在。，十5上连续且0） -!）<0,、，3、 r(ir r(-)<0,、（L-）“幻=在0：和.上各有一个实根函数网工在（O.+ s上既存在极大值又存在极小值时，有-?<.0<-J并且在区间|（0,1）上存在极小值卜（工。，3在区间上存在极大值 以勺）.(3-acje 2 + x2 + e + 3x2 - 3)%2 .->>方%)= . 1a -e ( - Jt2 + 3x2 - 3)x2= e2 - g) + 1令 二（2-r）, H'5 =当rw（i,+ 8）| 时，H&）单