2011高考数学压轴题集锦1

1、2011高考数学压轴题集锦1.已知数列满足，且，（n=1,2,3,）.（1）求的值及数列的通项公式；（2）令，记数列的前n项的和为，求证：0,因为n是正整数，故0a1.所以（）令 当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值 当时，有两个实根当x变化时，、的变化情况如下表所示：+0-0+极大值极小值的极大值为，的极小值为 当时，在定义域内有一个实根，同上可得的极大值为综上所述，时，函数有极值；当时的极大值为，的极小值为当时，的极大值为4.已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1），且过点A（2，t）， （I）求t的值；（II）若点P、Q是抛物线C上两动点，且直线AP与AQ的斜率互为相反数，试

2、问直线PQ的斜率是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由.解：（I）由条件得抛物线方程为把点A代入， 得（II）设直线AP的斜率为，AQ的斜率为，则直线AP的方程为联立方程：消去y，得：同理，得是一个与k无关的定值。5.已知函数，（I） 若，证明没有零点；（II）若恒成立，求a的取值范围. 解：（I）由 得可得在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增故的最小值，所以没有零点（II）方法一：（i）若时，令，则，故在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为，要使解得恒成立，只需，得（ii）若，恒成立，在是单调递减，故不可能恒成方法二：由恒成立，得恒成设，则 由 得 故的最大值为要使

3、恒成立，只需6.设函数，其中为常数（1）证明：对任意，的图象恒过定点；（2）当时，判断函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（3）若对任意时，恒为定义域上的增函数，求的最大值解：（1）令，得，且，所以的图象过定点； （2）当时，令，经观察得有根，下证明无其它根，当时，即在上是单调递增函数所以有唯一根；且当时，在 上是减函数；当时，在上是增函数；所以是的唯一极小值点极小值是（3），令由题设，对任意，有，又当时，是减函数；当时， 是增函数；所以当时，有极小值，也是最小值，又由得，得，即的最大值为7.已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为，过点的直线与椭圆相

4、交于两点，（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围 （1） 由已知，所以，所以所以又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为所以所以 （2）设设与椭圆联立得整理得得由点在椭圆上得又由,即所以 所以整理得：所以所以 由得所以，所以或8.已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？（3）当时，设函数，若对任意地，恒成立，求实数的取值范围 解：（1）当时，令时，解得，所以在递增； 令时，解得，所以在递减 （2）因为，函数的图像在点处的切线的倾斜角为， 所以，

5、所以，因为对于任意的，函数在区间上总存在极值， 所以只需， 解得（3）设时，递增，所以不成立，（舍）时，同，不成立，（舍）时，递增，所以，解得所以，此时时，递增，成立；时，均不成立 综上，9.所以，得 9分所以所以直线的斜率为， 10分则直线的方程可设为由，得点的坐标为 12分所以当且仅当即时取等号10. 已知数列的前项和为且。 ()求证数列是等比数列，并求； ()已知集合问是否存在实数，使得对于任意的都有?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。(20)解：()当时，时，由得，变形得：故是以为首项，公比为的等比数列，()(1)当时，只有时不适合题意 (2)时，即当时，不存在满足条件的实数

6、(3)当时，而因此对任意的要使只需 解得综上得实数的范围是11.己知。 ()若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围； ()当时，证明函数只有一个零点； ()的图象与轴交于两点中点为，求证：。解：()依题意：在上递增，对恒成立即对恒成立，只需 当且仅当时取，的取值范围为()当时，其定义域是时，当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减当时，函数取得最大值，其值为当时，即函数只有一个零点 分()由已知得 两式相减，得11分由及，得令且在上递减，12.已知函数，在处取得极值为（）求函数的解析式；（）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；（）若为图象上的任意一点，直线与的图象相切于点，求直线的斜率的取值范围解：（）已知函数，又函数在处取得极