2012年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析

1、2012年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）（2012北京）已知集合A=xR|3x+20，B=xR|（x+1）（x3）0，则AB=（）A（，1）B（1，）C，3D（3，+）考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算专题：集合分析：求出集合B，然后直接求解AB解答：解：因为B=xR|（x+1）（x3）0=x|x1或x3，又集合A=xR|3x+20=x|x，所以AB=x|xx|x1或x3=x|x3，故选：D点评：本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力2（5分）（2012北京

2、）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A（1，3）B（3，1）C（1，3）D（3，1）考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义专题：数系的扩充和复数分析：由=1+3i，能求出在复平面内，复数对应的点的坐标解答：解：=1+3i，在复平面内，复数对应的点的坐标为（1，3），故选A点评：本题考查复数的代数形式的乘积运算，是基础题解题时要认真审题，注意复数的几何意义的求法3（5分）（2012北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）ABCD考点：二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型专题：概率与统计分析：本题属于几何概型，

3、利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可解答：解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为=4，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=故选：D点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值4（5分）（2012北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A2B4C8D16考点：循环结构专题：

4、算法和程序框图分析：列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环解答：解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后33，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8故选C点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力5（5分）（2012北京）函数f（x）=的零点个数为（）A0B1C2D3考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）0，f（）0由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点解答：解：函数f

5、（x）的定义域为0，+）y=在定义域上为增函数，y=在定义域上为增函数函数f（x）=在定义域上为增函数而f（0）=10，f（1）=0故函数f（x）=的零点个数为1个故选B点评：本题主要考查了函数零点的判断方法，零点存在性定理的意义和运用，函数单调性的判断和意义，属基础题6（5分）（2012北京）已知an为等比数列，下面结论中正确的是（）Aa1+a32a2Ba12+a322a22C若a1=a3，则a1=a2D若a3a1，则a4a2考点：等比数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a32a2成立；，所以；若a1=a3，则a1=a1q2，从而可知a1=a

6、2或a1=a2；若a3a1，则a1q2a1，而a4a2=a1q（q21），其正负由q的符号确定，故可得结论解答：解：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a32a2成立，故A不正确；，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，q2=1，q=1，a1=a2或a1=a2，故C不正确；若a3a1，则a1q2a1，a4a2=a1q（q21），其正负由q的符号确定，故D不正确故选B点评：本题主要考查了等比数列的性质属基础题7（5分）（2012北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A28+6B30+6C56+12D60+12考点：由三视图求面积、体积专题：立

7、体几何分析：通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可解答：解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底=10，S后=，S右=10，S左=6几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6故选：B点评：本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力8（5分）（2012北京）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A5B7C9D11考点：函数的图象与图象变化；函数的表示方法专题：函数的性质及应用分析

8、：由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案解答：解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高，故选C点评：本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正确分析出平均产量的几何意义是解答本题的关键二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）（2012北京）直线y=x被圆x2+（y2）2=4截得的弦长为考点：直线与圆相交的性质专题：直线与圆分析：确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线y=x

9、的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长解答：解：圆x2+（y2）2=4的圆心坐标为（0，2），半径为2圆心到直线y=x的距离为直线y=x被圆x2+（y2）2=4截得的弦长为2=故答案为：点评：本题考查直线与圆相交，考查圆的弦长，解题的关键是求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形求得弦长10（5分）（2012北京）已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2=1，Sn=考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：根据等差数列的性质可求出公差，从而可求出第二项，以及等差数列的前n项和解答：解：根据an为等差数列，S2=a

10、1+a2=a3=+a2；d=a3a2=a2=+=1Sn=故答案为：1，点评：本题主要考查了等差数列的前n项和，以及等差数列的通项公式，属于容易题11（5分）（2012北京）在ABC中，若a=3，b=，则C的大小为考点：正弦定理专题：解三角形分析：利用正弦定理=，可求得B，从而可得C的大小解答：解：ABC中，a=3，b=，由正弦定理=得：=，sinB=又ba，BA=B=C=故答案为：点评：本题考查正弦定理，求得B是关键，易错点在于忽视“中大变对大角，小边对小角”结论的应用，属于基础题12（5分）（2012北京）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）=2考点：对数的运

11、算性质专题：函数的性质及应用分析：由函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，知f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=2lg（ab）由此能求出结果解答：解：函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=lg（ab）2=2lg（ab）=2故答案为：2点评：本题考查对数的运算性质，是基础题解题时要认真审题，仔细解答13（5分）（2012北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点则的值为1考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：直接利用向量转化，求出数量积即可解答：解：因为=1故答案为：1点评：本题考查平面向

12、量数量积的应用，考查计算能力14（5分）（2012北京）已知f（x）=m（x2m）（x+m+3），g（x）=2x2若xR，f（x）0或g（x）0，则m的取值范围是（4，0）考点：复合命题的真假；全称命题专题：简易逻辑分析：由于g（x）=2x20时，x1，根据题意有f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x1时成立，根据二次函数的性质可求解答：解：g（x）=2x2，当x1时，g（x）0，又xR，f（x）0或g（x）0此时f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则4m0故答案为：（4，0）点评：本题主要考查了全

13、称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）（2012北京）已知函数f（x）=（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域；复合三角函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：（1）由sinx0可得xk（kZ），将f（x）化为f（x）=sin（2x）1即可求其最小正周期；（2）由（1）得f（x）=sin（2x）1，再由2k+2x2k+，xk（kZ）即可求f（x）的单调递减区间解答：解：（1）由sinx0得xk（k

14、Z），故求f（x）的定义域为x|xk，kZf（x）=2cosx（sinxcosx）=sin2xcos2x1=sin（2x）1f（x）的最小正周期T=（2）函数y=sinx的单调递减区间为2k+，2k+（kZ）由2k+2x2k+，xk（kZ）得k+xk+，（kZ）f（x）的单调递减区间为：k+，k+（kZ）点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性，注重辅助角公式的考察应用，求得f（x=sin（2x）1是关键，属于中档题16（14分）（2012北京）如图1，在RtABC中，C=90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使

15、A1FCD，如图2（1）求证：DE平面A1CB；（2）求证：A1FBE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定专题：空间位置关系与距离；立体几何分析：（1）D，E分别为AC，AB的中点，易证DE平面A1CB；（2）由题意可证DE平面A1DC，从而有DEA1F，又A1FCD，可证A1F平面BCDE，问题解决；（3）取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC，平面DEQ即为平面DEP，由DE平面，P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，可证A1C平面DEP，从而A1C平面DEQ解答：解：（1）D，E分别为AC

16、，AB的中点，DEBC，又DE平面A1CB，DE平面A1CB（2）由已知得ACBC且DEBC，DEAC，DEA1D，又DECD，DE平面A1DC，而A1F平面A1DC，DEA1F，又A1FCD，A1F平面BCDE，A1FBE（3）线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBCDEBC，DEPQ平面DEQ即为平面DEP由（）知DE平面A1DC，DEA1C，又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，A1CDP，A1C平面DEP，从而A1C平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判

17、定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题17（13分）（2012北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a0，

18、a+b+c=600当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值（求：S2=+，其中为数据x1，x2，xn的平均数）考点：模拟方法估计概率；极差、方差与标准差专题：概率与统计分析：（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得=，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000解答：解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为；（2）由题意可知：生活垃

19、圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为；（3）由题意可知：a+b+c=600，a，b，c的平均数为200=，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2aca2+b2+c2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000点评：本题考查概率知识的运用，考查学生的阅读能力，属于中档题18（13分）（2012北京）已知函数f（x）=ax2+1（a0），g（x）=x3+bx（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a=3，b=9时，函数f（x）+g（x）在区间k，2上的最大值为28，求k的取

20、值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）当a=3，b=9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x29x+1，求导函数，确定函数的极值点，进而可得k3时，函数h（x）在区间k，2上的最大值为h（3）=28；3k2时，函数h（x）在区间k，2上的最大值小于28，由此可得结论解答：解：（1）f（x）=ax2+1（a0），则f（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g（x）=3x2

21、+b，k2=3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b 又f（1）=a+1，g（1）=1+b，a+1=1+b，即a=b，代入式，可得：a=3，b=3（2）当a=3，b=9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x29x+1则h（x）=3x2+6x9，令h（x）=0，解得：x1=3，x2=1；k3时，函数h（x）在（，3）上单调增，在（3，1上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间k，2上的最大值为h（3）=283k2时，函数h（x）在区间k，2上的最大值小于28所以k的取值范围是（，3点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函

22、数19（14分）（2012北京）已知椭圆C：+=1（ab0）的一个顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（）求椭圆C的方程；（）当AMN的面积为时，求k的值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；（）直线y=k（x1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x24k2x+2k24=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x1）的距离，利用AMN的面积为，可求k的值解答：解：（）椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，b=椭圆

23、C的方程为；（）直线y=k（x1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x24k2x+2k24=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，|MN|=A（2，0）到直线y=k（x1）的距离为AMN的面积S=AMN的面积为，k=1点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|20（13分）（2012北京）设A是如下形式的2行3列的数表，abcdef满足性质P：a，b，c，d，e，f1，1，且a+b+c+d+e+f=0记ri（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），Cj（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值（1）对如下数表A，求k（A）的值110.80.10.31（2）设数表A形如1112ddd1其中1d0求k（A）的最大值；（）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k（A）的最大值考点：进行简单的演绎推理专题：推理和证明分析：（1）根据ri（A）