等差数列前n项和优秀教案

1、§23 等差数列的前 n 项和一、教学目标知识与技能： 掌握等差数列前n 项和公式； 会用等差数列的前 n 项和公式解决问题。过程与方法： 通过公式的推导和公式的运用， 使学生体会从特殊到一般， 再从一般到特殊的思维规律；通过公式推导的过程教学，扩展学生思维。情感态度与价值观： 通过公式的推导过程， 使学生体会数学中的对称美， 促进学生的逻辑思维。二、教学重点等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用三、教学难点灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题四、教学过程 创设情景 在 200 多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么

2、一出好戏。 那时， 高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+100=据说，当其他同学忙于把100 个数逐项相加时， 10 岁的高斯却用下面的方法 迅速算出了正确答案：(1+100) + (2+99) + (50+51) =101X50=5050.探索研究我们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算1, 2, 3,，n,的前n项的和：由 1 + 2 + n-1 + nn + n-1 + 2 + 1(n+1) + (n+1) + + (n+1) + (n+1)可知1 2 3 . n Un2上面这种加法叫“倒序相加法”请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里高斯的算法很巧妙，他发现了整个数列

3、的第 k项与倒数第k项的和与首项与 尾项的和相等这个规律，并且把这个规律用于求和。这种方法可以推广到求一般 等差数列的前n项和。等差数列求和公式的推导一般地，称a1 a2 a3an为数列aJ的前n项的和，用Sn表示，即Sn a a2 a3a1.思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。Sna1(a1d)(a12d) .a1(n 1)d,Snan(and)(an2d) .an(n 1)d,由+，得2Sn (g a。)+ (a aj +3& aj +.+an)1由此得到等差数列N的前n项和的公式Sn 一对于这个公式，我们知道：只要知道等差

4、数列首项、尾项和项数就可以求等 差数列前n项和了 2.把a。& (n 1)d代入& n(a an)中，就可以得到 & na1 吟3d对于这个公式，只要知道等差数列的首项、项数和公差，就可以求出等差数 列的前n项和。引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，该公式可以变形为 & 1dn2 (a d)n,可以与二次函数进行比较。这两 个公式的共同点都是知道 ai和n,不同点是第一个公式还需知道 an

5、,而第二个公 式是要知道d,解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。例题分析例1、2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从 2001年起用10年 时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通” 工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上 一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的 总投入是多少、先阅读题目；、引导学生提取有用的信息，构造等差数列模型;、写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解。解：

6、根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一 年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列an,表示从2001年起各年投入 的资金，其中a1 500, d=50.那么，至J 2010年（n=10）,投入的资金总额为c10 （10 1）“一、Sn 10 500 50 7250 （万兀）2答：从20012010年，该市在“校校通”工程中的总投入是 7250万元.例2.已知一个等差数列an前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前 n项和的公式吗引导学生分析得到：等差数列前n项和公式就是一个关于 an、a1、n或者a1、n、d的方程。若

7、要确定其前n项求和公式，则要确定a1和d的关系式，从而求得。分析：将已知条件代入等差数列前 n项和的公式后，可得到两个关于4与d 的二元一次方程，由此可以求得 为与d,从而得到所求前n项和的公式.解：由题意知S10 310, S20 1220,将它们代入公式Sn na1包工d,2得 J10a 45d 310,可%20al 190d 1220解这个关于a1与d的方程组，得到a1=4, d=6,所以 S 4n nn工 6 3n2 n2另解：得%曳产10310O a10 62;（X所以a1 a20 122;Z-，得 10d 60,所以d 6代入得：ai 4所以有Sn an n d 3n2 n2例题评

8、述：此例题目的是建立等差数列前n项和与解方程之间的联系.已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.例3已知数列a。的前n项为Sn n2 n ,求这个数列的通项公式.这个数列是 等差数列吗如果是，它的首项与公差分别是什么解：根据Sna1 a2an 1an与Sn 1 a1a2可知，当n>1时，an Sn Sn1当 n=1 时，a1sl 12 12an 1（ n 1 ）c 1c 11_n - n （n 1） 一（n 1） 2n - d2221 3也满足式.2所以数列an的通项公式为an 2n 1.2 3由此可知，数列an是一个首项为-,公差为2的等差数列。2这个例题还给出了等差数列通项公式的一

9、个求法.已知前n项和Sn,可求出通项用这种数列的Sn来确定an的方法对于任何数列都是可行的， 而且还要注意a1不一定满足由Sn Sn1 an求出的通项表达式，所以最后要验证首项 ©是否满足已 求出的an.思考：结合例3,思考课本45页“探究”：一般地，如果一个数列an的前n项 和为Sn pn2 qn r.其中p、q、r为常数，且p乎0,那么这个数列一定是等差数 列吗如果是，它的首项与公差分别是什么引导分析得出：观察等差数列前 n 项和公式Sn a1n 9出d dn2 (a1 d) n,公式本身就不含常数项。所以得到：如果一个数列前 n项和公式是常数项为 0,且关于n的二次型函 数，则这个数列一定是等差数列.例4已知等差数列5,4|,3p .的前n项和为求使得.最大的序号n的值.分析：等差数列的前 n项和公式可以写成Sn dn2 (a1 d)n,所以Sn可以 22看成函数y dx2 (a1 d) x(x N*)当x=n时的函数值.另一方面，容易知道 &关于n的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以 利用二次函数来求n的值.解：由题意知，等差数列5,4|,3p .