圆锥曲线的定义考点大全

1、圆锥曲线定义、标准方程及性质定义I:若Fi, F2是两定点，P为动点，且PF +|_>|I (a为常数)则11 PF2a " F F2 1 2P点的轨迹是椭圆。定义若Fi为定点，I为定直线，动点P到Fi的距离与到定直线I的距离之比为常数e (0<e<1),则P点的轨迹是椭圆。椭圆标准方程:焦距：2c取值范围:y= (a > b > 0)x y12E <x a x a ,x b y b长轴长=2a ,短轴长=2bPFPF=1a准线方程：X1c PFPFe x 1注意：涉及焦半径时注意：(1) 中线段的几何特征：A1F1A2F2a c , A1F 2A

2、2F1a c IiBi FBi F2B2 F1 12B2"1 I a ,a2ba b 2 1 22 a2b 等等。用点P坐标表示，第一定义,第二定义。)a, b, c有关。焦点与准线距离分别与顶点与准线距离、(2)Ph F 愜解用余弦定理、三角应面冷只公乳将戾锻2PF1PF 、2c,有关角 h PF22(3)结合起来，建立PF 、2PF+PF+PF1PF2等关系椭圆上的点有时常用到三角换元:a cosb sin(4)注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在 y轴上时，其相应的性质。（a为常数）,则动点2a F F1 2P的轨迹是二、双曲线（一）定义：I若 Fi,巳是两

3、定点，PF1 PF2若渐近线方程为±tr =x y；士一=9双曲线可设为=入X0aba b22y= x ,此时双曲线为等2y 2 px,( p o), p(三)性质:方程:p焦点：(,0)2通径AB 2p ；a2"X _2卄=2X有公共渐近线，可设为2 -2若双曲线与212ab 2、aK >b九(0 ,焦点在X轴上,0厂焦点在y轴上)=J «=轴双曲线，可设为 x2 y2AII =Z(4)注意1与余弦定理cos F1PF2,将有关线段PFiF屮结合定义PFPF2a2PF 、 F1F和角结合起来。(3)特别地当a b时 离心率e2两渐近线互相垂直，分别为2 2

4、PFi 、(5)完成当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质。三、抛物线(一)定义：到定点 F与定直线I的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定点F的距离与到定直线I的距离之比是常数 e (e=1)o准线:焦半径：CFx*,过焦点弦长CD+乎+XX1 22+卡=x12注意：(1)几何特征:P2 顶点是焦点向准线所作垂线段屮点。焦点到顶点的距离焦点到准线的距离2线 y 2px上的动点可设为y2pP(2Pt,2)pt或P(x ,y )其中2y 2 px(即双曲线的虚轴)旋转所成的B、B'是下底直径的两个端考点一求圆锥曲线方程求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合

5、、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题， 除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类 问题常用定义法和待定系数法 .典例探究&一-f y例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲戈的一部分/绕k中轴 曲面，其中A、A '是双曲线的顶点，C、C'是柿紀径的衲个端点,点,已知 AA =14m, CC=18m,BB ' =22m,%高 20m. |建立坐标系并写出该双曲线方程.命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识， 思想和方

6、法解决实际问题的能力 .知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程。错解分析：建立恰当的学标系是解决本题的关键。技巧与方法：本题第一帀是待定系数法求曲线方程。解：如图，建立直角坐标系 xOy,使AA'在x轴上，AA'的屮点为坐标原点 CC'与BB'平行于x轴.x 2 y 212 2 =1(a>0,b>0),则 a=a b2设双曲线方程为AA'=7又设B(11,yi),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上,所以有由题意，知1比一yi=20,由以上三式得：yi = 12,y2=8,b=7 22 y故双曲线方程为2 =1.X499

7、8仞2过点（1, 0）的直线I与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为1直线y二X过线段AB的中点，同时椭圆2方程.C上存在一贞与右焦点关于直线2的椭圆C相交于A、B两点，2I对称，试求直线I与椭圆C的本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题， 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误命题意图：知识依托：错解分析：的关键.技巧与方法：本题是兴型的求圆铠曲线方程的问题，解法一，将 两式相减得关于直线一AOF率的等式.解法二,用韦达定理.对称问题.恰当地利用好对称问题是解决好本题A、B两点坐标代入圆锥曲线方程,解法一

8、：由6= °a2 2，得a 2ba1纳而f2 2=2b2,c二b. 2=2 b2,c=b.2 2设椭圆方程为x +2y =2b ,A(xi,yi),B(X2,y2)在椭圆上.y 2+2yi2=2b2,x22+2y22=2b2 两式相减得，(Xi2-x22)+2(yi2-y22)=o,1 则X12(yiY2)设Ab,+点为0o,yo),则X02y 0y1x by x b12 2+X 1解得y 1 b9r o又(xo,yo)在直线y二x上，yo= xo,于是一 =- 2 22y01,kAB= 1,设 I 的方程为 y=_ x+1. 右焦点（b,0）关于I的对称点设为（x ' ,y

9、 '）,22 2929由点(1,1-b)在椭圆上，得 1+2(1-b) =2b,b =Q28x所求椭圆c的方程为y9162=1,1的方程为y=x+1.9解法二：由e=a2 2a -b2=2b2,c=b.，从而a2设椭圆C的方程为x +2y =2b ,l的方程为y=k(x02)x2 4k2x+2k2 2b2=0,则 Xi+X2= 将I的方程代入+ C的方程,得(1+2k2k+ 一1)=k(xi+X2)2k=1 2k=d+ +241 k ,y i+y2=k(xi 1)+k(X222kx过AB的中点(X1 X2 Y1 72 )，则k2 ,2 22一1 2k直线I： y=匚-1.12k1 22

10、 k，解得k=0,或k =若k二0,则I的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线 舍去，从而k=-1,直线I的方程为y= (x 1),即y=-27 , P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线I的对称贞就是例3如图，已知 PiOP2的面积为4F，以下同解法一 点本身，不能在椭圆近线且过点P13的离心率为的双曲线方程.24C ±,所以k=0OPi> OP2 为渐命题意图：知识依托：错解分析：本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力 定比分点坐标公式；三角形的面积公工以及点弔曲线上，利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是旋的关键，AP1OP2的

11、面积是学生感到困难的.技巧与方法：利用点 P在曲线上和 P1OP2的值.o"解：以O为原点，Z P1OP2的角平分线为x轴图所示的直角坐标系立关于参数点的坐标适合方程正确地表示出a、b的两个方程，从而求出a> b的2X设双曲线方程为2y=1(a>0,b>0)22= C由e 2ab1 +(一)a厂得匚）a 23 3两渐近线OPi> OP2方程分别为y二x和y二一 x22设点Pi(xi,3 X1),P2(X2, * X2)(X1> 0,X2> 0),则由点2 2+X1 x22x2 2 又点P在双曲线P分P所成的比Z=11PP所成的比PPZ二22X2 2

12、 x( x2x所以12厂129a29a=2,得P点坐标为)22.2x/4y2 =1 上, a 9 a+_ =匸 =2=9 a2,整理得 8xiX2=9a2即(X1+2X2)2X2)1313+一X ,|OP I1+2又 |OP I X11sin P OP 22 tantanPOx12 P Ox1<13S pop 21|0P1 13x2 412X2113270P"sinP OP即 XiX2=22=4, b2=9由、得a故双曲线方程为 y思路方法的步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”定形一一指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置定式一一根据“形”设方

13、程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上2+ny2=1(m>0,n> 0).时，可设方程为 mx定量一一迪题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关悉，通过解方程得到量的大小= + =一、选择题1已知音线x-2y-3=0与圆x+=2+y2+x 6y+m=0相交于P、Q两点,O为坐标原点，若 OP 一 OQ,贝ij m 等于（）A.3B.-3C.1D.-112中心在原点，焦点在坐标为 （0, ± 5 2）的椭圆被直线 3x-y- 2=0截得的弦的中点的横坐标为，2则椭圆方程为（）2xA.252X C.252y1752y1752xB.752XD.752

14、y1252y125二、填空题实根，I与c有两个交点.当<(),即k> 3无解，I与C无交点2时，方程(3综上知：当k=± 2 ,或k二，或k不存在时，I与C只有一个交点;2当v2 <k<2,或一<k< v2，或k<- <2时，I与C有两个交点;23当k> 时，I与C没有交点.222=2,2x22-y=2两式相减得：(2)假设以Q为屮点的弦存在，设为 AB,且A(xi,yi),B(X2,y2),则2xi yi2(xi x2)(xi+x2)=( yi 血)(yi+y2)又 T xi+x2=2,yi+y2=22(xi X2)=yi yi

15、但渐近线斜率为士2，结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确,即以Q为屮点的弦不存在例3如图，已知某椭圆的焦点是 Fi(-4, 个交点为B,且|FiB|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点0)、F2(4, 0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一A(xi,yi),C(x2,y2)满足条件：|F2A|> |F2B|. |F2C|成等差数列.(1) 求该弦椭圆的方程；(2) 求弦AC屮点的横坐标；(3) 设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围.命题意图：本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助屮垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活

16、性强知识依托：椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法25错解分析：第三问在表达出“ k= yo”时，忽略了 “ k=0”时的情况，理不清题目中变量间的关系36技巧与方法：第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解,第三问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标yo,利用yo的范围求m的范围、?解：由椭圆定义及条件知， 2a=|FiB|+|F2B|=10,得a=5,又c二4,所以b二 /=3.+2 y故椭圆方程为v 2 =1.2599254(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得 尸问=|允|二因为椭圆右准线方程为x=离心率为,根据椭圆定义，5454 254

17、 25有 |F2A|=(-Xi),|F2C|=(X2),5 45 4|F2B|T |F7C|成等差数列，得4 254 25g(Xi)+ ( x2)=2 3，由lit得出：xi+X2=8.5 45 45X2 A设弦AC的屮点为P(xo,yo),则x)= ! x 一 (3)解法一：由 A(xi,yi),C(X2,y2)在椭圆上.92 +、X2225 y 2 =252弓+25(歼一y*)=o,一得 9(xiX2+ -rXXy yy y即93)()+ 12+ 21 2(=)=25(22X _x1 2将XX1yyy y2121 2X4,y0022Xi x2了229+253<250(X1 7X2)1

18、(kHO)代入上式，得 93 4+25yo(-k(k 工 0)25即k= yo(当k=0时也成立).36由点P(4, y°)在弦AC的垂直平分线上，得一 _25yo=4k+m,所以 m=y04k=y0y0= 916yo9aa16< yo< ，所以一555165由点P(4,一浙)在线段BB ' (B '与B关于x轴对称)的内部，得一解法二：因为弦 AC的屮点为P(4,y°),所以直线AC的方程为十1 y yo= (x 4)(kH 0)k+ 22将代入椭圆方程+y =1,得259(9k牛25) x2-5O(ky°+4)x+25(kyo+4)

19、2 253 9k2=050425所以xi+x2= /°二&解得k= yo(当k=0时也成立)k253629k(以下同解法一).思路方法5. 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时蜜注意用好分类讨论和数确合的思想方法.厂6. 当直线与圆锥曲线相丽 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)； 涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍考点二训练一、选择

20、题8. 斜率为1的直线I与椭圆x +y 2=1相交于a、B两点，则|AB|的最大值为4 ( o )2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()4 54 108 10A.2B.C.D.555 22抛物线y二ax与直线y二kx+b(k=O)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x,X2,直线与x轴交点的横坐标是X3,则恒有（）A. X3=X1+X2C.Xl + X2+X3=0B.X1X2=X1X3+X2X3D.X1X2+X2X3+X3X1=O二、填空题557已知两点 M 一)、N( 4,-),给出下列曲线方程：X+2y-1=0,442+y2=3,2=1,©2=1,在曲线上存在点P满|

21、MP|=|NP|的所有曲线方程是 x+yy2 28.正方形ABCD的在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线 y2=x上，则正方形 ABCD的面积为9. 在抛物线y2=16x内，通过点(2, 1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是 三、解答题10.已知抛物线y02px(p>O),过动点 M(a,0)且s 2p-(1)求a的取值范围.(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求NAB线I与该抛物线交于不同的两点面积的最備.A、B,且|AB|".已知中心在原点，顶点Ai、A2在x轴上，离心率(1)求双曲线方程.e=3的双曲线过点P(6, 6).(2)动直线I经过A1PA2的重心G,与

22、双曲线交于不同的两点M、N,问：是否存在直线I,使G平为岁段MN,证明你的飨V12.已知双曲线 C的两条渐近线都过原点，且都以点A( 2,0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点Ai与A点关于直线y二x对称(1)求双曲线C的方程.(2)设直线I过点A,斜率为k,当0<k<1时，双曲线C的上支上有且仅有一点 B到直线I的距离为 2 , 试求k的值及此时B点的坐标考点三 圆锥曲线综合题圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、数等代数知识的横联系，解答这部分试题，需要较强的代数

23、运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语轅和运算，理转换，并在运算过程屮注意思维的严密性，以保证fil.典例探究2例1已知圆k过定点A(a,0)(a>0),圆心k在抛物线C： y =2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的 弦.(1) 试问MN的长是否随圆心k的运动而变化(2) 当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线 C的准线与圆k有怎样的位置关系？ 命题意图：本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、溝理问题的能力知识依托：弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元次囱綽口识错解分析：在判断与R的关系时，xo的范围是学生容易忽略的技巧与方法：对第(2)问，需将目

24、标转化为判瞬x°+与 R=v x2+a的大小.圆k的半径R=|AK|=V=2a(定值)00X2x 222=2ax0, 解：设圆xo,yo),且yb/. |MN |=22R.弦MN的长不随圆心的运动而便.(2)设 M(0y)、N(0,y2)在圆 k： (x-xb)2+(yyo)2=xo2+a2 中,2 2 2令 x=0,得 y 2yoy+yo a =022. yiy2=yo a |OA|是|OM |与|ON|的等差中项 . |OM |+|ON|=|yi|+|y2|=2|OA|=2a. 又 |MN |=|yi y2|=2a-Iyil+ly2|=|yi-y2|. yiy2 0,因此yo2

25、a2< 0,即 2axo a2< 0./. 0< XoS 32圆心到抛物线准线md=x(rba < a,而圆k半径2R=a.且上两式不能同时取等号,故圆2X例2如图，已知椭圆从左到右的顺垢 A、B、C、求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值.mD,k必与准线相交.2y=1(2<m 1设 f(m)=|AB|-0左焦|点且斜粥Jo的直线与椭圆及其准线的交点命题意图：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，瑰1锥曲线与截间的科间粽知识依托：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值错解分析：在第(1)问中，要注意验2车m&l

26、t; 5时，直线与椭圆鯉.技巧与方法：第问中，若注意到xa,xd为一对相反数，则可建|AB|CD|化締问，利用函数的单调性求最值是常用方法.2=m,b2=m 1,c2=a2 b2=1解：设椭圆的半长轴、半短轴及半焦眾加a、b、c,贝ij a椭圆的焦点为 Fi(-1,0),F2(1,0).2a故直线的方程 y=x+1,又椭圆的准线方祠x=± ，即x=±m./. A( m, m+1),D(m,m+1)考虑方縊y = x +12 2J肖去 y<： (m-1)x z+m(x+1)z=m(m 1)2+m(x+1)2=m(m 1)2+2mx+2m- m2二02-4(2m- 1)(

27、2m- rrf)=8m(m-1)2A=4m任m< 5,.岑T恒成立,2mXb+XC= v2m 1又tA、B、C、D都在直线y=x+1上/. |AB|=|xb-)|= 2 =(xb；)2 2 JCD|=V2 (/J|AB|-|C12J 2 |xb-Xa+xd-Xc|= 2 |(xB+xc)- (xA+xD)|又丁 Xa= m,XD=W,/.XA+XD=0/.|AB|-|CD|=|xb+xc|22 =|1ZrfT2=22 m(2< m< 5) 2 mme 2y5.22 2m 故 f(m)=.1又2-212-m12-510/. f(m)e 故f(m)的最人俯10 2,此时m=5.9

28、例3舰A在舰4 2,此时3B的正余千米处，舰C在舰B的北偏西30。且与B相距4千米，它们准备捕洋动物，某时创发现动物信号，4秒后B、C同时发现这穡号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均讎的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是20 39千米/秒，其中g为重力加速度，若不筈3气阻力与舰高，问舰 A发射炮弹的方位角和仰角应是姿命题意图：考查圆锥曲线在实际问题屮的应用，桜实际问题转化成数'斓僦知识依托：线段垂直平分线的性质，双曲纖的定义,两点间的距离公式,抛逝的曲线方程错解分析：答好本题，除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上，又在以、B为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概

29、念掌握滴.技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系将实际问题转化成解析何删銀.对空间物体的定位,般可利用声音传播的时间差来建立方程解：取AB所在直线为x轴，AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标新题意可知，A、B、C 舰的坐标为(3, 0)、(-3, 0)、(-5, 2 3 ).由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P,则|PB|=|PC|.于是P在线BC的中垂线上，易求得其方程为v3 x- 3y+7 V3 =0.2 y又由A、B两舰发现动物信号的时间希4秒，知|PB|-|PA|=4,故知P在双曲线 _的右支上.5|PA|=10.X直线与双曲线的克为（8, 5 3 ）,此即为动物P的位置，

30、利用两点间距离公式，可得据已知两点的斜率公式,得kPA= 3，所以直线臥的倾斜角为60。,于是舰A发射炮弹的方位角曉北偏30°.nr.6设发射炮弹的仰角是0,初速度vo= V 20_39 ,则2Vo S，n =卩"石，3 gv coso厂sin20 =： ，二仰角 6 =30°.v20思路方法解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图与何聽掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、般目的（1）对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式（组）求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转

31、化为函数的值域（2）对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明体现何餐，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一-种明确的函数关系，则可先建立目标函数，索迭 函数的最值.考点三绷一、题厂13.已知A、B、C三点在曲线y= x上，其横坐标依沥1, m,4(1<m<4),当 ABC的面积最大时,m等于（）953A.3B.CD.4_2 r2V14.设 u,vwR,且 |u|<2 ,v>V 90,则(u-v)2+(2 u2V）2的最小值为（、厂）A.4B.2C.8D.2 2二、填空题15. 具是椭圆长轴的一鞭O是椭圆的中心，若椭圆上在一点P,使zOPA=，则椭圆离心率的范围是 24 -辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a米，则能使卡车通过的 a的最小整数值是 .216. 已知抛物线y=x 1上一定点B(- 1,