高中数学：12.6《双曲线的性质》教案（1）（沪教版高二下）

1、12.6双曲线的性质 一、教学内容分析本节的重点是双曲线性质的研究，通过双曲线的图像来研究双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线等内容.本节的难点是渐近线方程与双曲线方程之间的关系，以及渐近线与双曲线的位置关系.二、教学目标设计 本节课主要采用类比的教学方法研究双曲线的基本性质，介绍等轴双曲线、共轭双曲线的概念及性质，讨论共渐近线的双曲线系方程，使学生加深对双曲线性质的理解，能利用这些性质解决实际问题.三、教学重点及难点 重点：双曲线的性质. 难点：双曲线的渐近线与双曲线的位置关系.四、教学流程设计渐近线的研究问题拓展:共渐近线的双曲线系方程等轴双曲线共轭双曲线小结概念辨析范围,顶点,

2、对称性复习引入类比椭圆性质五、教学过程设计一、 复习引入 1观察 复习双曲线的定义、双曲线的标准方程（焦点位置）、标准方程中的意义（与椭圆对比） 2思考（类比椭圆）椭圆有哪些几何性质？ 说明 讨论双曲线的几何性质与讨论椭圆的几何性质，方法是相同的，这部分的内容可以采用类比的教学方法，让学生根据研究椭圆性质的方法类比双曲线的性质，得到一些结论并加以研究. 3讨论研究双曲线几何性质，双曲线图形发展趋势怎样？二、学习新课 1概念辨析以双曲线标准方程，为例进行说明. 1范围: 观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧.从双曲线的方程如何验证？由标准方程可得，当时，y才

3、有实数值；对于y的任何值，x都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线2.对称性：双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心 3顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.(结合图形)，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，它们是双曲线的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长，它的长是2a，a叫半实轴长 而在方程中令x=0得，这个方程没有实数根，说明双曲线和y轴没有交点.但y轴上的两个特殊点，在双曲线中也有非常重要的作用 把线段叫做双曲线的虚

4、轴，它的长是2b，b叫做虚半轴长归纳：顶点： 特殊点：实轴：长为2a，a叫做半实轴长. 虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长.注意：名称，不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，与椭圆的又一差异4 渐近线：经过作轴、轴的平行线，围成一个矩形，其对角线所在的直线方程为.（1） 定义：如果有一条直线使得当曲线上的一点沿曲线无限远离原点时，点到该直线的距离无限接近于零，则这条直线叫这一曲线的渐近线；（2） 直线与双曲线在无穷远处是否相交？解：不失一般性，只研究双曲线在第一象限内的部分与直线的位置关系;设是上的点，是直线上与有相同横坐标的点，则,，在的下方.，是关于的减函数，无限增大时，无限趋近于，而

5、到直线的距离，无限增大时，也无限趋近于，但永不相交.其他象限类似证明；（3） 求法：在方程中，令右边为零，则，得渐近线方程即；若方程为，则渐近线方程为.2问题拓展（一）等轴双曲线1、定义：若a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程：或.3、等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价.3）等轴双曲线方程可以设为：,当时交点在轴，当时焦点在轴上. 例：等轴双曲线的两个焦点在直线上，线段的中点是原点，分别写出等轴双曲线和两条渐近线的方程.（二）共轭双曲线1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲

6、线.2、方程：（1）的共轭双曲线为；的共轭双曲线为;（2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为或;3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；4、注意：（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如和；（2）与（ab）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；例如：分清、与、之间的关系.（三）共渐近线的双曲线系方程问题 (1)与;(2) 与的区别?(1) 不同（互换）相同，焦点所在的坐标轴也变了,但二者具有相同的渐近线(共轭双曲线);(2) 不同,不同，焦点所在的坐标轴未变且二者具有相同的渐近线.由此: 双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应的双曲线则很多.问题: 共用同一对渐近线的双

7、曲线的方程具有什么样的特征？ 如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成.当时交点在x轴，当时焦点在y轴上.即:双曲线（）与双曲线有共同的渐近线.证明：若，则双曲线方程可化为，渐近线，双曲线的渐近线方程为，两双曲线渐近线相同；若，则双曲线方程可化为，渐近线，即，又双曲线的渐近线方程为，两双曲线渐近线相同，所以，原命题结论成立.说明与双曲线（）有共同渐近线的所有双曲线方程为（） 3例题分析1、若双曲线以为渐近线, 根据下列条件，分别求双曲线标准方程.（1） 且实轴长为；（2）过点；（3）一个焦点坐标为.解：（1）设双曲线方程为,当时焦点在x轴上，双曲线方程;当时焦点在y轴上

8、，双曲线方程;（2）设双曲线方程为将代入得，双曲线方程（3）设双曲线方程为，因为焦点坐标为，所以，双曲线方程为.2、（1）求双曲线的两条渐近线包含双曲线的部分所成的角； （2）焦距为，两条渐近线包含双曲线的部分所成角为，求双曲线标准方程.解：（1）渐近线方程为，;（2） 当焦点在轴上时，方程为; 当焦点在轴上时，方程为.三、巩固练习1、中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是 .2、求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程.3、求与双曲线有共同的渐近线，且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.4、以5x2+8y2=40的焦点为顶点，且以5x2+8y2=4

9、0的顶点为焦点的双曲线的方程是 .四、课堂小结双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应的双曲线则是或写成.五、作业布置1、习题册P363，4，5，6，72、补充作业（1）求方程mx2ny2mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标. 翰林汇3（2）双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，求双曲线方程.（3）求以为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程.七、教学设计说明 1研究双曲线的性质的方法和研究椭圆的方法是类似的，所以采用类比的教学方法，让学生在已有经验的基础上，研究双曲线并得出结论，比较两者之间的异同.这样可以激发学生学习的兴趣，提高学生分析问题的能力.2渐近线是双曲线所特有的，证明双曲线上的点到渐近线的距离越来