从三个微分中值定理谈起

1、从三个微分中值定理谈起- 对Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理的课堂分析在高等数学中有三个著名的中值定理，即Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。这三个中值定理在讲解时最能体现数学思维的美。一、三个中值定理Rolle中值定理：条件一：函数f（x）在区间a,b上连续，在区间(a,b)上可微；条件二：f(a)=f(b)=0;结论：在区间(a,b)内存在一点x0，满足f(x0)=0.Lagrange中值定理：条件：函数f（x）在区间a,b上连续，在区间(a,b)上可微；结论：在区间(a,b)内存在一点x0，满足f(x0)=f(b)-f(a

2、)/(b-a). Cauchy中值定理： 条件一：函数f（x）在区间a,b上连续，在区间(a,b)上可微； 条件二：函数g（x）在区间a,b上连续，在区间(a,b)上可微； 条件三：g（x）在区间(a,b)上不等于零； 结论：在区间(a,b)内存在一点x0，满足f(x0)/ g(x0)=f(b)-f(a)/ g(b)-g(a).二、三个中值定理的关系这三个定理的关系：层层递进，步步深入，前者是后者的特殊情形，后者是前者的推广。1、 当f(a)=f(b)时，前两个中值定理是一致的。2、 当g(x)=x时，Cauchy中值定理即为Lagrange中值定理。三、三个中值定理的条件比较三个定理的条件：

3、在开区间上可微，在闭区间上连续（三个中值定理都要求满足的条件）。这是最本质的。对Rolle中值定理，可以举出一些例子来说明这两个条件的重要性。（1） 在闭区间上连续，但在开区间上不可微的例子：f(x)=|x|, a=-1,b=1.（2） 在闭区间上不连续，但在开区间上可微的例子（可以在某些习题集中找到）利用两个典型例子来说明这两个条件是必不可少的。 不同的条件导致结论的不同。四、三个中值定理的几何解释 Rolle中值定理：两端位于x轴的连续光滑曲线上至少有一点的切线平行于x轴。Lagrange中值定理：连续光滑的曲线上至少有一点的切线平行于连接两个端点的直线。Cauchy中值定理：是参数方程的

4、Lagrange中值定理。五、三个中值定理的证明Rolle中值定理要利用Format定理。Lagrange中值定理的证明最为精彩，他是典型的构造型证明。关键要引出如何来构造辅助函数（此函数满足Rolle定理的条件）：本质上，辅助函数是将函数f(x)减去连接曲线两个端点的那条直线。Cauchy中值定理的构造证明类似。构造性证明的几何解释比较重要，而且用几何图形来解释学生比较容易接受。六、三个中值定理的其它说明注意：三个中值定理中的中值点是存在但并不要求唯一。三个中值定理都在不同层面上刻划了一个函数跟它的导数之间的关系。或者说，给出了导函数的一个简单估计。三个中值定理的一个应用是：证明某些不等式。听了乐教授的讲座以后，给我的最大启发是：要真正用心去体会每一个细节问题，并细致地开发教学过程。例如，使用典型例子，运用类比法，通过严格细致的逻辑推理证明，多种教学方法综合运用等。总之，