南理工信号与系统课件SS_Chap9.

1、第9章 系统的状态变量分析法9.1系统的状态变量和状态方程9.2连续时间系统状态方程的建立 9.3离散时间系统状态方程的建立 9.4连续时间系统状态方程的求解9.5离散时间系统状态方程的求解1、经典的线性系统理论 广系统函数系统外部特性2、状态变量分析r状态变量,系统内部特性I单输入单输出系统R多输入多输出系统<.(022C 士 vc(t)厶啤。=欠一"一吃 d/c勢十）29.1 系加的状态sea和 状态方程经典分析法中（输出输入分析法）A（Z）（X川）O微分方程（或差分方程）Oy(t)0川)o49.1 系加的状态sea和 状态方程#9.1 系加的状态sea和 状态方程不关心系

2、统内部变量的变化情况，只对输出变量y感 兴趣，这种方法称为端口分析法或输入输出分析法。状态变量分析法中只要知道t = g时的一组数据和r>心时的系统输入， 就能完全确定系统在/> /0的任何时间的行为。这红I数据就称为系统在f = 的状态（数据个数耍最少）。9. 1 系城的状态和状态方SL表示系统状态随时间了变化的变最称为状态变量。n阶系统有X个状态变量描述系统状态变量的一阶导数与状态变呈和激励信号 关系的方程称为状态方程，状态方程是个一阶微分方程组。描述系统输! H与状态变廣和激励之间关系的方程称为 输出方程。输出方程是代数方程组。59. 1系加的状态和状态方程用状态变量法分析系

3、统的优点:便于研究系统内部物理量的变化2）适合于多输入多输出系统3）也适用于非线性系统或时变系统便于分析系统的稳定性5）便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径59. 1系城的状态交量和状态方程（1）连续系统状态方程和输出方程的一般形式设系统有&个状态变屋：A,入，人加个输入彳言号：X （t）,兀2（），兀”（）r个输出信号：X（F）,兀，儿 则状态方程和输出方程分别为：人（）=© I人（f） + + alnAk （r） + bx 內（/） + + blmxm （/）&仃）=勺| 人（C + + 勺“人（F） + 妇|.勺（/） + + b2mxm （/）

4、2（F） = S入（F）+ + %At（）+® 內+ + “如兀"（F）其中如沁态变咲）的-阶导数。§Ji =C人 + + 乐人(/) + d內(/) + + dmxin (0 y2(Z)= C21A()+ + C2k A, (f)+ 2勺(')+ + 2“兀”(° »()=j人a)+5人(。+/內(0+”兀#)上述状态方程和输出方程可以写成矩阵形式：状态方程：2(r)IxI =AhxJ2(r)LxI 4-LBJ,xwx(/)wxl 输出方fth Ly(OJrxI =LCJrxAR(r)hxl +LZJ>JrxWfLx(OJ/MX

5、I其中:A(OJ =A(o 兄=_A(o_ x(r)=-V|(O ' y(M =>i(0y2(0 人(/)入(/)Mi宀（o儿a) 79. 1系加的状态交畳和状态方Ata °12你5如wA =知 a22'" a2k B =21 乃22 2/w _ak ak2u * ' akk _Jk “2 bg .C 1 °12 ii d、2 dg|C| =C21 C22 c2k£> ="21 “22 “2,” C t C 0 2L rr2rk J_dr 4*2 £”_8(2) 离败系筮状态方fit和榆出方稅的一般

6、形式设系统有k个状态变罠：&刚,占从*【并1 加个输入信号:x,/i, x2n, »%,/ r个输出信号: xl川，力川，,y川 则状态方程和输出方程分别为：2和+ 1= “人|川+ 4山人川+也1百川+%”兀”川l2n + = a2llln + -ha2kAkn + b2xln- + b2inxmn 人畀+ 1 = 5人川+他入|川+如內川+鵝兀”川Ji« = 5入九+ + clkAkn+% |斗川+ + dltnxmn y2 W】=C21 人 W + + % /? +d2lxt n + + d2mxmnj yrW = s人/i + + 5入n + drlxtn

7、+ + dntlxmn9(2) 离散耳J冼状态方程平榆出方祝的TiU杉式上述状态方程和输出方程可以写成矩阵形式:状态方程:以W + llz=【A“ 如llz+IBkUM输出方程:畑打-Crx,恥g + £>lrxm XMmx|/U|h+ 1 e a/z =人 n 4- 1其中：咖+1 =x"M"l=x2nyl«l =MM10(2) TIT散状态方程*输出方程的一般疟式an 化0 k 'hn Q An "IA =勺咳乡人 B = _akl %Jk 1徐2叽八_C =乙£厂 q £k D =“21"12“

8、】加“222m _Cr 02Crk _d2 dm _9. 2状态方稳的理立建立状态方程的基本步骤包括；(1) 确定状态变量的个数，它等于系统的阶数；<2)选样状态变帚:；(3) 列写状态变锻的一阶微分方程组；对步骤(3)屮所列写的方程组进行化简，为求 解方便起见，一般写成矢量矩阵的形式。129. 2. 1系址状态方的写具体步骤：（1）确定状态变虽的个数：它等于独立的储能元件的个数， 即独立电感和电容个数Z和:（2）选样状态变童：一般选抒流过电感的电流几和电容两 端电圧叱（）作为状态变量；（3）微分方程的编写：依据网络约朿条件（即KVL和KCL） 来建立电路方程；（4）消去井状态变量：运算

9、化简成状态方程的标准形式, 并写成矢量矩阵形式。9. 2. 1系玻状态方程的宜观编写169. 2. 1系玻状态方程的宜观编写例921：给定下图所示电路，列写状态方程。 1/3H°兄2 加)y2入(/) +丁入(/)+/3(/)=兀1(/)atA(0 + - A(0_ A(0 - 一 兀2 5 at*2禺=入一人2QnEO1H W1/2F-11IQC 齐2(f)解：回路1：回路2：159. 2. 1 系玻状态方程的宜观编写整理得:-2 0 -1人(沪1 0_Z V4(0-0 -3 3+0 -3«¥(/)Z启加22-2 02")_0 0-z、#.人=一2入一

10、码(r) + X|(r)v入二一3人(门+ 3珞一3七人=2入-2人表示成矩阵形式为：1718ii?)n例9.2-2列写如图923所示电路的状态方程。若以电阻R2上 的电压耳和电源电流作为输出，列写状态方程和输出方 程，其申R = R2 = lfl, L = L2 = 0.5Hr z解；无()=2(0 =鼻2(小 右=(f) o节点“ cl(r)=Al(0-A2(0(921) 乂) Q，2回路 II: 2(0=23(0 + 心 i5(t)(9.2-2)回路III : L/i(0=么 + R、/4(0(9.2-3)vs(0 = /?|Z4W W(0(9.2-4)17i5(t) = f4(r) +

11、 c4(0(9.2-5)9. 2. 1 系统状态方程的JL接编写由式(9.2-1)、式(9.2-4)和式(9.2-5),以及给定的元件参数得到；4(O = O.5ps(/)-(r) + /l2(/)；5(r) = 0.5vs(r) + x1(/)-(/)由式(9.2-1),式(9.22)和式(923)得到的状态方程为人(?)= 一入 + 人()-2Zj(r) + vs(t)< 4 (r) = A(0 - A2 (0 + 2 (r) + v5 (r) 心/) = 2人(/)一2易(。#输出方程为：= v5(o =心y2(t) = /(r) = 2(0 + Z4(r) 将W)和W)代入即可得

12、：yi (/) = 0.5 A (0 - (0 + V/D* =05人(f) + XoO) + v5(r)将状态方程和输出方程改写为矩阵形式:1V/Z)1 -1 011 1 0人(f)+ 2_入一2;叫1199. 2. 2系统状态方程的间接编写系统状态方程间接编写的一般步骤：（1）根据给定系统的表示方式（微分方程、冲激响应. 系统函数），模拟出系统的信号流图（直接型、级联型、 并联型）；（2）确定状态变量的个数，它等于系统的阶数；（3）依据系统的信号流图，选择积分器的输出作为状态变量；（4）根据信号流图的运算规则，列写状态方程和输出方程，并 写成矩阵形式；20例9.23：分别给出用直接型.级联

13、型和并联型结构实现下式所示系统的状态方程和输出方程："")一臣 + 6$2+11$ + 625+8解：直接型2严+8尸H（5）=；1+6屛+11尸+6厂o yU)X0o-4, (/) = 2(/)入=入(022人=一6人("一1心(“一6入(0 + x(Z)>(/) = 8/ (/) + 2A,(Z)21写成矩阵形式：9. 2. 2系软状态方程的间接编写A, (f) = A,(f)4(0 = 2.(/)，()=8人(0 + 2“)A (z) = 一6 石(z)-HA, (/) 一 6入 + x(/) 入MB()1 0A(o' 0X(r)00 1入+0

14、人IM-6-1 1 -6Ml1 x(r)A(oW) = 8 2 0易入23(2)级联型 H(s) = 2$+ 8s3口I s十4H(5)s+1 s+2+ 6s +115 + 625_,1 + 4/ 2sxX(f)S + 3 l + J 1 + 2sx 1 + 3$人(/) = 3人(/)+4 入 Q) + 22 +心(r) 3入(r) + 2X> (/)+人(/) 人a)= -2易a)+入 人=_+垃)-32 r°人(/)0-2 1入+0人00 -1V1 MO 232.v + 8并联型 5 25 + 83, -41H (s)=-+ -+(5 4- 1)(5 4- 2)(5+ 3

15、)5 4- 15 + 25 + 33厂"一4$5"1=；r + r +r =(s) + H2(s) + H. (s) +2" + 3昇 1心二-兄”) + 4)< 力 2(f)= 22 2(/) + x(f)y(t) = 3人4入+右y(t)1/s X13-1-42 3=-3久 3(f) + X(f)-1oo00/t/r)' 1-20八+10-3丄久“)1 2 22 3曲)25久(/) = -2 /) + %(/)y(t) = 32j - 4An + 入« 2 2(/) = -22 2(f) + x()2 3(/) = -32 3(/)+垃

16、)儿/ o(O =*2 3(0y(t) = 3 -49. 2. 2系绽状态方程的间接编写IJ9.2-3用并联结构形式列写下列系统的状态方程和输出方程。解:H(g(s + l)3(；：；)($ + 3)/(沪卑+半+叫刍竺(5 + 1/($ + 1)25 + 1 S + 25 + 32(1 + "丿4(1 +昇丿根据上式可以画出如下流图:15 +8+1 + 3 昇(5-'7('昇)ll+小4【+"丿3)=2155_，_5_，15_，8 1+昇1 + 2$"8 l + 3s"27人(r)= 一人(r) + 兄2(r) 丄()=-坷(r) +入

17、(f) 人(/) = -(z) + x(r) 兄4 a)= 24 a)+兀(/) 人(。=一3以)+ W)37151y(.f )=空人(r) 才 A(f) + 入(/) 一 2 兄4()+ g 入()9. 3离散系玻状态方程的理立写成矩阵形式：-1100o'(r)_0-11010(r)00-100(f)0001-2)0Aa)000；0_3A(r)_K) V) / / z / F /V /IX /k /( 15-8xz XI/ xz /* / / / / r(v z( z( z( z(v A入人A人 厂 22.9选择每个延时器的输出作为状态变最。329. 3离散系玻状态方程的理立选择每个

18、延时器的输出作为状态变最。329. 3离散系玻状态方程的理立入=Q人+b入+兀2( + %=(t)+(r)+兀 i (r)+(r)例 己知系统的信号流图如下图所示，列写系统的状态方程 与输出方程(写成矩阵形式)。M) °-解. 0(r)=希)，(/)=人(/) + 兀2(。9. 3. 1 根摒给定J8U匪的土分方IX理立状态方fityin + qyn-1J + a2yn一2 + + ak_yn 一 (k- 1) + akyn 一k=boxn + bxn - 14-b2xn 2bk xn (k 1)+仇xn 一 k叱)4+仟七加：l+qz+ 4iZ +d«Z根据上式nliHl

19、ifll何接型信号流图。31ynxn Oak*z:HO 二 b° +b忆 i + +九忆 u ')+g :"I 4-6/jZ 1 +«2Z一忆""+色厂选择每个延时器的输出作为状态变最。32x1» + 1| =易 I川韧+1=如川:4 + 11 =伽AJ/ + 1 = -ak 人n-孤-入川他兀 1W 一 aiW + 以川yn = bk 入n + 0 仏旳 + + b2Zkn + bkn + bQn + =（bk - akb0 ）2, n + （bk - ak_bQn +. +02 一冷久）入一11川+（勺一卩仇）入川+处川3

20、39. 3. 1入 w + l010 0入灯+ 100I 0入4 + 100013 + 11 _一如一兔2人川O心川0+01yn = （bk-akb0 一代/J,（乞一“）,（仇一ap。）+ （川川9. 3. 2楓掲绘定系疑的号派图理立状态方例9.3-1给定离散系统的信号流图，列出系统的状态方程和人 + 1=人川+ 刃(yt n=人" + 2JH + 1 = a2Z2n-x2ny2w = nj + xjn359. 3. 2 根揭箱定系兢的枢0BJ«/rfr号5t0B理立状态方WL入/7 + 1_4 0_4-1 0飞订ZJh + IL。a2_2Pd_0 1 x.nB«

21、;1 r加1+0 o-丄皿0 1_入川_|+|_1 0369. 3. 2 根1&给定系疑的框0HJC侑&派图理立状态方稅例932列写图示离散系统 的状态方程和输H :方程o石”+ = -An +2Zn-1 ）+.V|/jJr2nZJn+l | =+X|/?| -3x2|/d2+1 =-3（对川+刃时）+对川yjw =（Aj n +222W+I） +"川y2n =2（2J/7 +2入+1）+（入川 +A3n）''379. 3. 2 根摒给定系兢的枢图或倩号stBB理立状态方程经整理彳W： AJ/2+11 = -11+4/1 -a:i«+5a2/

22、2AW+l = -2n +Xjn -3x2nn+l = 一3為灯-323n+ x2n川川=入川 一32 +2XW1y2ll =22I|/i| -7221/? +禺|和I +4.t|/7 2x2n矩阵形式:r-i 40入"1-I5 0-201 d AAn+1_3X|W0-3-3如刀101_v2L«J入S+l如+ 11袖+ 11.vikdW+0124-6 ir xjnj-12"389. 4 延琰时间系统状态方程的求稱- =斗加）=A2G） + BX01让dF .（/）l = CA（/） + Dx（/）两边取拉氏变换LA（5）-2（0） = AA（5） + |5X（5）

23、|y（5）=CA（5）+PX（5）整理得JA（s） =（£/ 4尸锐（0-） + （$/ A）BX（s）b（3） = C&/-Am（F） + Lc（H/ A尸+ DX（s）399. 4 连壊时间状态方程的求解A（5） =（电-刘）"口（0-）+（£/- IBX（S）K（5） = C（4/-A） 1 A（0）+C（4/-A）_，B+D |X（$） 手徐入响应%（$）'零状态响匕心H*这样，就町以通过求逆变换，得到时域表示式。其中:H（S） = C（sl-Ayl B + D系统函数矩阵Hh（5）耳2（0）=w21（5）H22（s） H2tn（s） H

24、八 HZ Hrnl（s）m40”、第，个输出乙（s）中对第/个输入,（$）的响应第j个输入X's）儿他输入=0如0）=例如：'3Hh（5）=系 统H品）=弘）Wn（5）W2I（5）X2)=oX2(5)=0W12（5）W22（5）弘2（$）X 2 (s )=07/32(3) =X|(5 >=04142#矩阵的逆A =222K#14存在的条件是：1）|A是方阵；2） |4|hQ非奇异、满秩）性质：(1)A-A=AA-' =/(2) (A-')1 = A/的伴随矩阵/的行列式A-i = a4iM 其中：adj A lAl#9. 4 连琰时间J8U01状态方程的求

25、解LAJ-*A.4>i -厲2A,. adj|A = £去2AKK扛中，A”是元素勺了的代数余因子(代数余子式) 州=(T)F®叫是划去矩阵S的第i行和第/列后所得的(K-l)x(K-l)阶 矩阵的行列式。439. 4 连琰时间J8U01状态方程的求解9. 4 连琰时间J8U01状态方程的求解解：a0 11A =1 00求皿1 12=一】工0所以，A存在逆矩阵。|九每_ 0 -1 0 _a22人32=-2 -1 1LasAs.1 1 -1例己知adjM=0码=(T严012.110 _2 =0=2其中：九=(1)30-119. 4连续时间系疑状态方程的灰解对于二阶矩阵刘=沖。21 22469. 4连续时间系疑状态方程的灰解#9. 4连续时间系疑状态方程的灰解例已知刘=；求M广解：，MB«31A-* =7-3 -1221 1-1 1111 3L 22#9. 4连续时间系疑状态方程的灰解45#9. 4