2019-2020学年高中数学第一章计数原理1.2.1排列教案新人教A版选修2-3.doc

1、2021-2021学年高中数学 第一章 计数原理1.2.1 排列教案 新人教 A版选修2-3 教学目标：理解排列、排列数的概念； 了解排列数公式的推导； 能用“树型图写出一个排列中所有的排列； 能用排列数公式计算. 教学重点：排列、排列数的概念. 教学难点：排列数公式的推导第一课时 一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情,完成它可以有n类方法,在第一类方法中有 叫种不同的方法,在第二类方法中有 m2种不同的方法,在第 n类方法中有 mn种不同的方法那 么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情,完成它需要分成 n个步骤,做第一步有 叫种不同的方法,做

2、第二步有 m2种不同的方法, 做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事有N=mhMm2M父mi种不同的方法分类加法计数原理和分步乘法计数原理,答复的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步问题各个步骤中的方法相互依存 ,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题：1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类间互相独立,“步间互相联系；3.有无特殊条件的限制二、讲解新课

3、： 1问题： 问题1.从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动,其中一名同学参加上 午的活动,一名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法？ 分析：这个问题就是从甲、乙、丙 3名同学中每次选取 2名同学,根据参加上午的活动在前,6种不同的排法：甲参加下午活动在后的顺序排列,一共有多少种不同的排法的问题,共有 乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙,其中被取的对象叫做元素解决这一问题可分两个步骤：第 1步,确定参加上午活动的同学,从 3人中任选1人,有 3种方法；第2步,确定参加下午活动的同学,当参加上午活动的同学确定后,参加下午活动的同学只能从余下的 2人中去选,于是有 2种方法.根据分

4、步乘法计数原理,在 3名同学中选出2名,根据参加上午活动在前,参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3X2=6种,如图1.2 1所示.上午 下午相应的排法甲乙甲丙 乙甲 乙丙丙甲 丙乙把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题可表达为：从3个不同的元素a , b ,.中任 取2个,然后根据一定的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有3X2=6种.问题2.从1,2,3,4 这4个数字中,每次取出 3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数,在4个字母中任取1个,有4种方法；第二步

5、确定中间的数,从余下的3个数中取,有3种方法；第三步确定右边的数,从余下的2个数中取,有2种方法由分步计数原理共有：4X3X2=24 种不同的方法,用树型图排出,并写出所有的排列由此可写出所有的排法显然,从4个数字中,每次取出 3个,按“百 “十 “个位的顺序排成一列,就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来解决这个问题：第1步,确定百位上的数字,在 1 , 2,3,4 这4个数字中任取1个,有4种方法；第2步,确定十位上的数字,当百位上的数字确定后,十位上的数字只能从余下的3个数字中去取,有3种方法；第3步,确定个位上的数字, 当百位、十位上的数字

6、确定后, 个位的数字只能从余下的 2个数字中去取,有2种方法.根据分步乘法计数原理,从1 , 2,3,4 这4个不同的数字中,每次取出3个数字,按“百 “十 “个位的顺序排成一列,共有4X3X2=24种不同的排法,因而共可得到24个不同的三位数,如图1.2 2所示由此可写出所有的三位数:123, 124, 132, 134, 142, 143,213, 214, 231,234, 241,243,312, 314,321,324, 341,342,412, 413,421,423,431,432.同样,问题2可以归结为：从4个不同的元素 a, b, c , d中任取3个,然后根据一定的顺序排成

7、一列,共有多少种不同的排列方法？所有不同排列是abc, abd, acb, acd, adb, adc,bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,cab, cad, cba, cbd, cda, cdb,dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.共有4X3X2=24种.树形图如下2.排列的概念：从n个不同元素中,任取m m Mn个元素这里的被取元素各不相同根据一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列说明：(1)排列的定义包括两个方面：取出元素,按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：元素完全相同,元素的排列顺序也相同3 .排列数的定义：

8、从n个不同元素中,任取 m(mwn)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出 m元素的排列数,用符号 Am表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列是指：从 n个不同元素中,任取 m个元素根据一定的顺序 排成一列,不是数；“排列数是指从n个不同元素中,任取m ( m En)个元素的所有排列的个数,是一个数所以符号Anm只表示排列数,而不表示具体的排列4 .排列数公式及其推导：由A2的意义：假定有排好顺序的 2个空位,从n个元素ai,a2,an中任取2个元素去填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,反过来,任一个排列总可以由这样的一种填法得到,因此,所有不同的填法的种数就是排列数a

9、2 ,由分步计数原理完成上述填空共有 n(n 1)种填法,A2=n(n-1)由此,求A3可以按依次填3个空位来考虑, A3 = n(n-1)(n-2),求A:以按依次填 m个空位来考虑 Am=n(n1)(n2)(nm+1),第1世第？位s atart-rtt* 口排列数公式：Am = n(n -1)(n -2) (n -m 1)(m, n w N *, m < n)说明：(1)公式特征：第一个因数是n ,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数是 n - m +1 ,共有m个因数;(2)全排列：当n=m时即n个不同元素全部取出的一个排列 全排列数：An = n(n1)(n-2)2 1

10、 = n!(叫做n的阶乘)另外,我们规定0! =1 .例 1.用计算器计算：(1 ) A4); (2 ) A1; (3 ) Ar + A；3.解：用计算器可得：10®HlPr| 晅 4 = 5 040；18 |SHIFT| 国 5=1 028 160；18 fSHIF？ nPr IS Q 13 |SHIFT| 同13=1 028 160.2 ) ( 3)我们看到,A；8 = A1； = A13 .那么,这个结果有没有一般性呢？即n!a；比(n-m)!排列数的另一个计算公式:A=n(n -1)(n -2) (n -m 1)n(n-1)(n -2)(n -m 1)(n -m)3 2 1(

11、n 一m)(n - m -1) 3 2 1(n-m)!An :即Amn!(n -m)!说明:条件,要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围;(1)解含排列数的方程和不等式时要注意排列数篦中,m,nN且mMn这些限制(2)a?=n!,常用来证实或化简(n -m)!公式A； =n(n-1)(n-2)- (n m+1席用来求值,特别是 m,n均为时,公式第二课时例1.(课本例2).某年全国足球甲级 (A组)联赛共有14个队参加,每队要与其余各队在主、 客场分别比赛一次,共进行多少场比赛？解：任意两队间进行 1次主场比赛与1次客场比赛,对应于从14个元素中任取 2个元素的一个排列.因此,比赛的总

12、场次是A：=14X 13=182.例2.(课本例3) . (1 )从5本不同的书中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少 种不同的送法？(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法？解：(1 )从5本不同的书中选出 3本分别送给3名同学,对应于从 5个不同元素中任取 3个元素的一个排列,因此不同送法的种数是屋=5X4X3=60.2由于有5种不同的书,送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法,因此送给3名 同学每人各1本书的不同方法种数是 5X5X5=125.例8中两个问题的区别在于：1 是从5本不同的书中选出 3本分送3名同学,各人得到的书不同,属于求排列数问

13、题；而2 中,由于不同的人得到的书可能相同,因此不符合使用排列数公式的条件,只能用分步乘法计数原理进行计算.例3.课本例4 .用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在本问题的.到9这10个数字中,由于.不能排在百位上, 而其他数可以排在任意位置上,因此.是一个特殊的元素.一般的,我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题解法1 :由于在没有重复数字的三位数中,百位上的数字不能是Q因此可以分两步完成排列.第 1步,排百位上的数字,可以从1到9这九个数字中任选 1个,有A9种选法；第2步,排十位和个位上的数字,可以从余下的9个数字中任选2个,有A2种选法图1.2 5 .根

14、据分步乘法计数原理,所求的三位数A； A2=9 x 9 x 8=648 个解法2 :如图1.2 6所示,符合条件的三位数可分成3类.每一位数字都不是位数有 A母个,个位数字是 O的三位数有揭个,十位数字是0的三位数有揭个.根据分类加法计数原理,符合条件的三位数有A； +A2 +A2=648 个.抬个A匕个例 r. ,一, ww. II" 解法3 :从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为 A；0,其中O在百位上的排列数2是a2,它们的差就是用这 10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数,即所求的三位数的个数是A30- A2 =10X 9X8-9X 8=648.对于例9这类计数问

15、题,可用适当的方法将问题分解,而且思考的角度不同,就可以有不同 的解题方法.解法 1根据百位数字不能是.的要求,分步完成选3个数组成没有重复数字的三位数这件事,依据的是分步乘法计数原理；解法 2以O是否出现以及出现的位置为标 准,分类完成这件事情,依据的是分类加法计数原理；解法 3是一种逆向思考方法：先求出 从10个不同数字中选3个不重复数字的排列数,然后从中减去百位是.的排列数即不是三 位数的个数,就得到没有重复数字的三位数的个数.从上述问题的解答过程可以看到,引 进排列的概念,以及推导求排列数的公式,可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出m mW n个元素的所有排列的个数这类特殊的

16、计数问题.1.1节中的例9是否也是这类计数问题？你能用排列的知识解决它吗？小结：排列的特征：一个是“取出元素；二是“根据一定顺序排列,“一定顺序就是与位置有关,这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志.根据排列的定义,两个排列相同,且仅当两个排列的元素完全相同,而且元素的排列顺序也相同.了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方法,从中体会“化归的数学思想,并能运用排列数公式进行计算.对于较复杂的问题,一般都有两个方向的列式途径,一个是“正面凑,一个是“反过来剔.前者指,根据要求,一点点选出符合要求的方案；后者指,先按全局性的要求,选出方案,再把不符合其他要求的方案剔出去.了解排列数的意义,掌

17、握排列数公式及推导方法,从中体会“化归的数学思想,并能运用排列数公式进行计算.四、课堂练习：n!/、1 .右 x = ,那么 x=()3!daL(D)7(A) a3(B)A(C)An2 .假设A =2A；,那么m的值为 ()(A) 5(B)3(C)63.计算:2A5 3A69!-A6.4.An =56,那么n=；5. 一个火车站有8股岔道,停放4列不同的火车,有多少种不同的停放方法假定每股岔道只能停放1列火车？6. 一部纪录影片在 4个单位轮映,每一单位放映 1场,有多少种轮映次序？第三课时例1. 1有5本不同的书,从中选 3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法？2有5种不同的书,

18、要买 3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法？解：1从5本不同的书中选出 3本分别送给3名同学,对应于从 5个元素中任取3个元素3一一的一个排列,因此不同送法的种数是：A =5父4父3 = 60,所以,共有60种不同的送法2由于有5种不同的书,送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法,因此送给 3名同学,每人各1本书的不同方法种数是：5M5M5=125,所以,共有125种不同的送法说明：此题两小题的区别在于：第1小题是从5本不同的书中选出 3本分送给3位同学,各人得到的书不同,属于求排列数问题；而第2小题中,给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种,各人得到那种书相互之间没有联系

19、,要用分步计数原理进行计算例2.某信号兵用红、黄、蓝 3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号？解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有 A1种；第二类用2面旗表示的信号有 内种；第三类用3面旗表示的信号有A3种,由分类计数原理,所求的信号种数是：A； +A2 +A33 =3+3父2 +3父2 M1 =15,例3.将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员,共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步,第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车

20、上,即从4个不同元素中取出4个元素排成一列,有 A4种方法;第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,也有4 -、-A4种万法,利用分步计数原理即得分配方案的种数解：由分步计数原理,分配方案共有N =解,A： = 576 (种)例4.用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?解法1:用分步计数原理:十位个位百位7所求的三位数的个数是:-2A 9 9 9 8 = 648解法2:符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是0的三位数有 同个,个位数字是0的三位数有 A2个,十位数字是 0数有a2个,的百位 十位 个位百位十世 个位 百位 十位 个过由分类计数原理,符合条

21、件的三位数的个数是：A93 + a2 + a2 = 648 .解法3:从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为 A；0,其中以0为排头的排列数为 a2, 因此符合条件的三位数的个数是A；0 - A； = 648- A2 .说明：解决排列应用题,常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步,直接计算符合条件的排列数如解法1, 2;间接法：对于有限制条件的排列应用题,可先不考虑限制条件,把所有情况的种数求出来,然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3.对于有限制条件的排列应用题,要恰当地确定分类与分步的标准,预防重复与遗漏第四课时例5. (1) 7位同学站成一排,共有

22、多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列 A；=5040.（2） 7位同学站成两排(前 3后4),共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7X6X5X4X 3X2X1= 7! = 5040.（3） 7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列一一 A6 =720.（4） 7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有 A；种；第二步 余下的5名同学进行全排列有 A；种,所以,共有 A a5 =240种排列方法（5） 7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有

23、多少种？解法1 直接法：第一步从除去甲、乙其余的 5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A；种方法；第二步从余下的 5位同学中选5位进行排列全排列有 A5种方法,所以一共有A； A5 = 2400种排列方法解法2：排除法假设甲站在排头有 A6种方法；假设乙站在排尾有 A6种方法；假设甲站在排头且乙站在排尾那么有 a5种方法,所以,甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有 A；-2A6 +A 5一A5 =2400 种.说明：对于“在与“不在的问题,常常使用“直接法或“排除法,对某些特殊元素可以优先考虑例6.从10个不同的文艺节目中选 6个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不能排 在第二个节

24、目的位置上,那么共有多少种不同的排法？解法一：从特殊位置考虑A；A； =136080 ；解法二：从特殊元素考虑假设选:5 a5；假设不选：a6,那么共有 5 A +A6 =136080 种；解法三：间接法 A；0 -A5 =136080第五课时例7. 7位同学站成一排,1甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？5个元素同学一起进行A；种方法.所以这样的排法解：先将甲、乙两位同学“捆绑在一起看成一个元素与其余的全排列有 A6种方法；再将甲、乙两个同学“松绑进行排列有一共有A A2 =1440种2甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上,一共有 A5 A； = 720种3甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,由于丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有A2种方法；将剩下的4个元素进行全排列有 A4种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑进行排列有a2种方法.所以这样的排法一共有A5AA = 960种方法解法二：将甲、乙两同学“捆绑在一起看成一个元素,此时一共有6