【步步高】2017版高考数学一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数12.1合情推理与演绎推理文

1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.1 合情推理与演绎推理 文1合情推理(1)归纳推理定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理2演绎推

2、理(1)演绎推理一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适(×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”

3、，这是三段论推理，但其结论是错误的()(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN*)(×)(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确(×)1观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10_.答案123解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10b10123.2命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是_使用了归纳推理；使用了类比推理；使用了“三段论”，但推

4、理形式错误；使用了“三段论”，但小前提错误答案解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误3(2014·福建)已知集合a，b，c0,1,2，且下列三个关系：a2，b2，c0有且只有一个正确，则100a10bc_.答案201解析因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：若正确，则不正确，得到由于集合a，b，c0,1,2，所以解得ab1，c0，或a1，bc0，或b1，ac0，与互异性矛盾；若正确，则不正确，得到与互异性矛盾；若正确，则不正确，得到则符合题意，所以100a10bc201.4在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，

5、若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_答案18解析两个正三角形是相似的三角形，它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，它们的体积比为18.5(教材改编)在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n (n<19，nN*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则b1b2b3b4bn_.答案b1b2b3b4b17n (n<17，nN*)题型一归纳推理命题点1与数字有关的等式的推理例1(2015·陕西)观察下列等式：1，1，1，据此规律，第n个等式可为_答案1解析等式左边的特征：第1个等式有2项

6、，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为.命题点2与不等式有关的推理例2已知x(0，)，观察下列各式：x2，x3，x4，类比得xn1(nN*)，则a_.答案nn解析第一个式子是n1的情况，此时a111；第二个式子是n2的情况，此时a224；第三个式子是n3的情况，此时a3327，归纳可知ann.命题点3与数列有关的推理例3古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形

7、数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)n2n，六边形数 N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.答案1 000解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)n2n，N(10,24)×100×101 1001001 000.命题点4与图形变化有关的推理例4某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出

8、发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两夹角为120°，依此规律得到n级分形图(1)n级分形图中共有_条线段；(2)n级分形图中所有线段长度之和为_答案(1)3×2n3(2)99×n解析(1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3(3×23)条线段，二级分形图中有9(3×223)条线段，三级分形图中有21(3×233)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an(3×2n3) (nN*)(2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，n级分形图中第n级的所有线段的长度和为b

9、n3×n1 (nN*)，n级分形图中所有线段长度之和为Sn3×03×13×n13×99×n.思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解(2)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解(3)与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可(4)与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性(1)观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是_(2)如图，有一个六边形的

10、点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为_答案(1)183(2)8解析(1)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，“x”处应填的数字是325272102183.(2)由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，第n(n2，nN*)层的点数为6(n1)设一个点阵有n(n2，nN*)层，则共有的点数为166×26(n1)1×(n1)3n23n1，由题意得3n23n1169，即(n

11、7)·(n8)0，所以n8，故共有8层题型二类比推理例5已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nN*)，则amn.类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn>0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则可以得到bmn_.答案解析设数列an的公差为d，数列bn的公比为q.因为ana1(n1)d，bnb1qn1，amn，所以类比得bmn.思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算

12、与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为_答案1解析设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥ABCD四个面上的高，P为三棱锥ABCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：1.题型三演绎推理例6数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn (nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1

13、)Sn.2·，又10，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知4·(n2)，Sn14(n1)·4··Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提某

14、国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为_大前提错误； 小前提错误；推理形式错误； 非以上错误答案解析因为大前提的形式“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误10高考中的合情推理问题典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：b2 014

15、是数列an的第_项；b2k1_.(用k表示)(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足：(1)Tf(x)|xS；(2)对任意x1，x2S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是_AN*，BN；Ax|1x3，Bx|x8或0<x10；Ax|0<x<1，BR；AZ，BQ.解析(1)an12n，b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15，b2 014a5 035.由知b2k1.(2)对于，取f(x)x1，xN*，所以AN*，BN是“保序同构”的，故是；对于，

16、取f(x)所以Ax|1x3，Bx|x8或0<x10是“保序同构”的，故是；对于，取f(x)tan(x)(0<x<1)，所以Ax|0<x<1，BR是“保序同构”的，故是不符合，不是保序同构答案(1)5 035(2)温馨提醒(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题方法与技巧1合情推理的过程概括为2演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行失

17、误与防范1合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明2演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性3合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据A组专项基础训练(时间：40分钟)1下列推理是归纳推理的是_A，B为定点，动点P满足PAPB2a>AB，则P点的轨迹为椭圆；由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式；由圆x2y2r2的面积r2，猜想出椭圆1的面积Sab；科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案解析从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推

18、理，所以是归纳推理2正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理_结论正确； 大前提不正确；小前提不正确； 全不正确答案解析f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提错误3平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为f(n)_.答案解析1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域4给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logax

19、logay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22a·bb2.其中正确结论的个数是_答案1解析(ab)nanbn(n1，a·b0)，故错误sin()sin sin 不恒成立如30°，60°，sin 90°1，sin 30°·sin 60°，故错误由向量的运算公式知正确5若数列an是等差数列，则数列bn(bn)也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为_dn dndn dn答案解析若an是等差数

20、列，则a1a2anna1d，bna1dna1，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则c1·c2··cnc·q12(n1)c·，dnc1·q，即dn为等比数列6观察下列不等式：1<，1<，1<，照此规律，第五个不等式为_答案1<解析观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列故第五个不等式为1<.7若P0(x0，y0)在椭圆1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是1，那么对于

21、双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是_答案1解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2的切线方程分别是1，1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，故有1，1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线1上，故切点弦P1P2所在的直线方程是1.8已知等差数列an中，有，则在等比数列bn中，会有类似的结论：_.答案解析由等比数列的性质可知b1b30b2b29b11b20，.9设f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然

22、后归纳猜想一般性结论，并给出证明解f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3)，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1x21时，均有f(x1)f(x2).证明：设x1x21，10在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由解如图所示，由射影定理得AD2BD·DC，AB2BD·BC，AC2BC·DC，.又BC2AB2AC2，.猜想，四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE平面BCD，则.证明：如图，连结BE并延长交CD于F，连结AF.ABAC

23、，ABAD，ACADD，AC平面ACD，AD平面ACD，AB平面ACD.AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.B组专项能力提升(时间：30分钟)11在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则_.答案解析正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故.12已知正方形的对角线相等；矩形的对角线相等；正方形是矩形根据“三段论”推理出一个结论则这个结论是_(填序号)答案解析根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等13如图(1)若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三