证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分(共12页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上证题技巧之三证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：长（或大）折半 短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。3、添线：为折半或加倍而添；为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。此时，添线从两方面考虑：造等量为证等量与被证二量相等而添。参考例4、例5、例6。例1 AD是ABC的中线，ABEF和ACGH是分别以AB和AC为边向形外作的正方形。求证：FH=2AD证

2、明：延长AD至N使AD=DN则ABNC是平行四边形CN=AB=FA AC=AH又FAH+BAC=180°BAC+ACN=180°FAHNCA FH=AN FH=2AD例2、ABC中，B=2C，AD是高，M是BC边上的中点。求证：DM=AB证明：取AB的中点N，连接MN、DN 则 MNAC 1=C2=B 2=21 1=DNM DM=DN又 AN=DN=ND DM=AB 例3 ABC 中，AB=AC，E是AB的中点，D在AB的延长线上，且DB=AC。求证：CD=2CE证明：过B作CD的中线BF则 BFAC A=DBFAB=AC，E是AB的中点BF=AE又DB=AC AECBFD

3、 DF=CE CD=2CE作业：1、在ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，求证：AF=FC2、AB和AC分别切O于B和C，BD是直径。求证BAC=2CBD3、圆内接ABC的AB=AC，过C作切线交AB的延长线于D，DE垂直于AC的延长线于E。求证：BD=2CE例4 从平行四边形的钝角顶点A向BC边作垂线，垂足为E，BD交AE于F且FD=2AB。求证：ABD=2DBC证明：取FD的中点M，连接AM，则AB=FM=MD=AM1=2 3=43=1+2=222=53=254=25 即ABD=2DBC例5 若圆内接四边形的对角线互相垂直，则圆心到四边形一边的距离等于这边的对

4、边的一半。分析：从图上看，OE与AD之间没有任何关系，这时我们就要想法找一个量与他们俩都有关系的量。借助这个量进行等量传递。但这个量也找不到。于是我们就想法造这个量。证明：过B作直径BF，连接CF。则OE=CF 在DHC和FCB中 DHC=FCB BDC=F 1=2 AD=CF AD=2OE例6 E是正方形ABCD的CD边的中点。F是EC的中点。求证：DAE=FAB证明：作FAD的平分线交BC于H，交DC的延长线于G 则1=2=G FA=FG设正方形的边长为a 则AF2=AD2+DF2 AF=a=FG CG=FG-FC=aABHGCHADE3=2DAE=FAB作业：4、ABCD是正方形，P是C

5、D上一点，AP=PC+BC。M是CD的中点。求证：BAP=2MAD5、ABC中，AB=AC。D是AC的中点，DE平分ADB，交AB于E。圆ADE交BD于F。求证：BF=2EFBF=2AE6、求证：三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的2倍。二、证明三倍以外的倍分问题1、方法：当是偶数倍时，采取折半再折半或折半传递。当是奇数倍时采用传递或减一传递。例1 ABC中，E是AB的中点。D是AC上一点，且CD=DA。BD交CE于F。求证：FD=BE证明：作EGAD EG=CD BG=GDGEFDCF FD=BE例2 ABC中，C是钝角，EC垂直于BC交AB于E且BE=2AC。求证：外角ACD=3

6、B证明：作CFAB 则1=B 2=A取BE中点G,连接CG则B=4 A=33=24=2ACD=2+1=3B例3 E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F在AD上，且AF=AD，FE交AC于G。求证：AG=AC证明：延长FE交CB的延长线于H则AFEBHE AF=BH AD=3AF CH=4AF AFGCHG CG=4AG AG=AC例4 AB是O的直径。弦CD交AB于P，且PC=PO。求证：=证明：连接OC、OD 则1=C=D 3=1+C=21 BOD=3+D=31 =作业：7、ABC中，AC垂直BC，ADBC交BD于D，BD交AC于E且ED=2AB。求证：ABE=ABC 8、延长O的半径OA

7、到B，使AB=OA，CD切O于D，且CD不经过AB之间。BCCD于C。求证：ABC=CAD 9、AB弧=120°，PA、PB切O于A、B。O，分别切AB弧、PA、PB于C、D、F。求证：O，的周长=O的周长。三、证线段或角的和差方法1、在长者上截一短者，证明余者等于另一短者。方法2、延长一短者，使其等于二短者之和。证明延长后与长者相等。例1 ABC是圆内接正三角形，P是BC弧上任一点。求证：PA=PB+PC。证明：在AP上截AE=PC，连接BE 1=2 AB=AC PC=AE ABECBP BE=BP 3=4=60°BP=BE=EP PA=PB+PE证法2：在AP上截AE=

8、PB连接CE则ACEBCP根据APC=60°可证PEC是正三角形，从而命题得证。证法3、延长BP交AC的延长线于E，则BPA+APC+CPE=180° ACB+BCP+PCE=180°，可证PCE是正三角形。继而可证BECAPC，从而命题得证。 证法4、延长BP至E，使PE=PC。连接CE。从而可证PCE是正三角形。继而可证BECAPC，从而命题得证。（右图可用于证法3和证法4）例2 ABC中，AB=AC，A=100°,BD是角平分线。求证：BD+AD=BC证明：在BC上截BE=BD。则3=4A=100° AB=AC ABC=C=40°

9、;1=2=20°3=4=80°5=180°-ADB-3=40°=CDE=EC 又 A、B、E、D四点共圆AD=ED BD+AD=BC证法2 延长BD至E，使DE=AD。在BC上截BF=BA，则ABDFBD AD=FD=DE ADB=BDF=60°FDC=60°=EDCCEDCFD DEC=DFC=80°=FCEBC=BE=BD+DE=BD+AD作业10、在ABC中，B=2C，AD是角平分线。求证：AB+BD=AC。11、ABC中，CE是高，AB=AC，D是BC延长线上一点，DFAB于F，DMAC交AC延长线于M。求证：DM=

10、DF-CE。12、E、F分别是正方形ABCD边 BC和CD上的点且EAF=45°。求证：EF=BE+DF方法3、利用三角形的面积。判断：当结论中的三条线段分别是底边相等的三个三角形的高时，考虑利用三角形的面积进行证明。例3 求证：等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高。已知：如图AB=AC PEAB PDAC CFAB求证：CF=PE+PD证明：SAPB=AB·PE SAPC=AC·PD SABC=SAPB+SAPC AB·CF=AB·PE+AB·PDCF=PE+PD 方法4：利用等量传递例4 如图 RtABC中，A=90&

11、#176;AB=AC，MN过A，BDMN于D，CEMN于E。求证：DE=BD+CE证明：1+2=90°2+3=90° 1=3 AB=AC ADBCEA DA=CE BD=AE DE=DA+AE=BD+CE例5 如图G是ABC的重心，直线MN过G。ADMN于D，BEMN于E，CFMN于F。求证：AD=BE+CF 证明：连接AG并延长交BC于H，作HIMN于I，则HI=(BE+CF)ADGHIG AD=2HI AD=BE+CF例6 定理：直角三角形内切圆的直径等于两条直角边的和减斜边的差。已知：如图RtABC中C=90°O分别切BC、CA、AB于D、E、F，设O的直径

12、是d求证：d=AC+BC-AB证明：连接OE、OD则CD+CE=d DC=BC-BD=BC-BF CE=AC-AE=AC-AF DC+CE=BC+AC-(BF+AF)=BC+AC-AB d=AC+BC-AB作业：13、求证：正三角形内任一点到三边的距离之和等于高。14、在ABC中，角平分线BD、CE相交于O。过O作MNBC，分别交AB、AC于M、N。求证：MN=BM+CN。15、MN是平行四边形ABCD形外任一条直线。求证：一对角线上两顶点到MN的距离之和等于另一条对角线上两顶点到MN的距离之和。16、CD 是RtABC斜边上的高。求证：内切于ABC、CAD、CBD的三个圆的半径的和等于CD。

13、四、证线段或角的和差倍分 方法：1、先作出和差，再证明倍分。方法：2、先证明倍分，再计算和差。（此法多用于证线段）方法：3、用计算的方法纯代数法证明和差倍分。（此法多用于证角，便于计算。）注意：在证明角的和差倍分时，涉及到的量比较多，往往用单一字母表示角进行计算。例1 ABC中，ABAC，AD是角平分线，M是BC的中点，EMAD交AB于E，求证：BE=（AB-AC）证明：在AB上截AF=AC 则FCAD EMFC BF=AB-ACBM=MC BE=EFBE=BF=(AB-AC) 例2 梯形ABCD的腰CDBA。E、F是AD、BC的中点。求证：EF=（BC-AD）证明：作EMAB交BC于M，ENCD交BC于N，则 AE=BM，ED= FN MN=BC-ADCDBA NEEMEF=MF=FN EF=（BC-AD）证法二：延长BA、CD相交于O，连接OF交AD于E， 则BF:FC=A E，: E，D BF=FC A E，= E，D E和E，都是AD的中点，E和E，重合。OE=AD OF=BCEF=OF-OE=BC-AD EF=（BC-AD）例3 四边形ABCD中，DAB和ABC的角平分线相交于点O。求证：O=（C+D）证明：设DAB=ABC= C=D= O=180°(+)+=360° +=360°(+) (+)=180&#