全等三角形证明经典50题含答案

1、1. 已知：AB=4 ,AC=2,D 是 BC 中点，111749AD 是整数，求ADD解：延长 AD至IE,使AD=DEv D是BC中点/. BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DEZ BDE= Z ADCBD=DC/. ACD < BDE:.AC=BE=2丁在厶ABE中AB-BE < AE< AB+BEv AB=4即 4-2 < 2AD < 4+21< AD < 3:AD=2证明：连接BF和EFv BC=ED,CF=DF, Z BCF=Z EDF:三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）：BF=EF,Z CBF= Z DEF连接BE在三角形BEF

2、中,BF=EF：.Z EBF= Z BEF。v Z ABC= Z AED。： Z ABE= Z AEB。: AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,Z ABF= Z ABE+ Z EBF= ZAEB+ Z BEF= Z AEF：三角形ABF和三角形AEF全等。：Z BAF= Z EAF （ Z 仁Z2）。2.已知：D 是 AB 中点，Z ACB=90 °,求证CD1AB24. 已知：Z 1 = Z 2, CD=DE , EF/AB，求证:EF=ACCB延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BPv DP=DC,DA=DB：ACBP为平行四边形又Z ACB=9

3、0:平行四边形ACBP为矩形：AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE , Z B= Z E,Z C=Z D, F 是 CD 中点,求证：Z 1 = Z 2过C作CG/ EF交AD的延长线于点 GCG/ EF,可得，Z EFD= CGDDE= DCZ FDE=Z GDC （对顶角）： EFDA CGDEF= CGZ CGD=Z EFD又, EF/ AB：.,Z EFD=Z 1Z 1= Z 2证明:.Z CGD=Z 2:. AGC为等腰三角形,AC= CG又 EF= CG：.EF= AC5. 已知：AD 平分Z BAC , AC=AB+BD，求证：Z B=2Z C在AE上取F , 使 EF=

4、 EB，连接CFv CE 丄 AB:.Z CEB=Z CEF= 90°v EB = EF, CE = CE,:. CEBA CEF:.Z B=Z CFEvZ B+Z D= 180°,Z CFE+Z CFA = 180:.Z D=Z CFAv AC 平分Z BAD:.Z DAC = Z FACv AC = AC:. ADCAFC (SAS):.AD = AF:.AE = AF + FE= AD +BE7. 已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数,求AD6. 已知：AC 平分Z BAD , CE 丄 AB , Z B+ Z D=180求证：AE=AD+BE解

5、：延长AD至IE,使AD=DEv D是BC中点:.BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DEZ BDE= Z ADCBD=DC:. ACDBDE:.AC=BE=2v在AABE中AB-BE < AE < AB+BEv AB=4即4-2 < 2AD < 4+21< AD < 3:.AD=2证明：延长AB取点E,使AE = AC,连接DEv AD 平分Z BAC:.Z EAD =Z CADv AE = AC , AD = AD：. AEDACD(SAS):.Z E=Z Cv AC = AB+BD：.AE = AB+BDv AE = AB+BE：.BD = BE:.

6、Z BDE =Z EvZ ABC =Z E+Z BDE:.Z ABC =2 Z E:.Z ABC =2 Z C8. 已知：D是 AB中点，/ ACB=90 ° ，求证：cd Jab2v BC=ED,CF=DF, Z BCF=Z EDF。:三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）：BF=EF,Z CBF= Z DEF。连接BE。在三角形 BEF中,BF=EF。： Z EBF= Z BEF。又 v Z ABC= Z AED。： Z ABE= Z AEB。: AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF 中,解：延长AD至IE,使AD=DEv D是BC中点:.BD=DC在厶ACD禾和BDE中A

7、D=DEZ BDE= Z ADCBD=DC：. ACD < BDE：AC=BE=2丁在厶ABE中AB-BE < AE <AB+BEv AB=4即4-2 < 2AD < 4+21 < AD < 3：AD=2AB=AE,BF=EF,Z ABF= Z ABE+ Z EBF= ZAEB+ Z BEF= Z AEF：三角形ABF和三角形AEF全等。：Z BAF= Z EAF （ Z 1 = Z2）。10. 已知：Z 1 = Z 2, CD=DE , EF/AB，求证:2FCDEF=AC9. 已知：BC=DE , Z B= Z E,Z C=Z D, F 是 CD

8、中点,求证：Z 1 = Z 2过C作CG/ EF交AD的延长线于点 GCG/ EF,可得，Z EFD= CGDDE= DCZ FDE=Z GDC （对顶角）： EFDA CGDEF= CGZ CGD=Z EFD又 EF/ AB:.Z EFD=Z 1Z 1= Z 2:.Z CGD=Z 2： AGC为等腰三角形，AC= CG又 EF= CG证明：连接BF和EFo:AE = AF + FE= AD +BE/. EF= AC11. 已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD，求证：/ B=2A12.如图，四边形ABCD中，AB II DC, BE、CE分别平分Z ABC、Z BCD ,且点 E

9、在 AD 上。求证：BC=AB+DC。证明：延长AB取点E,使AE = AC,连接DEv AD 平分Z BAC/Z EAD =Z CADv AE = AC , AD = AD/ AEDACD (SAS)/Z E=Z Cv AC = AB+BD/ AE = AB+BDv AE = AB+BE:.BD = BE/Z BDE =Z EvZ ABC =Z E+Z BDE:.Z ABC =2 Z E:.Z ABC =2 Z C12. 已知：AC 平分Z BAD , CE 丄 AB , Z B+ Z D=180求证：AE=AD+BEc在BC上截取BF=AB，连接EFv BE 平分Z ABC:.Z ABE=

10、 Z FBE又v BE=BE:./ ABE亠 FBE ( SAS):.Z A= ZBFEv AB/CD:.Z A+ ZD=180ovZ BFE+ ZCFE=180o:.Z D=ZCFE又vZ DCE= ZFCECE平分Z BCDCE=CE:./ DCE/ FCE ( AAS ):CD=CF:BC=BF+CF=AB+CD13.已知：AB/ED , Z EAB= Z BDE, AF=CD , EF=BC, 求证：Z F=Z CAB | ED，得：Z EAB+ Z AED= Z BDE+ Z ABD=180 度 vZ EAB= Z BDE,:.Z AED= Z ABD ,:四边形ABDE是平行四边形

11、。在AE上取F,使EF= EB,连接CFvCE丄 AB:.Z CEB = Z CEF =90 °v EB= EF, CE= CE,：. CEBCEF:.Z B = Z CFEvZ B + Z D = 180°,Z CFE + Z CFA = 180°:.Z D = Z CFAv AC 平分Z BAD:.Z DAC =Z FAC又 v AC = AC:. ADCAFC ( SAS)二得：AE=BD ,v AF=CD,EF=BC ,二三角形AEF全等于三角形DBC ,:丄 F= Z Co16. 已知 Z ABC=3 Z C，Z 1= Z 2，BE 丄 AE，求证:AC

12、-AB=2BE14. 已知：AB=CD , Z A= Z D，求证：Z B=Z C证明：设线段AB,CD所在的直线交于E,（当AD<BC时, E点是射线 BA,CD的交点，当 AD>BC时，E点是射线 AB,DC的交点）。则： AED是等腰三角形。/. AE=DE而 AB=CD二BE=CE （等量加等量，或等量减等量）/ BEC是等腰三角形/.Z B= Z C.15. P是Z BAC 平分线 AD 上一点，AC>AB，求证:PC-PB<AC-AB证明：在AC上取一点D，使得角DBC=角CvZ ABC=3 Z C:.Z ABD= Z ABC- Z DBC=3 Z C-Z

13、C=2 Z C;vZ ADB= Z C+ Z DBC=2 Z C;：.AB=AD：.AC -AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线,：.AE垂直BDv BE 丄 AE:点E 一定在直线BD 上,在等腰三角形 ABD中，AB=AD，AE垂直BD.:点E也是BD的中点：.BD=2BEv BD=CD=AC-AB：.AC-AB=2BEEBv作AG / BD交DE延长线于G：.AGE 全等 BDE：.AG=BD=5：.AGFs CDFAF=AG=517. 已知，E 是 AB 中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求 DC在AC上取点E，使 AE = AB ov AE

14、 = ABAP = APZ EAP =Z BAE，EAP BAP:.PE = PB oPC < EC + PE：PC <( AC AE)+ PB ：.PC PB < AC AB:.DC=CF=2:.Z ONA = Z ONB = 90：.OM 丄 AB的平分线相交于AD+BC=AB.E，CE的连线交 AP于 D .求证:18.如图，在 ABC 中，BD=DC ,Z 1 = Z2，求证：AD丄BC.20. （5分）如图，已知AD / BC，Z PAB的平分线与Z CBAED19.如图，OM 平分Z POQ, MA丄OP,MB丄OQ , A、B 为垂足，AB交OM于点N.求证：Z

15、 OAB=Z OBA又：厶 1= Z 2:丄 DBC+ Z1= Z DCB+ Z 2即/ ABC= Z ACB： ABC是等腰三角形:AB=AC在厶ABD和厶ACD中AB=ACZ仁Z 2BD=DC： ABD和厶ACD是全等三角形(边角边):.Z BAD= Z CAD:AE是厶ABC的中垂线：.AE 丄 BC：.AD 丄 BCoTOM 平分Z POQ:.Z POM =Z QOM/ MA 丄OP，MB 丄 OQ:.Z MAO =Z MBO = 90TOM = OM：. AOMBOM(AAS )：.OA = OBt ON = ON：. AONBON (SAS):.Z OAB= Z OBA，Z ONA

16、= Z ONBTZ ONA+ Z ONB = 180做BE的延长线，与 AP相交于F点，t PA/BC:.Z PAB+ ZCBA=180。，又T, AE，BE 均为Z PAB 和ZCBA的角平分线:.Z EAB+ Z EBA=90 °：Z AEB=90 °，EAB 为直角三角 形在三角形ABF中，AE丄BF，且AE为Z FAB的角平分线：三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，Z EBC= Z DFE,且 BE=EF，Z DEF= ZCEB，：三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，：.DF=BC ：.AB=AF=AD+DF=AD+B

17、C21. 如图， ABC 中, AD 是Z CAB 的平分线，且 AB=AC+CD，求证：Z C=2ZB延长AC到E使AE=AC连接EDt AB=AC+CD：.CD=CE可得Z B= Z E CDE为等腰Z ACB=2 Z B22. （6分）如图，E、F分别为线段AC上的两个动点，且 DE丄 AC 于 E，BF丄 AC 于 F，若 AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M .（1）求证：MB=MD，ME=MF(2)当E、F两点移动到如图的位置时， 其余条件不 变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成 立请说明理由.(2)观看图前，在不添辅助线的情况下，除厶EBC外, 请再写出两个与厶AE

18、D的面积相等的三角形.(直接 写出结果，不要求证明)：24. (7 分)如图， ABC 中，Z BAC=90 度，AB=AC，BD 是Z ABC的平分线，BD的延长线垂直于过 C点的直线于E, 直线CE交BA的延长线于F.求证：BD=2CE.证明:CEB= Z(1 连接 BE，DF.v DE 丄 AC 于 E，BF丄 AC 于 F, :丄 DEC= Z BFA=90 ° DE / BF， 在 Rt DEC 和 Rt BFA 中，v AF=CE，AB=CD，:Rt DEC 二 Rt BFA ( HL )，:DE=BF .:四边形BEDF是平行四边形.:MB=MD，ME=MF ;(2)连

19、接 BE，DF .v DE 丄 AC 于 E，BF丄 AC 于 F,：.Z DEC= ZBFA=90 ° DE / BF， 在 Rt DEC 和 Rt BFA 中，v AF=CE，AB=CD，：Rt DEC 二 Rt BFA ( HL )，：DE=BF .：四边形BEDF是平行四边形.：MB=MD，ME=MF .证明：v DC / AB：.Z CDE=Z AEDv DE = DE，DC= AE：. AEDEDCv E为AB中点：AE = BE：BE = DCv DC / AB：.Z DCE=Z BECv CE = CE：. EBCA EDC：. AEDEBCCAB=90：ABCE四点

20、共元vZ AB E=ZCB E：AE=CE:.Z ECAZ EAC取线段BD的中点G,连接AG则：AG=BG=DG23. 已知：如图，DC / AB,且DC=AE, E为AB的中点,(1)求证： AEDA EBC.:.Z GABZ ABGv BE=CF而：/ ECA=/ GBA （同弧上的圆周角相等）/.Z ECA=Z EAC2 GBA= GAB 而：AC=AB:. AECA AGB:.EC=BG=DG/ BE=2CE：. BEM CFM：BM=CM：AM> ABC的中线.27、（ 10分）如图：在厶ABC中，BA=BC D是AC的中点。求证：BDL ACo25、女口图：DF=CE AD

21、=BCZ D=Z C。求证： AEDA BFC证明：v DF=CE ,:DF-EF=CE-EF ,即 DE=CF ,在厶AED和厶BFC中，v AD=BC , Z D= Z C , DE=CF：. AEDBFC （ SAS）26、（ 10分）如图：AE BC交于点M F点在AM上, BE/CF, BE=CF求证：AM> ABC的中线。证明：v BE| CF/ ABDn BCD勺三条边都相等：. ABDA BCD:.Z ADBZ CD:.Z ADBZ CDB=90：.BD丄AC28、（10分）AB=AC DB=DC F是AD的延长线上的一点 求证：BF=CF在厶 ABDW ACD中AB=A

22、CBD=DCAD=AD：. ABD ACD:.Z ADBZ ADC:.Z BDFZ FDC:.Z E=Z CFM Z EBMZ FCMBM=CM在厶BDF* FDC中BD=DCZ BDF= FDCDF=DF:. FBDA FCD/. BF=FC29、(12 分)女口图：AB=CDAE=DF CE=FB 求证：AF=DE：. BEMCFM ( SAS)：CF=BE31. 已知：点 A、F、E、C在同一条直线上，AF = CE，BE / DF，BE = DF.求证： ABECDF.32.已知如图所示，AB = AD，BC = DC，E、F分别是DC、vAB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=E

23、F+FB：. ABE= CDFvZ DCB= Z ABFAB=DC BF=CE ABF= CDE：AF=DE30. 公园里有一条“ Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB/ CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳 E, F ,M，且BE = CF，M在BC的中点，试说明三只石凳 E，F， M恰好在一条直线上.v AF=CE,FE=EF.：.AE=CF.v DF/BE,:-Z AEB= Z CFD (两直线平行，内错角相等)v BE=DF：.：ABECDF (SAS)BC的中点，求证：AE = AF证明：连接EFv AB / CD:.Z B= Z Cv M是BC中点：BM=CM在厶BE

24、M和 CFM中BE=CFZ B= Z C连接BD;v AB=AD BC=D：.Z ADB= Z ABD Z CDB= Z ABD;两角 相加，ZADC= ZABC;v BC=DC EF是中点：.DE=BF ;v AB=AD DE=BFZADC= ZABC：.AE=AF。33. 如图，在四边形 ABCD中，E是AC上的一点，Z仁Z 2,Z 3=Z 4, 求证： Z5=Z 6.证明：在厶ADC ABC中v AC=AC Z BACZ DAC Z BCAZ DCA:. ADC ABC (两角加一边)v AB=AD BC=CD在厶 DECfA BEC中Z BCAZ DCA CE=CE BC=CD:. D

25、EC BEC(两边夹一角):.Z DECZ BEC34. 已知AB/DE, BC/EF , D, C在 AF上,且 AD=CF,求证：ABCDEF.B EzljA DC FvAD=DF：.AC=DFv AB/ DE:.Z A= Z EDF又 v BC/ EF:.Z F= Z BCA： ABC DEF (ASA)35. 已知：如图，AB=AC, BD_AC, CE_AB,垂足分别为D、E, BD、CE相交于点F,求证：BE=CD .证明：v BD 丄 AC:.Z BDC=90°v CE 丄 AB:.Z BEC=90°:.Z BDC= Z BEC=90 °v AB=A

26、C:.Z DCB= Z EBC:BC=BC:RtBDC 二 RtABEC ( AAS):BE=CD36、如图，在 ABC中，AD为Z BAC的平分线,DE丄AB于E, DF丄AC于F。求证：DE=DF.证明：v AD是Z BAC的平分线:.Z EAD= Z FADv DE 丄 AB , DF 丄AC:.Z BFD= ZCFD=90 °:.Z AED 与Z AFD=90 °在厶AED与厶AFD中Z EAD= Z FAD38.如图：AB=AC , ME丄AB , MF丄AC，垂足分别为 E、AD=ADZAED= Z AFD：. AED 玺厶 AFD (AAS )/. AE=AF

27、在厶AEO与厶AFO中Z EAO=ZFAOAO=AOAE=AF：. AEO 玺厶 AFO (SAS):.Z AOE= Z AOF=90 °/. AD 丄 EF37. 已知：如图，AC _ BC 于 C , DE. I AC 于 E , AD _ AB 于 A , BC =AE.若 AB = 5 ,求 AD 的长？Av AD 丄 AB.Z BAC= Z ADE又v AC丄BC于C , DE丄AC于E根据三角形角度之和等于180度.Z ABC= Z DAEv BC=AE , ABCDAE ( ASA ).AD=AB=5证明：v AB=AC.Z B=Z Cv ME 丄 AB , MF 丄

28、AC.Z BEM= Z CFM=90 °在厶BME和厶CMF中v Z B= Z C Z BEM= Z CFM=90 ° ME=MF. BMECMF ( AAS):.MB=MC .39.如图，给出五个等量关系：AD二BC AC = BD CE = DE D = C.DAB = . CBA .请你以其中两个为条件，另三 个中的一个为结论，推出一个正确的结论(只需写出一种 情况)，并加以证明.已知： AD=BC，Z DAB= ZCBA求证： DABCBA证明：v AD=BC，Z DAB= Z CBA又v AB=AB：. DABCBA40 .在 ABC 中， ACB = 90，AC

29、 = BC， 直线MN经过点C，且AD _ MN于D， BE _ MN于E .(1)当直线MN绕点C旋转到 图1的位置时，求证： 二ADC CEB :DE 二 AD BE；当直线MN绕点C旋转到图2的位置时, 结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成 立，说明理由.F，ME=MF。求证：MB=MC(1)®VZ ADCM ACB= BEC=90 ,:L CAD+Z ACD=90 , Z BCE+Z CBE=90° , Z ACD+/ BCE=90 .:/ CADL BCEvAC=BC：. ADC3A CEB： ADC3A CEB:CE=AD CD=BE:DE=CE+CD=AD

30、+BE(2)v/ ADC/CEBL ACB=90 ,:/ ACD/CBE又 v AC=BC：. ACD3A CBE:CE=AD CD=BE：DE=CE CD=AD BE41. 如图所示，已知 AE± AB AF丄AC, AE=AB AF=AC求证：(1) EC=BF ( 2) EC丄 BF(1)v AE! AB, AF丄 AC,：Z BAE=/ CAF=90 ,：Z BAE+/ BACL CAFL BAC即Z EAC=ZBAF,在厶ABF和厶AEC中,v AE=AB Z EACL BAE AF=AC：. ABFA AEC( SAS ,:.EC=BF(2)如图，根据(1) , ABFA

31、AEC:.Z AECZ ABF,vAE!AB:.Z BAE=90 ,:.Z AECZ ADE=90 ,vZ ADEZ BDM(对顶角相等),:.Z ABFZ BDM=90 ,在厶 BDM中 , Z BMD=180 - Z ABF-ZBDM=180 -90 ° =90° ,:.EC丄BF.42. 如图：BE! AC , CF丄 AB , BM=AC , CN=AB。求证:(1) AM=AN ; (2) AM 丄 AN。证明：(1)v BE 丄 AC , CF!AB:.Z ABM+ Z BAC=90 ° , Z ACN+ Z BAC=90:.Z ABM= Z ACNv

32、 BM=AC , CN=AB:. ABM 二厶 NAC:.AM=AN(2)vA ABM 二厶 NAC:.Z BAM= Z NvZ N+ZBAN=90 °:.Z BAM+ Z BAN=90即Z MAN=90 °:.AM 丄AN43. 如图，已知Z A= Z D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC /EF证:BE / CF.在厶ABF和厶CDE中,AB=DEZ A= Z DAF=CD:. ABF = CDE （边角边）:.FB=CE在四边形BCEF中FB=CEBC=EF:四边形BCEF是平行四边形:BC | EF44 .如图，已知AC / BD ,EA、EB分别平分

33、Z CAB和Z DBA ,CD过点E,贝U AB与AC+BD相等吗？请说明理由证明：v人。是厶ABC的中线BD=CDvDF=DE（已知）ZBDEZFDC:. BDEA FDC则 Z EBDZFCD:.BE/CF（内错角相等，两直线平行）。46、（10 分）已知：如图，AB = CD , DE 丄 AC, BF 丄 AC , E, f是垂足，DE = BF .求证：AB / CD .47、（10 分）如图，已知Z 1=Z 2,Z 3=Z4，求证：AB=CD在AB上取点N ,使得AN=AC vZ CAE= Z EAN: AE为公共，：. CAEEAN:.Z ANE= Z ACE又v AC平行BD:

34、.Z ACE+ Z BDE=180而Z ANE+ Z ENB=180:.Z ENB= Z BDEZ NBE= Z EBNv BE为公共边:. EBN < EBD:BD=BN:AB=AN+BN=AC+BD证明：v DE 丄 AC , BF 丄AC:.Z CED=Z AFB=90o又 v AB=CD , BF=DE:Rt/ABF 二 Rt/CDE ( HL ):AF=CEZ BAF= Z DCE:AB/CD45、10分）如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE .求v ,Z 3=Z 4/. OB=OC证：AE = DE.在厶AOB和厶DOC中Z 1 = Z 2OB=OCZ AOB= Z DOC AOB < DOC:.AO=DOAO+OC=DO+OB在厶ACB和厶DBC中AC=DB,Z 3=Z 4BC=CB ACB < DBCAC=DBv AB=DC,AC=DB，BC=BC： ABC， DCB，:.Z ABC= Z DCB又 v BE=CE，AB=DC