张晓慧初稿修改版2

1、LULIANG UNIVERSITY分类号： 密 级： 毕业论文（设计） 题 目: 有限域的发展及其应用 系 别: 数学系 专业年级: 数学与应用数学 姓 名: 张晓慧 学 号: 20120402343 指导教师: 雒晓良 讲师 2016年05月11日 原 创 性 声 明 本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文，是在指导老师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由

2、本人承担。 关于毕业论文使用授权的声明本人在指导老师指导下所完成的论文及相关的资料（包括图纸、试验记录、原始数据、实物照片、图片、录音带、设计手稿等），知识产权归属吕梁学院。本人完全了解吕梁学院有关保存、使用毕业论文的规定，同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权吕梁学院可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本毕业论文。如果发表相关成果，一定征得指导教师同意，且第一署名单位为吕梁学院。本人离校后使用毕业论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为吕梁学院。论文作者签名： 日 期：

3、指导老师签名： 日 期： 摘 要 有限域是具有四则运算的抽象代数系统，满足结合律、交换律、消去律、分配律等运算法则，它的代数结构及其特性，而它的广泛应用被数学界众多的学者进行研究。有限域概念的形成和发展具有漫长的历史过程，本文以有限域的发展为中心，并结合同时期的数论在抽象域的研究，在这个过程中具有突出奉献的数学家之间的工作的联系与发展，推动了有限域的发展，一步步演变为今天的一般定义。最后对有限域的应用方面进行阐述，随着计算机科学和应用数学的发展，数论和有限域在计算方面、编码学、密码学、计算机代数，组合论等许多领域的到了极大应用，而本文集中叙述了有限域在编码理论、纠错编码、线性码和汉明码方面的应

4、用。 本篇文章通过介绍有限域的发展变化过程，使之与抽象域的关系有了一个更加清楚的认识，并加以在有限域上的应用方面的研究，让人们能够更加广泛的对其进行应用。纠错码数学理论的基本研究课题有两个:(1)构造性能良好的纠错码，即要求效率和反映纠错能力的俞大俞好。(2)寻求好的译码算法。本论文给出了给出了纠错码的各种界，达到某个界的码就是性能最好的纠错码。 关键词：有限域；Galois；纠错码；线性码；汉明码 Abstrac Finite field is with arithmetic algebraic system, meet associative law, commutative law, d

5、istributive law, distributive law algorithm and its algebraic structure and characteristics, and its wide application is the mathematical community many scholars were studied. The formation and development of finite fields theory has a long history, this paper focuses on the development of finite fi

6、elds, and period of the contract theory in the abstract domain of study, in the process with the development of contact between the outstanding contributions of mathematicians working, promote the development of the finite field, a step by step evolution for todays general definition. Finally, the a

7、pplication of finite fields are described, along with the development of computer science and applied mathematics, number theory and finite field calculation, coding theory, cryptography, computer algebra and combinatorial theory and many other fields to the great application. In this paper, we focu

8、s on describing the application of finite field in coding theory, error correcting codes, linear codes and Hamming code This article through the finite domain development process is introduced, with the abstract domain have a clearer understanding of, and be used in the finite field research, so tha

9、t people can more widely on the application. There are two basic research topics in the mathematical theory of error correcting codes: (1) the construction of a good performance of the error correcting code, that is, the requirements of efficiency and reflect the error correcting ability of Yu Dayu

10、good. (2) to find a good decoding algorithm. In this paper, we give a variety of error correcting codes, which can achieve the best performance of the codes.Key words: finite field ；Galois ；Error correcting code；linear codes Hamming code 目 录第1章 绪论- 1 - 1.1研究背景- 1 -1.2研究意义- 1 -1.3研究内容- 1 -第2章 有限域的发展历

11、程- 3 -2.1 有限域发展的意识的阶段- 3 -2.1.1有限域发展的无意识阶段- 3 -2.1.2有限域发展的有意识阶段- 5 -2.2 域的初始概念对有限域发展的影响- 5 -2.2.1 从集合的角度定义域- 5 -2.2.2 域的第一个抽象定义和H.Weber的工作- 7 -2.2.3 L.E.Dickson对有限域的贡献- 8 -2.3有限域发展的现状- 11 -第3章 有限域的应用- 12 - 3.1纠错码- 12 - 3.2线性码- 15 - 3.3汉明码- 19 -第4章 结论- 22 -参考文献- 23 -致 谢- 24 - 第1章 绪论1.1研究背景 人们知道有理数经过加

12、减乘除之后仍为有理数，并满足通常的交换律、结合律、分配律等，但是在我们的印象中，长期以来并没有从集合的角度对有理数进行整体考虑，也不涉及抽象的公理定义，等没有形成域的概念。而这些是在19世纪末、20世纪初被美国数学家E.Galois最先给出的具体概念，他在研究方程论的时候提到的复数域的子域中已经包含了有理数域，但在当时并没有这样的术语。在数学的历史上，经历了漫长的过程逐渐出现了零、分数、分数，无理数.扩张了对数的系统的认识。在研究数论的问题时讨论了模素数的剩余类的性质，事实上已经研究了有限域的性质，但是没有提及域、抽象域的概念，第一个提出具体域的概念的是E.Galois，后来R.Dedekin

13、d、H.Weber、L.E.Dickson、E.V.Huntington从集合，公理化的角度定义了域。但是对有限域的研究并没有继续深入，直到1901年L.E.Dickson在线性群及对Galois域的解释，把有限域表达成了现代的形式，是有限域发展的一个重要里程碑。有限域的发展对域的建立做出了贡献，并且相互影响，相互促进，不断向前发展。1.2研究意义 有限域概念的形成和发展有着一个漫长的历史过程，本文力图通过介绍有限域的发展过程，使得对它及其与抽象域的关系有一个整体上的了解和更加清楚的认识，进而对代数学的发展过程有一个宏观把握。随着计算机科学和应用数学的发展，数论域有限域在许多领域得到了日益广泛

14、的应用，在数学通信中，通信的每一位采用有限域中的元素，我们可以用有限域工具解决通信中的各种问题，一个好的纠错纠错码在通信中真正能被采用，需要好的纠错编码和纠错译码，使得工程上得以实用，纠错编码是希望给出一种方便的办法把信息一一对应于中的码字，要有简便的方法译出正确的码字。同时希望借此论文引起人们的关注。 1.3研究内容 (1)以有限域的发展为中心，并阐明与抽象域的关系，而且介绍了有限域发展过程中杰出数学家对域的研究所作出的贡献，以及他们具有影响力的著作，多位数学家对域的概念所给出的的不同与联系，使得对它及其抽象域的关系有了整体的把握，进而对代数学的发展过程有更准确的变化。- 2 -吕梁学院本科

15、毕业(论文) (2)对有限域的应用给出了一些介绍，主要介绍在纠错编码，线性码和汉明码等的应用。第2章 有限域的发展历程2.1 有限域发展的意识的阶段2.1.1有限域发展的无意识阶段 域的定义是：如果F是一个交换环，并且对每个元素，它都包含一个逆元，满足方程，那么F称为域。若一个集合R,具有加法和乘法两种运算，并满足下列条件，则称为域。(1)加法是可结合的，即对R的三个任意的元素、，都有. (2)加法是可交换的，即对R中的任意一个元素、，都有.(3)对于加法存在一个恒等元，有叫零元，通常用0表示，使得对R的每一个元素,都有 . (4)对于R中的每一个元都有一个加法逆元，通常用表示，使得. (5)

16、乘法是可结合的，即对于R的任意三个元、,都有.(6) 乘法对于加法是可分配的，即对R中的任意三个元、，都有和.(7)乘法是可交换的，即对于的任意两个元、b,都有。(8)对于乘法存在一个恒等元,又叫单位元，使得对的任一元有.(9) 对于R中的任意非零元，都有一个乘法逆元，使得. 通常根据域中元的个数，可以将域分为有限域和无限域。域是可以进行四则运算的集合，钥定义域，需要有完善的数系，人们曾经把零、分数、负数、无理数，复数，引进数系经历了漫长的过程。1500百年左右，零已经被人们接受作为一个数，无理数也用的更随便了。到1700年左右，人们已经很熟悉整数，分数，无理数，负数和复数了，但是对这些新数还

17、有错误的认识。在16世纪和17世纪，只有少数数学家承认负数也是数，合理的进行应用。而承认负数是方程的跟的数学家，更是甚少。18世纪时候，无理数概念的认识没有取得突破。后来人们人们用部分分式法求积分的时候用到了复试，所以就关于负数以及复数的对数进行了长时间的争辩。一方面由于数系的扩大，出现了加法和乘法的逆运算。从算术开始，我们知道了有理数经过加减乘除之后还是有理数，满足一般的交换律，结合律，分配律，即是那是的有理数所购成的“域”。人们不知域的性质就是上述的过程中已经出现的，另一方面，17世纪起，就有了很多伟大的数学家对数论开始研究。并且得出了有限域的性质，但是对域的概念认识没有深入。而对域有跨越

18、性的一步发生在古代，是在原本卷中的命题，就是：如果,且与互素，那么与n互素。这可以得出与n互素的整数集具有乘法封闭性。进一步分析可得这个乘法与模取余一致。由此可以得出环/单位群。当是素数，那么是元有限域。 有限域论的重要结果是C.GBache给出的一个算法。即如果a、b是自然数且互素，计算非负整数和，使得，且。在剩余定理的算法中用到了这个算法。P.deFermat在研究完全数时能被素数整除。之后，他证明了一般情况：如果是一个素数，是和互素的任意整数，那么能被整除，即.即现在的Fermat定理。1736年L.Euler证明了Fermat定理，后来又发现了两个定理，并证明了之。并且利用这个定理他得

19、到了更多的结果，在1760年引进了函数俩推广，并且得出了定理：.其中与互素，即是现在的，表示Euler函数，是小于n且域n 互素的整个数的个数，所以当n素数时，其中就等于。L.Euler还证明若互素，则，记号是有C.F.Gauss在1801年引进的，到现在一直出现在数学著作中。1796年，J.H.LAMBERT：如果为素数，那么一定存在一个模本原元，而L.Euler在1744年写到，对于大多数合数来书，本原元不存在，必须要证明上述的结论，但是他的证明存在不合理之处。后来数学王子C.F.Gauss也对这个问题进行研究。他否定了L.E.uler的证明，并且得出的结论更丰富,即：另为一由有限群。如果

20、对于的所有余数,方程在中至多有个解，那么是循环群。同余是有限域中非常重要的概念，最先引进同余符号的是C.F.Gauss.他在九章算术中引进了这个符号，并进行了系统的应用。他在对模素数的同余式的系统研究中，证明了元根的存在性，证明了模的 剩余类的乘法群是循环群。而E.Galois把这些结果推广到了有限域，之后便开始了有限域论，但是他们尽管达到许多同余的性质，但是没有注意到有限域的概念，并没有对有限域有了其他方面的利用。2.1.2有限域发展的有意识阶段 19世纪，研究到的域有：有理数域、实数域、负数域、和模素数的剩余类域。第一个构造出有限域的是E.Glois,这是源于代数方程的求根问题。1830年

21、他在一篇论文论数论中以元为基础，得出：每个有限域的个数必为某个素数的的方幂.而且对每个素数幂，本质上只有一个元有限域，用域扩张的方法构造出了全部可能的有限域。E.Glois假定为上的模素数的次不可约多项式，因而同余式没有整根获无理根，与利用引进虚数解类似，构造出表达式，得出这个表达式有且只有个值，有个非零值，而这些表达式可以进行加减乘除运算，着个元素够成一个域，即为现在的有限域。他指出由生成的域,是这些元素经过加减乘除的到的全部元素构成的集合。后来他证明了在一个特征为的Galois域中，元素的个素是的的方幂，而且有限域中存在本原元，表示一个有限域的乘法群是循环群，并且对于次不可约多项式就能得到

22、形如的元素，是存在的。即存在分裂域，而对于特征为0的完备域，即特征为且满足映射为满射的性质的域，存在本原元。在这一点上有过证明：对于给定的次不可约多项式，使得形如的所有元素有依赖的一个根，相反，如果这个根是依赖形如的元素，那么。E.Galois在他的论文中又证明了，对于任意素数次幂，总可以找到一个不可约的阶同余多项式，它的一个根可以生成阶的Gaois域。例如，模7是不可约，因此集合的元素够成了阶为的域。论文中蕴含了域的概念，以及添加了方程的一个根的扩域，称为“虚数”。并没有想到用公设去定义域和群，“交换”“分配”在后来的1841年才引入。 2.2 域的初始概念对有限域发展的影响2.2.1 从集

23、合的角度定义域上述已有E.Galois对域给出了改的概念，但是没有给出具体定义。而最先提出域的概念的是L.Kronecker和R.Dedekind.是在研究数论问题提出的这个概念。L.Kronecker从元素元素确定的有理域开始，域中包含所有的的整系数的有理函数，他认为若整数和有理数存在，则把添加到一个有理域中，就可以解决根号的问题。通过观察除有 理数系数的多项式的余式可知，没有根。原因是对于相同余式的多项式相等，可直接在与式集中定义基本运算，所以塔门可以构成一个新的有理域。L.Kronecker证明若是域中的不可约多项式，则存在以的一个根为添加元的单代数扩张。因此，在任意给定的非常数多项式，

24、肯定会存在一个域，能使得多项式在其中有一个根。定理的证明不仅证明了存在性，而且给出了构造要求的域的方法。R.Dedekind在研究唯一因子的分解问题时给出了数域的概念，但他更关注元素集合本身。他最先定义了次代数数，接着引进了数域概念。它是由一个实数或复数构成的域，满足下列给出的条件：若,则.其中，最小的数域是有理数域，任何数域都包含它，最大的数域是复数域，每个数域都包含于其中。所以他与L.Kronecker不同，因为R.Dedekind认为，任意一个域包含着添加代数元的复数域中。给定任意复数集,R.Dedekind定义域是包含的最小域。后来集合论之父G.Cantor发现R.Dedekind的有

25、限域是可数集，而且这个集合中可包含无穷多个元素。再后来R.Dedekind在他的理想论中，介绍了Galois理论，但是证明过程中存在缺陷，为了弥补其不足，R.Dedekind，重点工作是把基本概念清楚的表达，于是，群和域这两个概念就联系到一起。R.Dedekind提出了“截断”、“链”、“理想”分别是实数系、自然数系和代数数数系概念基础。在这几个概念之间有着密切的联系，利用这几个概念的目的是完全依赖数集运算的性质来证明定理。19世纪，不仅有理数、实数域、负数域外被发现，又出现了上述代数数域及代数函数，作为后来抽象域的五个来源。1893年H.Weber对E.Galois的工作抽象描述，之后便有了

26、域的抽象定义。这个时期的数学已经表明了代数能够处理实数或复数以外的集合。出现了诸如向量、四元数、矩阵、其他形式的超复数、替换、变换、替换和置换等构成的集合，它们借助于其集合的运算规律联系起来，于是，各种代数涌现出来。代数从实数和复数这种特殊领域中解放出来，源于A.De Morgan等人的哲学遐想。A.De Morgan在1841年创立了“代数过程必不可少”的法则，但没有在创造任何新的与算术中的数所遵守的不一样的规则。之后的10年，越来越多的数学家对很多不联系的代数中共同的内容综合起来进行起来研究，将研究工作又提高到一个新水平。2.2.2 域的第一个抽象定义和H.Weber的工作域的第一个抽象定

27、义是数学家H.Weber给出的。在研究当时代数和数论的基础上，得出了重要的结论，在证明了Kronecker的定理后，1891年H.Weber详细讨论了复杂的乘法问题，把分析和数论紧密联系在一起。1893年他发表了一篇论文，在前人的基础上，给出了域的抽象定义，首先给出了域的一般定义，又把域定义为群的推广形式。H.Weber的域实质上是满足下列条件的集合:(1) 集合中的元素满足加法和乘法两种运算法则。(2) 集合关于加法构成一个群。这里，两个元的代数运算称为和，群的单位元称为零元，逆运算称为减法.(3) 如果去掉加法群的单位元，那么其他元的关于乘法够成一个群。这里，两个元的逆运算称为乘积（或或）

28、，单位元是（1），逆运算称为除法（除数不为0)。(4)加法和乘法都是可交换的。(5)加法关于乘法满足分配律，即：.(6).(7)大多数人们熟悉的无限域例子是有理数域，事实上，若一个域的元素的个数是素数或素数的方幂，则这个域是有限域。而后来H.Weber根据定义证明了，对于每个，有.还证明了，两个元素的乘积不可能是0，除非至少其中一个元素为0。H.Weber假设对交换群添加第二种运算乘法，让其中的加法和乘法满足分派律，则交换群就变成域，然后接着他提出了域的发展方向，将其感念进一步推广，例如，人们可以研究模为合数的同余式，从而得到零因子，但是，人们对于加法和乘法是否满足交换律的情况开始研究，因此其

29、可性和有用性还需要进一步考察。在H.Weber的重要著作代数教程中，在研究多项式方程可解性的时候用过函数，但是H.Weber只把它当做传统数学的一部分。在经历了500多页的对多项式方程的求解的讨论之后，他把数域定义为在四种运算下封闭的数的集合，而且这个概念可以推广函数域。事实上，在H.Weber的文章和书中，他的代数知识观念十分复杂，到19世纪末，群论意识成熟的抽象的理论，人们开始重点研究群的结构问题，认为可以给出概念的抽象定义，并渐渐接受了两个同构的群实质上是相同且具有同样的数学结构的思想。H.Weber收到了R.Dedekind的影响，说明了用抽象术语阐述数学概念是一个固定趋势，从本质上来

30、说，这种抽象与20世纪数学的抽象不同。H.Weber认为代数是以数系的已知性质为基础的，而数系的性质并非源于更为基本的抽象代数结构。H.Weber收到了R.Dedekind认为，群和域有着不同的作用。在Galois理论以及代数数论中域是主要研究对象，而群只是一种有效工具而已。在H.Weber的工作中，域是代数数论的主要研究对象，群是一种工具，用于研究Galois理论中域的扩张性质。19世纪末，数学界出现了公理化的趋势。公理的作用在许多著作中表现的明显出来，。其中，美国数学家E.H.Moore最早用“域”表现表示现在所谓的域。他与1893年证明：任何一个有限抽象域都有与某一个Galois域同构，

31、后者的元素为，为某一素数。对于每一个素数和每一个正整数，都存在个有限域。知道1902-1912年，少数突出的数学家对群，对一般的域，对具体的实数域、复数域、对逻辑代数以及几何基础的公设体系的独立性等都作了进一步精心的分析。而且出版了关于公设系统的文章，在这些文章的部分结果，代数的公设方法最终称为一种典范，数学家们找出了惊人了少而且简单的公设，为很多广泛的代数理论提供了充分的基础。域的抽象公理体系直到1903年由L.E.Dickson和E.V.Huntington分别独立给出，之后所有这些公设集是已经给出的公设集的自然推广。L.E.Dickson和E.V.Huntington站在了时代发展的前沿

32、，顺应了当时数学发展的趋势，所有这些发展都在潜移默化的影响着有限域论的发展。2.2.3 L.E.Dickson对有限域的贡献 研究有限域的早期著作最重要的是L.E.Dickson在1901年出版的线性群及对Galois域的解释，这部著作是有限域论研究的一个重要的里程碑。他在这本书中的第一章给出了有限域的定义和性质，通过模素数的剩余类，引进了抽象域的概念，同时给出了Fermat小定理：如果是一个素数，是与互素的任意整数，那么能被整除，即.在详细讨论了域满足的各种运算法则之后，他给出了域的形式定义。即：个不同的元素构成的集合形成一个域，如果集合的元素可以按照加、减、乘、除来组合，其中除数不能为零元

33、，这些运算服从初等代数的法则，而且生成的和差积商唯一确定为集合的元素。其中。L.E.Dickson认为Galois域与有限域是有区别的。只是在证明了：每个有限域在表示为Galois域之后，他才把有限域和Galois域看成是一样。第二章证明：对任意素数，每个正整数，都存在一个阶的Galois域.这是有限域的存在唯一性定理；第三章对不可约齐次多项式进行了分类和确定；第四章给出了Galois域的各种性质，第五章介绍了Galois域上本原代换的解析表示。在1903年没货数学会刊上发表了论文中，给出了域的两个新公理体系，对前人的工作有了新的提升与发展。第一个定义是：一个集合元素件的结合法则用 和表示，称

34、为集合的域，如果满足下列九条公设：对于集合的任意两个元素，存在集合中的一个元素，使得 . 1.如果属于集合，那么也属于这个集合。 2.只要属于集合时，就有. 3.只要属于集合映射是，就有. 4.对于集合的任意两个元素，存在集合中的一个元素，使得. 5.如果属于集合，那么也属于这个集合。 6.只要,属于集合时，就有=. 7.只要,，)c,)属于集合时，就()(). 8.对于集合的任意两个元素，存在集合中的一个元素，使得(). 9.只要,()()属于集合时有（)(). 第二个定义有11条公设，其中1,2,3,5,6,7,9条不变，第4条变为：.集合中存在元素，使得对任意，都有，.如果存在满足的元素

35、，那么对这样的及每个元素，集合中存在元素，有.第8条 变为：集合中存在元素，使得对每个元素，都有.如果存在满足的元素，那么对这样的和每一个元素，既满足 的至少一个元素，集合中存在元素，使得=. 从定义，L.E.Dickson认为第二个定义更直接，而且，我们也可以得到这个定义更接近现在的定义。在L.E.Dickson发表论文的同时，E.V.Huntington也在美国数学会的会刊上发表过一篇关于域的定义的论文。在文中，他给出了加法乘法需要满足的各种条件，通过对这种条件的组合来构成有的定义。他的文章中包含的记基本概念是“类”（集合），它有两种集合(运算)法则。然后他给出了有限域的一个例子：一组个整

36、数（为任意素数），它们有，.另外的例子是关于数字0,1,2,3,4组成的集合，它们的和根据下面的乘法表定义： 事实上，对n个对象构成的任何集合，如果元素个数n是素数的幂，那么可以通过适当定义来的得到域。有限域中的最突出的成就是美国数学家Wedderburnyu 1905年给出的称为Wedderburn定理：如果是一个有限域环，那么F是一个域。经过一代代数学家的努力，有限域论有了较完善的体系。L.E.Dickson在前人的基础上进行了系统的概括，把有限域理论标书成了现代形式，他的研究在有限域的发展过程中起着至关重要的作用. E.Steinitz建立了抽象域理论，在后来的1910年出版了著作域的代

37、数理论给出了域的抽象概念，而且对抽象域进行了研究，他给出的域的一般定义：有两个运算（加法和乘法）的一组元素，它们满足结合律，交换律（有分配律把它们联系起来），元素允许任意而明确的逆运算，出了0作除数。他最重要的成就是：对每个基域K，存在扩域L，使得它里面的系数在K中的所有多项式能分解成线性因子。因为这个最小的域没有真正的代数扩张，所以E.Steinitz称之为代数封闭，并证明了它的存在性。从任意K域出发，可以作出各种类型的添加，一个单纯的添加就是添加单个元素。这个扩大的域一定会包含着下列的表达式：，他的其中属于K。如果这些表达式互不相等，则这个扩域就是的有理函数全体构成的域，其中系数属于K，这

38、样的添加就是超越添加，就是一个超越扩张。E.Steinitz得到的一个基本结果是：每个域K都可以从他的素域（所有子域的公共元素也是一个子域，就是素域）出发，经过下列的添加得到：先作无限多的添加得到一个超越扩张，再对这个超越扩张作一系列的代数添加，如果一个域能够从一个域经过一系列单纯的代数添加而得到，就说是是的一个代数扩张。若添加的次数的有限的，就说是是的有限代数扩张。但不是每个域都可以经过代数添加而扩大，复数域就是。19世纪末、20世纪初，代数学正是蓬勃发展的时期，前文所提到的H.W.Veber的教材影响持续时间长，同时期的研究人员B.L.Van der Waerden对其进行丰富补充，最后，

39、在1930年到1931年，B.L.Van der Waerden的近世代数学，取得了很高的成就，取代了之前的刊物，成为代数学的经典教材，因而有限域的理论基本成熟。2.3有限域发展的现状作为仅含有有限多个元素的域，有限域理论是近世代数的一个分支，也是结构数学的一部分。然而囿于数学及其他科学技术在当时的发展水平，有限域自诞生以来很久未被引起充分重视。直至最近几十年，随着离散数学的兴起，有限域在众多领域的广泛应用，才引起了应用数学界的兴趣。有限域理论因此受到了重视。随着技术的发展，它在通信理论，计算机科学，系统工程等许多领域中也有广泛的应用。当前的近世代数课程的基本内容已经成为了这些领域中科技人员的

40、基本工具。(1)当前在有限域运算和多变量公钥密码硬件的优化方面。作为少数能够抵御量子计算机攻击的公钥密码，多变量公钥密码的重要性日益日益显现。多变量公钥密码的设计和安全性分析是密码学界研究的的热点。多变量公钥密码的基础运算由有限域的运算组成，它们的优化设计能够提升多变量硬件的性能。 第3章 有限域的应用 3.1纠错码 在数学通信中，不同形式的原始信息(生音，文字，图像，数据)利用物理手段统一编成离散的脉冲信号发出，脉冲信号只有有限多个状态，假设有个状态，可以表示成，并且可以看成是模同余类环中的元素，从而有加减乘运算。如果是素数，则是有限域，或者更一般的，是素数方幂，通信的每位采用有限域中的元素

41、，我们可以用有限域工具解决通信中的各种问题。定义 表示有限域上的为向量空间。的每个非空子集合都叫做一个元码，叫该码的码长，中的向量叫做码字。用表示中的码字个数，即,则;叫做码的信息位数(为实数，);叫做码的效率(或信息率)。用一个概念来衡量码的纠错能力，由上面直观描述可知，这个概念应当是不同码字之间的相应位个数。定义 设和是中的两个向量，则向量的Ham-ming权(weight)定义为非零分量的个数，表示成即 .而向量和向量之间的Hamming距离是指他们相异位的个数，表示成. 中的距离具有通常距离类似的性质，以下将和分别记为和,对于,(1),并且当且仅当;(2);(3)(三角不等式).定义

42、设是码长为的元码(即为的非空子集合)，.定义最小距离为不同码字之间Ham-ming距离的最小值，表示成,即 下面结果是整个纠错理论的基础。对于实数，以表示不超过的最大整数，叫的整数部分.定理2 如果纠错码最小距离为，则可检查位错，也可以纠正.证明 设发出码字,信道出错，但错位不超过，即错误向量满足，则受到向量，由可知，进而，由于对每个码字，所以也不为，这表明不是码字，从而收方知道出错，即可检查出为错.现在设，这时，从而对每个码字，由三角不等式知.这表明是唯一的与最近的码字，收方将译成是正确纠错，从而可纠位错。对于每个固定的有限域，元纠错码有三个基本参数：(1)码长;(2)码字个数(或用信息位数

43、);(3)最小距离,.可以把纠错码表示成，或者：元码. 现在我们给出纠错码三个参数之间一些相互制约的关系，是纠错码的各种界，达到某个界的码就是性能最好的纠错码。 定理2(Hamming界) 如果存在纠错码，给定公式如下所示： 其为 这里 .证明 对每个整数和向量，我们用表示和的Hamming距离的所有向量组成的集合叫做以为中心，半径为的闭球.不难算出这个球中向量的个数：对每个，若与的Hamming距离为,则和恰有个分量不同.由于是固定的，个分量中选个的方法数为.在这个分量上的元素与不一致，从而每个分量均有中取法，其余分量上与一致，因此=的有。于是球中元素个数为 现在假设存在参数为的元码,令，考

44、虑以中的每个码字为中心的所有半径均为的球,这样的球共有个。对于其中两个不同的球和，由可知这两个球不相交，因若有向量同时在这两个球中，则，由三角不等式，这与矛盾.于是，上述个球两两不相交，这些球所有元素个数之和为，它应不超过整个空间的元素个数为，这就证明了上述定理。设为元码。如果则称为完全码.完全码是一类好的纠错码，几何上，如果是上述参数的元完全码，则个球恰好填满整个空间。定理2 (Singleton界)如果存在元码，则 (即)证明 设是元码，对每个，令是中的所有末位是的码字去掉之后组成的中的一个子集合容易知道，对于码长为的个码字，使得，所以必存在参数的元码.由于的码长和最小距离均为，可知至多有

45、个码字，于是，从而.如果即，则叫做极大距离可分码。而Singleton界和Hamming界是纠错码的参数之间需要满足的必要条件。3.2线性码定义 向量空间的一个上的线性子空间叫做元线性码。即的一个非空子集合叫做线性码，是指若,则对任意，均有.记(向量子空间的维数)。则，所以的维数就是码的信息位数，的码长为，根据定义，码的最小距离为个.引理3.2.1 对于线性码,即为中所有个非零码字的Hamming权的最小值。对于线线性码可以利用线性代数工具，取的一组基，其中，则每个码字可唯一表示成 其中是上秩为的(行列)矩阵，叫做线性码的一个生成阵。可以先把个信息编码成中的向量(共有个)，为了纠错，再把它们编

46、成中的码字,所以纠错编码即是线性的单射另一方面的一个为向量子空间必是某个其次线性方程组的全部解其中 是上(行列)矩阵，并且秩为，叫做线性码的一个校验阵。由定义可知，对每个，(长为的零向量)所以可以用来检查向量是否为中的码字。校验阵还可以用来决定线性码的最小距离。为此，我们把表示成列向量的形式： 引理3.2.2 设是参数为的元线性码，是的一个校验阵。如果当中任意个均线性无关，并且存在个列向量是线性相关的，则的最小距离是. 证明 设是中的Hamming权为的向量，即有个分量不为零，而其余分量为零，则这表明:中每个权为的非零码字对应给出中的个线性相关的列向量。从而的最小距离(即非零码字的最小权)，就

47、等于中线性相关列向量的最小个数，由此即证引理。由于线性码中的基有不同的选取方式，所以的生成阵不是唯一的。如果是上的一个阶可逆方阵，对于，则也是的一组基，从而也是线性码的一个生成阵。如果的前列是线性无关的，则适当选取可逆方阵,总可使有形式：,其中是阶单位方阵，而是上的行列矩阵。这是，就是的一个校验阵。例 考虑以为生成阵的二元线性码,的前4列构成的行列式其值为，于是的秩为,可知是的二元线性码，这个码具有码字 (的四行之和)， (的第1.2.4行之和）， (的第1行之和)， (的第之和）.这四个码字是线性无关的，从而也构成线性码的一组基。于是也有生成阵由此便可写出线性码的一个校验阵二元矩阵的列恰好是

48、上的长为的全部非零列向量，任意两列均线性无关，而第和第列相加为第列，即第这三列线性相关，由引理2可知线性码的最小距离为。即是的二元线性码。 定理2 (线性码的纠错译码算法)设是参数的元线性码，并且有校验阵，其中均是上长为的列向量。如果码字在传送时错位个数，即收到向量，其中则用下列算法可以纠错：(1)计算,这是上长为的列向量，叫做的校验向量；(2)如果(零向量)，则(无错)；(3)如果，则必可表示成当中不超过个列向量的线性组合：，其中，而均是中非零元素。这时，其中，而当时，于是。换句话说，传送时出现了为错误，错位为，而错值分别为.例2 设是上的矩阵为校验阵的7元线性码。中任意4列构成方阵，其中是

49、中的不同元素。从而它的行列式不为零(范德蒙德)。这表明中任意列均线性无关。特别地，的秩为.中任意5列显然线性相关，于是。所以是上参数为的线性码。对于每个当且仅当,所以线性码是线性方程组在中的所有解组成的。分别令和.得到和。于是得到线性码的生成阵 由于，从而可以纠正位错，设发出码字。收方计算校验向量根据定理3.2可知，错误在第2位和第5位，错值分别为1和2.即，于是发出的码字为综上所述，我们可以用生成阵或者校验阵来描述一个线性码。特别是校验阵可决定线性码的最小距离，并且可用来进行纠错译码。3.3汉明码参数为的元码叫做完全码，是指它达到汉明界，即 设,中的非零向量共有，其中任意两个非零向量和是线性

50、相关的，当且仅当存在，使得.我们将这样两个非零向量叫做是射影等价的。这是一个等价关系，每个等价类中均恰有个向量,因为与非零向量等价的向量为，从而共有个等价类。现在从每个等价类中取出一个代表向量，共取出个向量，每个向量表成长为的列向量，排成上的一个的矩阵 定义 设，以为校验阵的元线性码叫做汉明码。 定理2 Hamming码是是参数为的元完全线性码。证明 ，,属于不同的射影等价类。这个等价类取出的代表元构成矩阵中的个列向量是线性无关的。这表明DE 秩为。于是，。进而，中诸列不同的等价类，所以任意两个不同的列向量是线性无关的。特别的，任意两个不同的列之和是非零向量，从而必与中某个列向量等价。于是这三列是线性相关的，这表明。最后，由于可知Hamming码是完全码。例1 当时，即是由全部个码长