实验十五 矩阵的分解

1、实验十五矩阵的分解【实验目的】1 了解矩阵LU,QR和Cholesky分解的基本概念。2 学习掌握MATLAB软件有关的命令。【实验准备】1 矩阵的LU分解LU分解是将一个方阵表示两个基本三角矩阵的乘积,其中一个三角矩阵为上三角阵,另一个为下三角阵,这里使用的是高斯变量消去法. 2矩阵的分解矩阵为实矩阵,且满足,其中为单位矩阵,则称为正交矩阵.QR分解能把任意长方阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的初等变换形式的乘积,比如把矩阵进行如下分解,其中为初等变换矩阵.3矩阵的Cholesky分解Cholesky分解把矩阵分解为上三角矩阵和其转置的乘积,即,其中为上三角矩阵.如果复数矩阵满足Hermite正

2、定,也有Cholesky分解.3矩阵的MATLAB命令MATLAB中主要用lu,qr和chol分别完成矩阵的LU,QR和Cholesky分解。L,U=lu(A) 矩阵A的LU分解Q,R=qr(A) 矩阵A的QR分解R=chol(A) 矩阵A的Cholesky分解可以用help lu, help qr,help chol查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】 练习1 求矩阵的LU分解相应的MATLAB代码和计算结果为：A=1 2 3;4 5 6;7 8 0; %创建矩阵L,U=lu(A) %进行LU分解L = 0.1429 1.0000 0 0.5714 0.5000 1.0000 1.0

3、000 0 0U = 7.0000 8.0000 0 0 0.8571 3.0000 0 0 4.5000练习求矩阵的QR分解.实际上是一个亏损矩阵,中间列是其他两列的平均,秩和亏损值由QR分解得出.相应的MATLAB代码和计算结果为： A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Q,R=qr(A)Q = -0.0776 -0.8331 -0.2636 -0.4801 -0.3105 -0.4512 0.7093 0.4437 -0.5433 -0.0694 -0.6278 0.5530 -0.7762 0.3124 0.

4、1821 -0.5166R = -12.8841 -14.5916 -16.2992 0 -1.0413 -2.0826 0 0 -0.0000 0 0 0 本练习表明,当矩阵为长方形时,矩阵的末行元素为0,当矩阵的纵横方向上的元素个数相差较大时,中的零元素将被压缩速掉,中相应的列也被压缩掉.这种做法在大型复杂程序中很有用,不大可以节省磁盘空间,还能节省内存.练习3求5阶pascal矩阵的Cholesky分解.MATLAB代码和计算结果为：A=pascal(5) %5阶pascal矩阵A = 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 1 5 15 35 70R=chol(A) %Cholesky分解R = 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 0 0 1 3 6 0 0 0 1 4 0 0 0 0 1可以验证,有R*R=A.由于有了Cholesky分解,当解方程时,如果矩阵对称正定,Matlab会把方程代换为,让后按x=R(Rb)求解,计算速