第二章 矩阵及运算

1、第二章 矩阵及运算本章主要掌握以下内容：1、矩阵的逆矩阵定义，存在条件及求法，灵活运用公式：A-1=A* |A|02、矩阵和其伴随矩阵的关系式：A A*= A*A=|A|E；伴随矩阵的求法.3、矩阵的加法、减法、乘法，转置及方阵的行列式计算4、几个特殊的分块矩阵的逆矩阵：= = = =（结果可以直接利用，如果记不住的话，可以再推导一遍）5、分块矩阵的运算§ 2-1 矩阵 § 2-2 矩阵的运算一、填空1.若，则，.2.设为三阶方阵，若则 16 .3.设，而，则.4.设，为二阶方阵，则.5.设为三阶矩阵，则其伴随矩阵的行列式=.二.计算1.设，求及.解：.2.计算.解：.3.

2、 设为三阶方阵，若已知，求.解：.4.设，求所有与可交换的矩阵，即求使.解：设，其中是任意常数.三、证明1.已知，验证.证：.2.设为n阶方阵，且为对称矩阵，证明：也是对称矩阵.证：因，.所以是对称矩阵.3.设是n阶对称矩阵，证明：是对称矩阵的充分必要条件是.证：充分性因， 从而 又，必要性得证. § 2-3 逆矩阵§ 2-4 矩阵分块法一、填空1.方阵可逆的充分必要条件是.2. 的逆矩阵为.3. 的伴随矩阵为.4.若为同阶矩阵，且可逆，若，则5.设与为可逆矩阵，为分块矩阵，则.二、计算1.求的逆矩阵.解：，=，.2.求的逆矩阵.解：，=，.3.解矩阵方程：. 解： X=.

3、4.设，其中，求.解：.5.分块矩阵，其中分别为阶与阶可逆方阵，为矩阵，为零矩阵，求.解：设.三、证明1.设为同阶矩阵，且为非奇异矩阵，满足，求证：（是正整数）.证明：用数学归纳法当时，成立假设则 得证.2.设阶矩阵的伴随矩阵为，证明（1）若，则；(2) .证明：（1）（法1）不妨设 若, 全为零，显然有 若, 不全为零，则易知=0 =1,2, ,n则利用行列式的性质：（把 的第1列乘以，然后再把第2列乘以，第3列乘以，第列乘以，然后将所有列都加到第1列后，第1列的元素全为零）则.（法2）分2种情况： 当，则， 若，用反证法，假设，则可逆，由 知 ，即与矛盾，.(2) 若，由（1）知：若，则.

4、3.若为正整数)，求证： 证明：.第二章 复习题二、计算1、设A为n阶方阵，满足解：,2、已知实矩阵满足：1），2），计算解：由(1)可知，又3、设A为三阶方阵，为A的伴随矩阵，A的行列式解：4、设，求A解：记 ，再计算。5、设矩阵A的伴随矩阵，求B解：由 又（利用分块阵求行列式的值）, .,代入(*)式中即得.(利用分块矩阵求逆的方法)三、证明1、设方阵A满足，证明A可逆，并求A的逆矩阵证明：由，得，即可逆并且.2、证明：若，但A不是单位矩阵，则A必为奇异矩阵证明：假设为非奇异阵，即可逆.那么,与题设矛盾故必为奇异阵.3、设A、B为n阶方阵，EAB可逆，证明：EBA可逆证明：又可逆又 可逆并

5、且4、设A为n阶非零矩阵，为A的伴随矩阵，为A的转置矩阵，当时，证明证明：为非零矩阵,必存在.5、设A为n阶方阵，试证证明：存在左边第二章 自测题A二、计算1、设,求解：由猜想 再用数学归纳法证明。2、解矩阵方程解：记题设条件为，则3、设Adiag(1,-2,1), ，求B解： 4、设，求解：记 5、n阶矩阵A及S阶矩阵B都可逆，求解： 6、求矩阵的逆矩阵，解：可以利用第5题的结论三、证明1、设A，B为n阶方阵，且，E为n阶单位阵，证明：当且仅当证明： 若 若 即证2、设矩阵A可逆，证明其伴随矩阵也可逆，且证明： 3、设矩阵，B及AB都可逆，证明也可逆，并求其逆矩阵证明： 4、A为n阶矩阵，E

6、为n阶单位阵，满足，证明：A为可逆矩阵，并求证明： 第二章 自测题B一、 设，求所有3阶方阵B，使AB与BA的逆矩阵相同解：由题设，B满足1）可逆，2）ABBA，又因为B可逆，为非零常数，、为任意常数二、 设，试证：当n3时，恒有，并利用这个关系证明：用数学归纳法证明三、 证明：用数学归纳法证明。四、 求所有与可交换的矩阵解：设，满足。比较对应位置上的元素即得结论。五、 设A为反对称矩阵，B为对称矩阵，试证1、是对称矩阵2、ABBA是对称矩阵3、AB是反对称矩阵的充要条件是ABBA证明：，1）2）3）六、 若矩阵A的元素均为整数，求证：中的元素均为整数的充要条件为证明：必要性.中的元素均为整数均为整数充分性.，若，中的元素均为整数.七、 ，ABAB，试求B证明：，.八、设A为二阶方阵，K是大于2的整数，证明：证明：i)当时，显然结论成立.ii)当时，不妨设，或（1） 当时，（2）时，2） 设A、B、C、D都是n阶方阵，且ACCA，试证证明：1）若A可逆2）若A不可逆，存在，使得可逆由1）的结论 (*)(*)式两边的均为的多项式，而由A为n阶方阵，所以使得可逆的的