(浙江专用)2020版高考数学新增分大一轮复习第二章不等式专题突破一高考中的不等式问题讲义(含解析)

1、高考专题突破一高考中的不等式问题题型一含参数不等式的解法师生扶研例1解关于x的不等式x2+ax+1>0(a R).解对于方程 x2+ax+1 = 0, A=a24.(1)当A>0,即a>2或a<2时，方程x2+ax+1 =0有两个不等实根 xi =a+a242，且 xi<x2 ,所以原不等式的解集为x x<-a或x>-a+y ； 22(2)当 = 0,即 a=±2 时，若a= 2,则原不等式的解集为x|xw1；若a= 2,则原不等式的解集为x|xw1； 当A<0,即一2<a<2时，方程x2+ax+1 = 0没有实根，结合二次

2、函数y=x2+ax+ 1的图象，知此时原不等式的解集为 R思维升华解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0,小于0,和大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系.(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.跟踪训练1 (1)若不等式ax2+8ax+ 21<0的解集是x| 7<x< 1,那么a的值是答案 3解析 由题意可知7和1为方程ax2+ 8ax+ 21 = 0的两个根.21 一 . 一 7X( 1)=1,故 a= 3.(2)若关于x的不等式|x1| +|x+m>3的解

3、集为R,则实数 m的取值范围是 .答案(8, - 4) U (2 , +OO)解析 依题意得，| x1| + | x+m 引(x1) (x + n)| = | 1| ,即函数 y=|x1| + |x+ m的最小值是| m 1,于是有|m 1|>3 ,1< 3或m+ 1>3,由此解得 n<4或n>2.因此实数 m的取值范围是(8, - 4) U (2 , +8).题型线性规划问题师生共研且z=ax+ y的最x + 2y>2,例2(2018 浙江五校联考)已知实数x, y满足约束条件x-y>- 1,2x y<4,大值为16,则实数 a=, z的最小值

4、为 .答案 2 1解析 如图，作出不等式组所表示的可行域( ABC其内部区域).目标函数z = ax+y对应 直线ax+ y- z= 0的斜率k= a.17_2x y = 4,(1)当kC( 1,即aw 1, a> 1时，目标函数在点 A处取得最大值，由 x-y=- 1,解得A(5,6),故z的最大值为5a+6,即5a+6=16,解得a= 2.x+ 2y= 2,(2)当kC(1, +8),即_ a>1,a<_ 1时，目标函数在点 C处取得最大值，由 x-y=- 1,解得q0,1)，故z的最大值为0xa+1 = 1,不符合题意.综上，a=2.数形结合知，当直线 z = 2x+y

5、经过点C时，z取得最小值，Zmin=2X0+1 = 1.思维升华其关键是准确作出可行域，理解目1 .利用线性规划求目标函数的基本步骤为一画二移三求,标函数的意义.2 .常见的目标函数有截距型：如2y z= 2x+ y, z=4xz=Op Om其中Mx, y)为区域内动点，R2,1)，等(2)距离型：如z= (x-2)2+y2, z =|2x-y| ,等等.斜率型：如y+ 1z= 丁，zx+y+1y+ 1xx2+ y + 1 2x +y+ xy + x '(4)二次曲线型:2如 z = xy, z = x3 .解题时要注意可行解是区域的所有点还是区域内的整点.x-y+ 1>0,跟踪

6、训练2 (1)(2018 湖州五校模拟)设实数x, y满足约束条件x+y 3<0,则z=2xy>0,y的取值范围为()A. (6, - 1)B. (8, -2)C. ( 1,8)D. (2,6)答案 D解析 方法一作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示.作出直线y=2x,平移直线，直线z=2x-y在点B( -1,0)处的取最小值为2,在点C(3,0)处的取最大值为6,所以z = 2xy的取值范围为(一2,6).方法二三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2) , ( 1,0) , (3,0),分别代入z=2x y求值，得0, 2,6,所以z=2xy的取值范围为(一2,6)

7、.2x + 5y>0,(2)若x, y满足2x-y>0,则不等式组表示的平面区域的面积为 , z= (x+x< 5,1)2+(y1)2的最小值为.9答案 30 -52x + 5y>0,解析 作出2x-y>0,表示的平面区域如图中阴影部分 (含边界)所示，则不等式组表x<5 ,11本的平面区域的面积为 -X5X2+ 2X10X5= 30.z=(x+1)2+(y1)2表示可行域内的点(x, y)与点M 1,1)之间的距离的平方，数形结合易 知，z=(x+1)2+ (y1)2的最小值为点 M 1,1)到直线2x y= 0的距离的平方，即 zmin =一2 一|2

8、X -1 1| _ 9、22+ 1 22 5.题型三基本不等式的应用师生共研(1)已知x2+4xy-3=0,其中x>0, yCR,则x+y的最小值是()3AqB.3C. 1D. 2答案解析由 x2+4xy-3= 0,得 y=3x-, 4x即有*+ y=x + S=3x+L 44x 4 x. x>0,x + x>2,即 x+ y>2,当且仅当x=即x=1, y =；时，x+y取得最小值|. X22(2)已知a>°，b>°，C>1，且a+b=1，则 絮- c +咨的最小值为答案解析4+2/a2+ 1 a2+ a+ b 2 2a2+ 2a

9、b+ b2ababab2a=+ 一+ 2>2b a2ab -7 石, a+2=2V2+2,当且仅当2a bb a'a+ b= 1,a=V2-1,即b=2-2时等号成立,a2+ 1ab-2。算2版+书=2师1)+书+2点A2y2小 c-1 占 +2=4+2艰，当且仅当2，2(ci)=c,即c=i+¥时，等号成立.综上，所求最小值为 4+2 ：2思维升华利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要思路有两种：对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.条件变形，进行“1”的代换求目标函数 最值.(2)有些题目虽然不具备直接

10、应用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常 数法、换元法、整体代换法.22x2+ 4y2跟踪训练3 (1)已知xy = 1,且0<yQ2-，则2y的最小值为()A. 4B.2C. 2 ：2D. 4 ：2答案 A解析 由xy= 1且0<y<、22,可知x>/2,所以 x 2y>0.x2+4y2 x-2y 2+ 4xy4x2yx-2y_ x-2y+ x-2y>4,当且仅当x=、，3+1, y=y 1时等号成立.(2)若实数x, y满足x2 + y2+xy=1,则x+y的

11、最大值是答案233解析 由 x2+y2+xy=1,得 1 = (x+y)2xy,22x + y. .(x+y) =1+xyW1+4,解得“:gwx+ yw，§(当且仅当x=y =当时取得最大值)，x + y的最大值为 42 3333题型四绝对值不等式的应用一师生共研例4 (1)(2018 浙江五校联考)已知aCR,则“aW9”是“2| x2|+|5+2*|<2无解”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 2| x2| + |5 +2x| =|2x-4| + |5 + 2x|刁2 x-4-5- 2x| =9,若 2|x2|+ |

12、5+2x|<a无解，则 a<9,同样若 a<9,则 2|x 2| + |5 + 2x|< a无解，所以“aw 9”是“2| x 2|+|5 +2x|<a无解”的充要条件.(2)(2019 温州模拟)已知 a, b, cC R,若| acos2x+bsin x+c| w 1 对 xCR恒成立，贝U|asinx 十 b|的最大值为.答案 2解析 | acos2x+ bsin x+ c| < 1, 即 | asin 2x bsin x (a+ c)| < 1,| b+c| <1,分别取 sin x=1, 1,0,可知 |bc|W1, | a+c| &l

13、t;1,所以 | a+ b| = |( a+ c) + (b c)| < I a+ c| + | b-c| <2, 且| ab| = |( a+ c) - ( b+ c)| < | a+ c| + | b+ c| <2.所以 max| asin x+ b| = max| a+b| , | a b| <2,当 a= 2, b= 0, c= 1 时，取等号.思维升华(1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等.(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求最值.跟踪训练4 (1)已知函数f (x) = |x5| +|x+3| +|x3|

14、 + |x+5| c,若存在正实数 m 使 f(m)=0,则不等式f (x)<f (m)的解集是 .答案(一簿m)解析 由 | x 5| + | x+3| + | -x- 3| + | x+5| = |x5| + | x+3| + |x3| + | x+ 5| 可 知，函数f(x)为偶函数，当一3WxW3时，f(x)取最小值16c.结合题意可得c*6.由f(n) =0 得 f(x)<0,即 |x 5| +|x + 3| +|x3| +|x + 5| c<0,结合图象(图略)可知，解集为(一 3n).(2)不等式|x2|十 |x+1| na对于任意xCR恒成立，则实数 a的取值

15、范围为 . 答案 (8, 3解析当x(-oo, 1时，| x- 2| + |x+1| = 2-x-x-1 = 1-2x>3;当 xC( 1,2)时，|x2|+|x+1| =2x+x+1 = 3;当 xC 2 , +8)时，| x2| + |x + 1| =x2 + x+ 1 = 2x- 1 >3,综上可得 |x 2| + | X+1| >3,aw3.课时作业夕基础保分练B.11a- 1>b 1A. 2a b>1C. a3>b31. (2018 宁波期末)若2, bCR且a<b<0,则下列不等式成立的是()D. a+ | b|>01<（

16、b - a- 1 b- 1答案 B解析 由 a<b<0 得 a- 1<b 1<0,则（a 1）（ b- 1）>0 ,所以（a 1） 1 111) - a-1 b-1，即三>一，故选B.2. (2018 浙江绍兴一中期末)若关于x的不等式|x+2|十| xa|<5有解，则实数a的取值 范围是()A. (-7,7)B. (-3,3)C. (7,3)D. ?答案 C解析 不等式 |x+ 2| 十|xa|<5 有解，等价于(| x+2| +|x-a|) m<5,又因为 |x+2| 十|x a| 刁(x+2) (xa)| =|2+a|,所以 |2 +

17、 a|<5 , -5<2+a<5,解得一7<a<3,即实数 a 的取 值范围为(一7,3),故选C.x一 y一 1 w 0)3.设集合 隹 x, y3x-y+1>0,x, yC R ,则M表示的平面区域的面积3x+y-1<0,是()A. .2B.|C.322D. 2答案 B11解析由题意，M表示的平面区域是以A(0,1) , B(- 1, 2), C-, 2为顶点的三角形及113其内部，如图中阴影部分所本(含边界)，所以其面积为2X2X -+ 1 =2.4. (2018一*4，2 1 , 一，杭州质检）若正数X, y满足233=0,则x + y的最小值

18、为（A. 2B. 3C. 4D. 5答案 B解析 由 2x+y3=0,得 2x+y = 3,_ 2 1 1所以 x'+ y=3(2x+y)2 112xx+y=35+7+2yx>3 5 + 2,9y =3,当且仅当即x = y=1时等号成立，故选B.5. (2018 金华十校调研)设*, yCR,下列不等式成立的是()A.1 + | x + y| + | xy| > I x| + |y|B .1 +2| x+ y| > Ix| + | y|C.1 + 2| xy| > | x| + | y|D.|x+ y| + 2| xy|> | x| +| y|答案 A1

19、解析对于选项B,令x= 100,y=- 100,不成立；对于选项C,令x=100,y=,不成立；对于选项 d,令x=；, y= 不成立，故选 A. 32x-y+ 1 >0,6. （2018 杭州学军中学模拟）设关于x, y的不等式组 x+m1c0,表示的平面区域y m>0内存在点P（x。，y。）满足x。一 2y0>3,则实数m的取值范围是（）A. （-1,0）B. （0,1）C. （一1,十°°）D. （一00, 一 1）答案 D解析 作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示（包含边界），当目标函数z = x 2y经过直线x + mi= 0与y- m

20、i= 0的交点时取得最大值， 即Zmax= mi- 2ml= 3ml则根据题意 有一3m>3,即 m<- 1,故选 D.y-ni(I当目标函数z = axx y 1 w 0,7. （2018 浙江舟山中学月考）已知x, y满足约束条件2x-y-3>0,+ by（a>0, b>0）在该约束条件下取到最小值2、/5时，a2+b2的最小值为（）A. 5B. 4C. ：5D. 2答案 B解析 画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分（包含边界）所示，可知当目标函数过直线x y1 = 0与2x y3=0的交点 A（2,1）时取得最小值，所以有2a + b=2、/5.因为a2+

21、b2表示原点（0,0）到点（a, b）的距离的平方，所以“"b2的最小值为原点到直线2a+b2V5 =0的距离，即 （"m”=蕾二2,所以a2+b2的最小值是4,故选B.y<i,8. (2018 嘉兴教学测试)若直线ax+by= 1与不等式组 2x-y-1<0,2x + y + 1 > 0表布的平面区域无公共点，则2a+3b的取值范围是（）A. (-7,1)C. (-7,3)答案 CB. (-3,5)D. RyW1,解析 不等式组 2x-y-1<0,表示的平面区域是以2x+y+1>0A(1,1) , B( 1,1) , Q0, 1)为顶点的三角

22、形区域（包含边界）；，力I =i iywi,表示的平面区域无公共点，所以a, b因为直线ax+by=1与不等式组 2x-y-1<0, 2x+ y+ 1 >0a+b-1>0,满足a + b 1>0,一 b 1>0a+ b 1<0,或一a+b1<0,故点（a, b）在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）内，所以2a一 b 一 1<0,+ 3b的取值范围为（一7,3）,故选C.9. （2019 诸暨期末）不等式x2+2x+3<0的解集为 ;不等式|3 -2x|<1的解集为答案 （8, - 1） U（3, +oo）（1,2）解析 依题意，不

23、等式x2+2x+3<0,即x2-2x-3>0,解得x<- 1或x>3,因此不等式 x2+2x+ 3<0 的解集是（一8, - 1） U（3, +8）；由 |3 -2x|<1 得一1<32x<1,1< x<2,所以 不等式|32x|<1的解集是（1,2）.10. （2018 宁波期末）关于实数x的不等式x2-4x>1+3在0,5上有解，则实数a的取值范 a围为.1答案（8, 0） U +8解析 由x24x>：+3得x2 4x3>，则问题等价于3小于x24x3在0,5上的最大值， aaa又因为x2-4x-3=（x-

24、2）2-7,所以当x=5时，x24x3取得最大值2,所以；<2,解得,1 ，1a<0或a>2,所以a的取值氾围为（一0°, 0） u 2, +°o .11. （2018 嘉兴测试）已知 f（x）=x-2, g（x）=2x5,则不等式 |f（x）| +|g（x）| <2 的解集为; | f (2x)| 十|g(x)|的最小值为 5答案 7,3337- 3x, x<2,5x+3, 2WxW 一解析由题意得 |f(x)| +|g(x)| =|x-2| +|2x-5| =23x- 7, x>|,7-3x<2,所以|f(x)| +|g(x)|

25、 <2等价于x<2-x+3<2,或 52<x<-3x-7<2, 或金5解得x<3,3|f(2x)| +|g(x)| =|2x-2| +|2x-5|7-4x, x<1, 53, 1<x<2, 54x-7, x>2,| f (2 x)| + |g(x)| 的最小值为 3.| f(2x)| +|g(x)|的图象如图，则由图象易得12. (2018 浙江镇海中学模拟)已知正数x, y满足1+2=1,则J的最大值是' x yx+1 y+1答案34解析 设u=； v=1,则问题转化为“已知正数u, v满足u+2v=1,求一y十华的最

26、大x yu+1 v+1值”.u 2V12u+1+v+1=3 u+1+v+1121=3- UT7 + 小+1) + 2(”1W 34(5 + 4)12 v+ 12 u+14 + u+1 + v+12v+1 2u+11当且仅当 b=K，即u=v=3时，取等号力技能提升练13. （2018 浙江金华十校联考）已知实数x, V，z满足xy + 2z = 1, x2+ y2+ z2= 5,则xyz的最小值答案 95132xy+ 2z= 1, 解析 将 x2+y2+z2-5xy = 1 - 2z, 变形为 x2+y2=5_z2,x2 + y2由 |xy| w =知，|1 2z|5-z2W 2，_2_25-

27、z5-z即一2- w1 2z< -2 ,解得 2 - 77 W zW 2.所以 xyz=(1 -2z)z=-2z2+z 在2 。7,，ii 2上的最小值为 9711 32.14. (2018 宁波模拟)若 6x2+4y2+6xy= 1, x, yC R,则 x2y2的最大值为 答案1 5解析 方法一 设m= x+y, n=x-y,则问题转化为“已知 4m2+m叶n2=1,求mn的最大 值”.由基本不等式，知 1 = mn 4m2+n2>mn4| mn ,所以一gwmrK、，当且仅当 n= 2ml即x = 353y时，取得最大值1.5方法二 （齐次化处理）显然要使得目标函数取到最大值

28、，xW0.人 22x2-y2令 z = x-y =a 226x + 4y + 6xy，设 t=y， x1- y26 + 4 丫 2+6 yx x1-t26+4t2+ 6t,则(4z+1)t2+6zt + 6z1=0 对 tR有解.1当z=T寸,t=-3.-1 ,.2当 zw I时，A = 36z 4(4z+1)(6 z-1) >0,13z15.当t = F = 3时取取大值方法三1 = 6x2+ 4y2+6 Xx y3y > 6 x + 4y 一 6 x5x2- 5y2,所以 x2-y2<1,当且仅当x=3y时取等号.力拓展冲剌练x>0,15. （2019 浙江嘉兴一中模拟）已知点P是平面区域 M y>0,内的任意一a/3x+ y、&Q点，则P到平面区域 M的边界的距离之和的取值范围为 .答案啜?3x>0,解析 设平面区域 M y