数列系统复习

1、1. an=f（n），数列是特殊的函数,数列模块小结n =1；n _ 22.等差数列的定义及性质(1)an 1 -an 二 d , an 二 am (n - m)d 二 ® (n - 1)d 二 dn (& - d)；(2)Snn2 (ad)n ；2 2 2 2(3)m n = p q，则am aap - aq ；若 m n =2p，贝U am - a2ap ；(4)a 是等差数列，则Sk , S2k - Sk , S3k _ S2k，仍成等差数列，公差为 k2d ；(5)a 是等差数列，则Sn也是等差数列，公差为.n(6)a 是等差数列，则S2n J=(2n -1)an ,

2、S2nT2n 4anbn3等比数列的定义及性质(1)an 1n 1n -ma1q, an =ag二 amq1anq(2)na1,S la1(qn) 3 -anqa1l=1 -q 1 -q1 -q 1 -qai(3)若 m n 二 p q，则 amaapaq ；若 m n =2p，则 amaap ；(4)G2 二 ab二 G = ab, a.2 二 an4an 1 ；(5)若3n 是等比数列，则Sk, S2k - Sk, S3k - S2k，仍成等比数列（q = T或k为奇数），（当q - -1时，若k为偶数，则不为等比数列）4.数列求和的方法2 2 2 2 1(1) 公式法：123|l( n

3、二 n(n 1)(2n 1),613 23 3 |( n3n2(n - 1)2 ；4(2) 错位相减法：适用于通项由等差和等比相应项的乘积构成的数列求和；1 1 " 1 1 x(3) 裂项相消法：一 =丄 丄丄 (an为公差为d的等差数列)，anan + d (an an + j12n -1 2n 112n +11arn(n +1 ) (n +1)( n+2 )，Jn +L + 需1= 1n 1 一n ;k(4) 分组求和法;(5) 倒序相加法;5.由递推公式求通项公式(1)an an丄二 f (n)，由 a.nJ an J anIlia ?a ) a i得(叠加)；(2)an 1a

4、n二 g(n)，由 a.二anan Jan Jan _2aia1可得(迭乘法)；(3)snf(an)，由 anF，IS _ Sn J, n 一 2n "可得(同化)；(4)anpanq，由 anp(anJ)构造等比数列求得;p -1p-1(5)anpanrqn，两边同除qn可以转化为(4)处理;(6)anpan qn r，由 a. xn y = pan x(n -1) y可以求得;(7)pan，两边取倒数可以转化;qan r(8)an二pan ，若p =1，则可取Ig求得；若p 1,则可取logp求得;(9)an 1 - pan二q%an1，两边同除以 铜彳可以求得;(10)an1

5、二 pan qanj，由 a.xa y(an xan4)可以求得;(11)奇偶项，如an .卍“二pqn ；(12)周期数列数列习题(一)1. 如果等差数列：an?中，a3a4a12，那么a1a2J j |a7 -()A. 14B. 21C. 28D. 35解析：选C.2. 设Sn为等比数列 总？的前n项和，已知3Q =印- 2 , 3S = a 2 ,则公比q二()A. 3B. 4C. 5D. 6解析：选 B.两式相减得，3a3 =a4 -a3= a4 =4a3= q =4.S3设Sn为等比数列：aj的前n项和，8a2- 0，则-()S2A. 11B. 5C. -8D. -11解析：选 D.

6、由8a2 - a5 =0= 8a2 a2q3 = 0= q - -2.4.已知Can 是首项为1的等比数列，Sn是暮的前n项和，且9$ = S6，则数列 丄lanj的前5项和为（)31 f3115A.或 5B或5CD816168解析：选C.显然q =1 ,9(1-q3)6=q =1 q3 1=9= q = 2，所以是首项1 -q1qPnJ1 31为1，公比为一的等比数列，前5项和T5 =.2 165. 设Sn为等差数列 春的前n项和，若$ =3,S6 =24，则a9 =.解析：填15.依题设求出a1,d.6. 已知数列：an 满足印=33,an r -an = 2n，则1的最小值为 n21a3

7、3解析：填一.由叠加法得an =33 n2 -n=一 n T ,2nn构造函数33f (n)n -1 ,n由单调性知,f(n)在(质：)上增，在(0r.33)上减,aa当心或6时f(n)有最小值，又于了訂亍7已知数列:an / 满足：a4n3 =1，a4nd =0, a2n =an,N*，则 a2009 -, a2014解析：填1 ,0-考查周期数列，a2009 - a4503_3=1,a2014 =a21007 - ai007 =a4252 J 0-8.已知数列:a/?的前n项和为Sn，且Sn = n -5an -85,n N*.(1)证明：an -V是等比数列；(2)求数列<Sn 的

8、通项公式，并求出使得Sn .1 Sn成立的最小正整数n.解析：(1)当n =1时，& - -14；当n 一2时,an - Sn5-Sn 4 = -5an 5a n1 二 an -1(an4 -1),6又a -1= 15 7 ,1an -1是等比数列.(2)由(1)知：an -15 (-)n4 : Sn =75 (-)n4 n -90(n N*)6 69. 已知：an ?是公差不为零的等差数列,(1)求数列 & ; 的通项公式；a1 =1，且a1,a3,a9成等比数列.(2)求数列：2an :的前n项和&.由Sm52 2卡得(6)笃二宀笔25 14.9，最小正整数心5.解

9、析：(1)由题设知公差d = 0，依题意，(1 2d)2 =181, an = n.(2)由(1)知 2an =2n, Sn =2时一2.10. 已知 玄是首项为19,公差为-2的等差数列，Sn为：a"的前n项和(1) 求通项an及& ；(2) 设(bn - an 是首项为1,公比为3的等比数列，求数列 g 的通项公式及其前和 Tn.解析：(1)依题意，an-2n-21, Sn-n2- 20n.n 1(2) bn =3-2n 21，Tnn 12=Sn(1 3 川 3) = -n20nn 丄3 -1数列习题（一）1.如果等差数列（an中，a3 a4 a12，那么 a1 a2 J

10、 j| a7(A. 14.21.28.352.设Sn为等比数列込f的前n项和，已知3S3 = a4 -2，3S,=a3 2 ,则公比 q =()Sn为等比数列lan '：的前n项和,8a20,则SS211B. 5C.-8D. -114.已知Can 是首项为1的等比数列,sn是的前n项和,二S6，则数列丄.an的前5项和为（15A .或5831或51631161585.设Sn为等差数列?an 的前n项和,= 3, S6 - 24，则 a9 -6.已知数列:a/f满足a33,an an二2n,则色的最小值为n7.已知数列：an满足：a4n： = 1, a4n 4 = °，a2n

11、=an ,n，N ,则 a2009 -，a20148.已知数列 &的前n项和为Sn，且Sn = n -5an -85,n N .（1）证明：fan -1是等比数列；（2） 求数列fsn?的通项公式，并求出使得Snd S成立的最小正整数 n.9.已知fan ?是公差不为零的等差数列，ai =1，且耳旦，成等比数列.（1）求数列、an 1的通项公式；（2）求数列的前n项和&.10.已知n 是首项为19,公差为-2的等差数列，Sn为 订丿的前n项和（1）求通项an及Sn ；（2）设1bn - an 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 讣鳥的通项公式及其前和Tn.数列习题(二)1.

12、已知各项均为正数的等比数列n / , a,a2a3=5, &7兔為=10，则 a4a5a6 =()A. 5 2B. 7C.6D.4,2解析：选 A, a1a2a3a7asa a56 = 50= a53 =5.2.r 、1Q + a102已知等比数列laj中，各项都是正数，且31, 33,232成等差数列，则空 巴=()2a<a8A. 1.2B. 1 - 2C. 3 2D. 3-2辽解析：a3 = 3-i 2a2 = q = 1 2q= q = 1 -、2 910 = q2 =3 2 2.37+33. 设等差数列；、3J的前n项和为Sn，若a -11,34 a -6，则当Sn取最小

13、值时，n等于()A. 6B. 7C. 8D. 9解析：d = 2,Sn 二 n2 -12n二 n =6.4. 已知等比数列CaJ满足an 0,n =1,2川I，且a5 -a2n -22n(n _ 3)，则当n _1时，log2 31 log2 33 III Iog2 322 二()A. n (2 n -1)B. (n 1)2C. n2D. (n -1)2解析：3n2二22n ,3n0=3n= 2n= log2 31I I 丨log? 32n=f.5. 设等差数列：3n ?的前n项和为Sn，若S9 = 72，则a2 a4 a.解析：S9 93g=35= 8 =a?3439313539 3a

14、67; = 24.6. 等差数列：an ?的前n项和为Sn，且6S5 - 5S = 5，则a4二1 解析：6S5 - 5S3 =15(a1 3d) =15a4= a4.37.设a<i= 2,an 斗=,bn= | 1, n n，则数列bn的通项公式bn=.a +1I an -1解析：bn 1 = 2bn = bn =4 2A = 2 1.8 .设ai, d为实数，首项为ai，公差为d的等差数列*£二的前n项和为 &，满足SsS6 15 =0.(1 )若 S5 =5，求 Sj及 a1 ；(2)求d的取值范围.解析:足于-3，ag +10d =5二八8，ai 5匚(2)SA

15、 15=0二 2q2 9dq 10d2 1 =0= (4ai 9d)2 =d2 -8_0，d - -2 2或 d _2、2.另解：看作关于 a的方程，解:-0.9.已知等差数列：a*满足：a3 =7=26， taj的前n项和为Sn.(1 )求 an及 Sn ；(2)令 bn< (n N*)，求数列 v 的前n项和Tn.an -1解析：(1) c =3,d =2= an = 2n 1,& = n(n 2).(2)bn1n 1)，Tn W(14n4( n 1)(1)求数列 的通项;(2)设 bnna：，求数列的前n项和Sn.解析：(1) a1 3a2 32 a J| 3nJaa13a

16、2 32氏 III - 3nn3，导n -2),33nJann n -1J(n 一2).3an =10 设数列：an 满足 ai 3a2 3a33“'"an =丄(n _2).验证n =1时也满足上式,3另解：题设条件可以看作数列bn =3n'an的前n项和& =(2)bn=n3n,Sn-1 3 232333.n3n,3& =1 32 2333 34.n 3n 1-2S3 3 3 3 -n外，公厂咅-n3n1，Sn3n1数列习题(二)1.已知各项均为正数的等比数列n / , a,a2a3=5, &7兔為=10，则 a4a5a6 =()A. 5

17、2B.7C.6D.4.22.已知等比数列G 中,各项都是正数，1且a1, a3,2a2成等差数列，a + a10则兰巴=()2a7 + a8A. 1.2B.1 - J2C. 3 2.2D. 3-2、. 23.设等差数列 號 的前n项和为Sn，若a -11, a4 a -6，则当Sn取最小值时，n等于()A. 6B. 7C. 8D. 94已知等比数列 Sn f满足an0,n = 1,2,HI，且a5 an=22n (n 3)，则当n 1时,log2 a1 log2 Os 川 log? a22 =()A. n (2 n-1)B. (n 1)2c. n2d.(n1)25设等差数列(anl的前n项和为

18、Sn，若S=72，则a2a4a9=.6. 等差数列：an /的前n项和为Sn，且6S5 -5S3 = 5，则a4二.7. 设q = 2,an + = 2,bn =色 ,n己N，则数列bn 的通项公式 bn =an +1an -18 .设ai, d为实数，首项为ai，公差为d的等差数列：aj的前n项和为Sn，满足2 15 =0.(2 )求d的取值范围(1 )若 S5 =5，求 Sj及 a1 ；9.已知等差数列 玄f满足：a3 = 7,a5 az =26，心二的前n项和为Sn.(1 )求 an及 Sn ；(2)令 bn2 (n N )，求数列的前n项和Tn.an -110.设数列 订满足a, 3a

19、2 32a3 - - 3nJa- , aN3(1)求数列：an /的通项；(2)设bn =一，求数列的前 n项和Sn. an数列习题（三）1. 已知数列对任意的p,N*满足a=aaq，且a? =-6，则a10等于（）A. 165B . -33C . ；0D. 21解析：选C.2. 已知等比数列:an 中a2 =1，则其前3项的和S的取值范围是（）A.匚，一1 丨B. H：',0 U 1：c. 3D. -二，-1小3：解析：选D.13. 在数列玄？中，6=2 , an an - ln（1 ），则 a.二（）则 a2006(舍), q =3.a2007解析:a2006a2007nA.2 l

20、 n nb,2 (n - 1)ln nC. 2 n In nd .1 n ln n解析:选A.4.已知:an ?是等比数列，a2 =2, a5 = 1,4则 S1a2a2a|la.an .1 =()A.16(1_4工)B.16(1-2)32 / *n32nC.(1 4 )3D(1-2 )3解析:选C.5.设 1为公比q 1的等比数列，若a?004和a?005是方程4x2 -8x 3=0的两根,232P005 (qq) =(33)86.设等差数列 a / 的前n项和为Sn，若S4 10,S5 -15，则a4的最大值为.解析：填4.-s4空-10=比乞57.已知函数f（X）= ?,等差数列 a ?

21、 的公差为2，若f 2 + a4 + & + a$ +窃）=4,则Iog2f(aj f®) fQ) HI f®。)二.解析：填6.8.等差数列:a/f的前n项和为Sn,a1= r2,S=93.2 .（1）求数列an的通项an与前n项和& ；S（2） 设bnn（n N J，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.na 电2 +1解析：（1）1 d =2，故 an = 2n -1 . 2, & = n（n . 2）.対 +3d =9+3血S（2）由（1）得 bnn = n . 2 .n假设数列bn中存在三项bp, bq, br （ p, q,

22、 r互不相等）成等比数列，则 b：二bpbr .即（q 迁）2 =（p、一2）（r、一2）. p,q, r N ,(q2 - pr) (2q - p - r) . 2 = 0q2 - pr =0,2q- p-r =0,'2-pr,( p _r)2 =0,” p = r .与 p 式 r 矛盾.所以数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列.9.设数列，an 的前n项和为& .已知a=a , an 3n, nN .（1 ）设bn二Sn -3n，求数列：bn /的通项公式;（2）若an 1 > an, n N*，求a的取值范围.解析：(1)依题意，Sn1- Sn= an 1=

23、 Sn3n，即Sn1 =2Sn 3n,由此得 Sn , -3n 2(Sn -3n) . bn = § -3n = (a -3)2心,n N* . (2)由知 Sn =3n (3)2n4, n，N* ,当 n > 2时，an =Sn S丄=3n (a3) 2心3n' -(a-3) 2心=2 3nl - (a -3)2心,an-an =4 3n(a 3)2n 2n，当 n > 2时，an 1 A an = 12 3an 1一_ n _2 - a 一 3 A 0 二 a A _9 .又a? = a 3a! 综上，所求的a的取值范围是-9, ：.10.设数列 G 的前n项

24、和为Sn，已知ban -2n = b -1 Sn(1 )证明：当b =2时，订十n -2nd?是等比数列；(2)求法丿的通项公式解析：由题意知 冃=2，且 ba. -2n = b -1 & , ba. 1 -2n 1 = b-1 Sn 1 两式相减得 b an十一an?2n = b Tanq即 an 1=ban2n(1)当 b =2 时，由知 an 1 =2 2n于是 an 1 - n 1 2n =2务 2n - n 1 2n =2 务 -n 2n又a1 -1 2n =1 =0，所以 G -n -2nJ?是首项为1,公比为2的等比数列。(2)当 b =2 时，由(1 )知 an n 2n4 =2n，即 an 二 n ' 1 2n4当 b=2 时，由由得 an , 2n ban 2n 12n 12 b2 b= ban Tb 'an 丄-2n2bV 2b 丿1I,因此 an 1 -丄 2n 1 =b an -亠 2n2 b