支链弹性动力学方程的建立

1、支链弹性动力学方程的建立4-UPS/RPU高速空间并联坐标测量机是由定平台、动平台以及连接它们的分支等组成的。其中，定平台通过一个驱动分支RPU（转动副移动副虎克铰）和四个结构完全相同的驱动分支UPS（虎克铰移动副球铰），与动平台相连接；要实现并联坐标测量机动平台的位姿变化，可通过改变其驱动杆的杆长值来实现。假定摆动杆为刚性杆，伸缩杆为柔性杆，动平台为刚性架，关节柔性忽略不计（由于并联机构的支链一般较短，而关节变形引起的系统累积误差也比较小，且并联机构多为闭环系统，对系统的关节变形具有一定的约束作用，故关节变形可以忽略）。这里将伸缩杆等分为个梁单元，并将这些单元依次编号为，其中表示摆动杆和伸缩

2、杆在第个单元接触。 由以上假定建立支链的弹性动力学方程，只需对伸缩杆进行分析即可。 当j=时，由于这些单元被刚性体包围其广义坐标都为零，即 当j=时，由于第个单元的左端被刚体包围，此单元的前九个广义坐标为零。即。此单元的右端始终重合于下一个单元的左端，从此单元以后的单元也是如此。则有： （3.24）对于单元考虑到动平台铰链对单元右端点的约束，不同支链端点处的曲率不同。当i=1时 （3.25）当i=2,3,4,5时 （3.26）也就是说当i=1时，是独立广义坐标，但在i=1,2,3,4,5时为0。由以上分析可以从各个单元中得到支链的广义坐标。当时，支链广义坐标个数为个。具体表示为： （3.27）

3、时，支链广义坐标个数为有个。具体表示为： （3.28）为得出支链的弹性动力学方程，需要先建立与的表达式间的关系，根据测量机支链的约束方程组，将列阵与关系表达式表示为 （3.29）不同的支链转换关系矩阵也不同。当 （3.30）当时 （3.31）式中矩阵，将时的矩阵去掉最后一列，即为时的矩阵，矩阵、在各个支链上都相同。表示18×18阶的单位矩阵，、矩阵表示如下： （3.32） （3.33）将代入方程(3.22)两边并左乘得： （3.34）式中 （3.34a） （3.34b） （3.34c） （3.34d）上式是对一个单元列出的方程，机构支链中有多少个单元，就可以列出多少个形如（3.34）

4、的方程，将这些方程叠加，得到 （3.35） 式中 （3.35a） （3.35b） （3.35c） （3.35d）由此得到该测量机支链的弹性动力学方程。3.4 系统弹性动力学方程的建立3.4.1系统运动学约束动平台与支链连接时要满足以下条件：各个支链与动平台连接点的位移必须与动平台上与各个支链连接点的位移相一致；各个支链对动平台的作用力之和应与作用于动平台的外力和惯性力相平衡。下面根据条件，进行系统运动学约束的推导。由图2.2可知，在动系下，各个铰链与动平台的连接点的坐标是定值。这里动平台的六个自由度定义为动系沿着系统定系的变化。显然，铰链点处的坐标值分别是上述六个独立变量的函数。因此，动平台的

5、位移量可以表示为。由第二章可知，动系相对于定系的变换矩阵为，当给出动平台的型欧拉角和动系原点在定系下的坐标时，由式(2.3)，以欧拉角的形式表示动系相对于定系的变换矩阵： （3.36） 假设动平台的名义运动位姿在点处，由于机构支链的弹性变形使动平台的实际运动位姿发生了微小的变动（即），最终移动到了点处。动平台与支链的约束关系如图3.2所示。则由坐标系到坐标系的变换矩阵为 （3.37）3.2 动平台与支链的约束关系Fig. 3.2 Constraint between the moving platform and branch因为六个变换参数都是微小的变量，由泰勒展开式以及麦克劳林公式，可以得

6、到的近似表达式 （3.38）可以得到，由坐标系到定系的变换矩阵 （3.39）铰链点和在定系中的坐标分别为和，由坐标变换理论得到 （3.40）在这里，式（3.40）中的下标和分别表示铰链点在坐标系和中的投影。又因 （3.41）将（3.39）、（3.41）代入（3.40），有 （3.42）且 （3.43）式子（3.43）中，为单位矩阵，各个点的位置向量都转换在定坐标系下来表示，因此可以省略掉下标，重新整理后，得到 （3.44）式（3.44）中表示了动平台上各铰链点的位移改变量(、)与动平台的六个变换参数的函数关系，等号左端表示铰链点的位移改变量。动平台上铰链点处的转动角位移等于动平台上的独立角位移

7、，具体表达式如下： （3.45）将式（3.44）用动平台位移改变量系统广义坐标形式表达，可以得到 （3.46）或者简记 （3.47）式中 系统 中点的弹性位移矢量，即为(、)；。由系统支链构件的弹性变形引起的动平台的位移改变量；机构系统运动学约束条件矩阵。 3.4.2系统动力学约束根据条件,推导系统的动力学约束，高速空间并联坐标测量机的动力学约束条件用动平台的位移微动量的动力学方程来导出。计算过程中忽略动平台的名义运动与位移微动量间耦合的影响。则定系下动平台的运动速度为： （3.48）对式（3.48）求导，得到动平台的运动加速度 （3.49）利用牛顿-欧拉方程，得到系统动平台的动力学方程 （3

8、.50）式中，分别为作用在动平台上的合外力在轴，轴，轴方向的分力；，分别为作用在动平台的合外力矩在轴，轴，轴方向的分力矩；，分别为测量机支链作用于动平台的合力在轴，轴，轴方向的分力；，分别为测量机支链作用于动平台的合力矩绕轴，轴，轴方向的分力矩；动平台的转动惯量和惯性积；动平台的质量。对式（3.50）整理，得到（3.51）将上式（3.51）记作 （3.52）式中动平台广义质量矩阵；测量机支链作用于动平台的合力与合力矩列阵；系统外力作用于动平台的合力与合力矩列阵；系统动平台名义加速度列阵。令，则式（3.52）变为 （3.53）式（3.53）即并联坐标测量机系统的动力学约束条件。3.4.3系统的弹

9、性动力学方程为建立测量机系统的弹性动力学方程，取广义坐标，当时，当时，中不含有。根据测量机系统的运动学约束条件，将列阵与关系表达式表示为 （3.54）其中当时，当时， 将式（3.53）代入（3.35），得到 （3.55）将上式（3.55）两端左乘，得： （3.56）式中 （3.56a） （3.56b） （3.56c） （3.56d）在这里，为更好的进行系统方程的装配，定义：当时，当时已知，那么 （3.57）得到系统广义坐标 （3.58）由（3.57）、（3.58）建立支链上广义坐标与系统广义坐标的关系，表示为 （3.59）当时，当时，当时，当时，当时，其中分别表示第1、2、3、4、5杆的摆动杆

10、与伸缩杆在第个单元接触。建立动平台位移改变量与系统广义坐标的关系写为 （3.60）其中通过以上得到的关系矩阵表达式（3.59）和（3.60），把系统动力学约束方程（3.53）和以广义坐标表示的各个机构支链的动力学方程（3.55）装配在一起，得到系统的弹性动力学方程。化简得： （3.61）式中 ，为系统总质量矩阵；，为系统总刚度矩阵；，为系统广义力列阵，包括惯性力；系统广义坐标列阵。方程（3.61）是高速并联坐标测量机系统的无阻尼弹性动力学方程。在推导方程（3.61）的过程中没有考虑机构的阻尼影响。为了更精确的分析测量机的弹性动力学行为，需要计入阻尼的影响。但是，系统机构的阻尼分布形式和特征是一个非常复杂的问题。对于金属材料的构件，在没有共振时阻尼的影响较小，为方便计入阻尼的影响，可以假定阻尼与弹性变形速度成正比例关系，即引入比例阻尼项，得到下面的系统弹性动力学方程： （3.62）式中 为系统的总阻尼矩阵，和为阻尼比例系数。在推导系统方程式（3.62）过程中，由于支链端点处的广义坐标列阵，可以用动平台位移该变量来表示，所以中没有包括，需通过对求解。至此，基于高速空间并联坐标测量机系统的弹性动力学方程已经建立完成。3.5 本章小结本章主要内容有：（1） 利用有限元的方法将柔性构件划分为多个梁单元，根据测量机的运动特性等求解单元的动能和变形能，并通过La