李正元高等数学强化讲义

1、第一讲 极限、无穷小与连续性一、知识网络图、重点考核点这部分的重点是：掌握求极限的各种方法.掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法.判断函数是否连续及确定间断点的类型(本质上是求极限)复合函数、分段函数及函数记号的运算.§ 1极限的重要性质1 .不等式性质设lim xnA,lim ynB ,且A>B,则存在自然数 N,使得当n>N时有xn>yn.nn设limXnA,lim ynB ,且存在自然数 N,当n>N时有xnyn,则A>B.nn作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设lim XnA,且A>0,则存在自然数 N,使n得当n>N时有Xn&

2、gt;0,设lim xn nA,且存在自然数N,当n> N时有Xn>0,则 A>0.对各种函数极限有类似的性质.例如：设 lim f (x)X XoA, lim g(x)X X0B ,且A> B,则存在S >0,使得当0 < X X0 < S有f(X)>g (x).设 lim f (x)X X0A, lim g(x)X x0B ,且存在8 > 0,使得0< I X- X0 I V 8 时 f(X)2.有界或局部有界性性质>g (x),则 A>B.设lim 4 A,则数列nXn有界，即存在M > 0,使得 I xn |

3、 < M (n = 1, 2, 3,)设lim f(x) A,则函数 x xf (x)在x = X0的某空心邻域中有界，即存在0和M>0,使得0< I X- X0 I V 8 时有 I f(x) | < M,对其他类型的函数极限也有类似的结论.§2求极限的方法更多考研公共课资料,关注微信公众号：kaoyanyun1.极限的四则运算法则及其推广设 lim f (x)A, lim g(x) B,则X X0X X0只要设lim f(x),lim g(x)存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“X X0XX0“ _”，“0 .8”8 8”四种未定式以外的各种

4、情形.即：1。设lim f (x)x x0,lim g(x) B , x x0则 lim f (x) g(x). lim -f-(x)-( g (x) 0 )又xx。x x° g(x)Bwo,则 lim f (x)g(x)x x0lim f(x) ，当x一小时g(x)局部有界，(即 0,M x x00 ,使得 0 |x x0时 g(x) M ),则 lim f (x) g(x)x x0设 lim f (x)x %x0时I g(x) I局部有正下界,(即 8 > 0, b>0 使得 0V | x xo |vs时 I g (x) |>b>0),则 lim f (x

5、)g(x) x x0lim f (x), lim g(x) ,则 lim f (x)g(x),又x x0x x°x x0xo | <f (x) g (x) > 0,则 xim f(x) g(x)x.lim f (x) 0, xx0 时x x0g (x)局部有界，则叫 f(x)g(x)0 (无穷小量与有界变量之积为无穷小.)2 .哥指函数的极限及其推广设 lim f (x) A>0,lim g(x)x x0B则 lim f(x)g(x)x xAB.，“0°” 及 “8 0”lim g(x) ln f (x)是“0 型未定 x x0设limx xf (x) =

6、 0 (0vIx-x°I v8时f(x)>0),lim g(x) Bx x00,则设limx xf (x) = A>0,Aw1, lim g(x) = + oo) 则 x %lim f(x)g(x)x x0(0<A 1)(A 1)3 设 limX xf (x) = +lim g(x) B 0,则 limx x0x x0f (x严)(B<0)(B>0)只要设lim f(x),lim g(x)存在或是无穷大量，上面的结果可以推广到除“ x x0x x0三种未定式以外的各种情形.这是因为仅在这三个情况下【例1】A,又 lim g(x) 0,则 lim f(x)

7、【分析】lim f (x)= lim ( x X0x X0f(x)g(x)g(x)A 0 0.0,lim bn 1, lim Cn，则必有nn【例2】设 an, bn, cn均为非负数列，且lim an n(A) an< bn对任意n成立.(C)极限lim anCn不存在. n(B) bnVCn对任意n成立.(D) lim bnCn 不存在. n用相消法求0或一型极限0.1 tan x.1 sinxx(1 cosx)【解】作恒等变形，分子、分母同乘J1 tanx v1 sin x得111 .2 24x2 x 1 x 1例2】求I lim ,x2 x sin x【解】作恒等变形，分子、分母

8、同除v x2x(x<0)得【例2】利用洛必达法则求极限【例71设0, W0为常数且I【分析】8 8型极限.1因此(，)=(2,).2lim (x2a xa)ax2，则(，xlim x2n 1 与 lim x2n 的情形 nn【例1】设f (x)211ex-4exsinx，求 lim f (x) .| x | x 0分别求左、右极限的情形，分别求(1)n【例2】求I limn利用函数极限求数列极限【例1】nim pn(a>1)-a1 n2【例2】求I lim (n tan -) nn12,1 、n (ntan 1)1 ntan1 1 n【解 1】I lim 1 (n tan 1) n

9、 n二上八,21转化为求lim n (ntan 1)limntan1 n1ximtan x ,1x2xlimx 0tan x x3x【解2】用求指数型极限的一般方法. 转化为求tanx ,1(等价无穷小因子替换),余下同前.x2x§ 3无穷小和它的阶更多考研公共课资料，关注微信公众号：kaoyanyun1 .无穷小、极限、无穷大及其联系(1)无穷小与无穷大的定义(2)极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系其中 lim (x) 0 (f(x) A o(1), xx0).x xo （1）表示无穷小量.在同一个极PM过程中，u是无穷小量（uw0） 1是无穷大量.反之若u是无穷大量，则1是无穷小

10、量.2 .无穷小阶的概念(1)定义同一极限过程中，（x）,0为有限数，称1时，称 （x）与（x）为无穷小，（x）与（x）为同阶无穷小（x）为等价无穷小，记为lim (x) (x)（x）（x）（极限过程）0时,（x）是比（x）高阶的无穷小，记为(x) o( (x)（极限过程）定义设在同一极限过程中（x）均为无穷小，（x）为基本无穷小，若存在正数与常数l使彳导lim Y) l 0 k(x)称（x）是（x）的k阶无穷小，特别有limx x0(x)(x x°)k称 x一x0 时（x）是（x x0）的k阶无穷小.(2)重要的等价无穷小x一0 时 sinx x, tanx x, In (1 +

11、x)ex 1 x;ax 1 xlna, arcsinx x,arctanx x; (1 + x) a1 ax, 1 cosx （3）等价无穷小的重要性质 在同一个极限过程中型极限过程中等价无穷小因子可以替换2 cosx,1【例1】求 I limx 0x3【例2】ln1 设 lim x 0f(x) sin2x3x 15,则limf(x)2x由已知条件及典（3、1)lxm01n(1f (x)0sin 2xf (x)”lim0 .又在x 0 sin 2xx = 0某空心邻域f (x) w0 ln(1f(x)sin 2x)f(x) f(x)sin 2x 2x(x 0),又3x 1 xln 3.于Mf

12、im x 0 xln3 x 0 2x2 in 3f (x)5 lim V 101n 3.x 0 x2【例3】 设x 一 a时(x), (x)分别是x a的n阶与m阶无穷小，又lim h(x) A 0 , x a则x a时(1) (x) h (x)是x a的 阶无穷小.(2) (x)(x)是x a的 阶无穷小.(3) nvm时，(x) ± (x)是x a的 阶无穷小.(4) n> m时 (x)是x - a的阶无穷小.(x)(5) k是正整数时， k是x a的 阶无穷小.以上结论容易按定义证明。例如，已知lim f(x) A 0 ,x a(x a)nlimx ag(x)m(x a)

13、lim f(x)g(x) limg(x)n mnmx a(x a) x a(x a) (x a)A B 0f (x) g (*)是* a的n + m阶无穷小.【例4】设f (x)连续，*一2时£(*)是* a的n阶无穷小，求证:f (t)dt 是 x a的n + 1阶无穷小.【例5】x-0时，x (x J 是x的 阶无穷小；Vx2 疚是x的阶无穷1 x, sin3 x .小；是x的ln(1 x)x 0阶无穷小，sin t dt是x的0阶无穷小.【例6】x 一 0时，下列无穷小中(A) x2(B) 1 cosx【例7】当x - 0时，f(x)比其他三个的阶高，(C) V1 x2 1(D

14、) x tanx4 .，、一一 、，x比较是()的无穷小.sin x 23sin t dt 与 g(x) x(A)等价(C)高阶更多考研公共课资料，关注微信公众号:(B)同阶非等价(D)低阶kaoyanyun (或者搜索中文：好给力)§4连续性及其判断(6) 续性概念(1)连续的定义:函数 f(x)满足 lim f (x) f(x0),则称 f(x)在点 x = xo 处连续；f(x)满足 lim f (x) f(x0)x xox x0(或lim f (x) f (x0),则称f (x)在x = xo处右(或左)连续. x xo若f (x)在(a, b)内每一点连续，则称 f (x)

15、在(a, b)内连续；若f (x)在(a, b)内 连续，且在x = a处右连续，在点x = b处左连续，则称f (x)在a, b上连续.(2)单双侧连续性f (x)在x = xo处连续f (x)在x = xo处既左连续，又右连续.(3)间断点的分类：设f (x)在点x = xo的某一空心邻域内有定义，且xo是f (x)的间断点.若f (x)在点x = xo处的左、右极限f (xoo)与f (xo + o)存在并相等，但不等于函数值 f (xo)或f (x)在xo无定义，则称点xo是可去间断点；若f (x)在点x = xo处的左、右极限f (xo o)与f (xo + o)存在但不等，则称点

16、xo是跳跃间断点：它们统称为第一类间断点.若f (x)在点x = xo处的左、右极限f (xoo)与f (xo + o)至少有一个不存在，则称点xo为第二类间断点.(7) 数连续性与间断点类型的判断：若f(x)为初等函数，则f(x)在其定义域区间D上连续，即当开区间(a,b)D,则f(x)在(a, b)内连续；当闭区间c, d D,则f (x)在c, d上连续.若f (x)是非初等函 数或不清楚它是否为初等函数，则用连续的定义和连续性运算法则(四则运算，反函数运算与复合运算)来判断.当f (x)为分段函数时，在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性.判断f (x)的间断点的类型，就是求极限

17、 lim f (x) . x xo o(8) 界闭区间a, b上连续函数的性质：最大值和最小值定理：设f (x)在闭区间a, b上连续，则存在E和刀a, b,使得f (E) w f (x) w f (刀)，(a<x< b)有界性定理：设f (x)在闭区间a, b上连续，则存在 M>o,使得I f (x) | < M , ( a<x< b)介值定理：设函数 f (x)在闭区间a, b上连续，且f (a) w f (b),则对f (a)与f (b)之 间的任意一个数 c,在(a, b)内至少存在一点七,使得 f ( 9 = c推论1 (零值定理)：设f (x)在

18、闭区间a, b上连续，且f (a) f (b) <o,则在(a, b) 内至少存在一点E,使得f ( 9 =o推论2：设f (x)在闭区间a, b上连续，且 m和M分别是f (x)在a, b上最小值和最大 值，若mvM,则f (x)在a, b上的值域为m, M.-1, 0定义域，g(x)在1, 0有域（XW1, x不2）上连续，有界闭区间上连续函数有界, 界，选（ A ） 【分析二】设h（x）定义在（a, b）上，若Xlimoh（x）或 xlimb 0 h(x),则 h(x)在(a,b) 无界 因 lim f (x)， lim f (x)f (x)在(0, 1), (1, 2), (2,

19、 3)均无界.选(A).例 2】设 f (x)2x1xx < 1， g(x)x >1x,x 0 22(x 1)2<x<5x 35Vx讨论 y = f （ g（ x） ）的连续性，若有间断点并指出类型分析与解法1】先求 f（ g （ x） ）的表达式2x2(x < 1)f(g(x)x2(x (x1)3)(1< x< 2)(2< x< 5)(5< x)在(一8, 1), (1, 2), (2, 5), (5,+ °°） , f （g（x）分别与初等函数相同，故连续.2 或 5 时可添加等号，左、右连接起来，即左连续又右

20、连续 时f(u)2u1uf ( g(x ) )在 x = 2 或 5 连续 x = 1x = 1是f （g （x）的第一类间断点（跳跃间断点）【 分析与解法2】 不必求出 f （ g（ x） ）的表达式g（x）的表达式中，x = 2或5处可添加等号，左、右连接起来g（x）在（8,+OO）处处连续U < 1,u , UW1时连续.u>1u = g （ x） = 1 x = 1因此，xw 1时由连续函数的复合函数是连续的f （g （x）连续.x = 1时x = 1是f （g （x）的第一类间断点.第二讲 一元函数微分学的概念、计算及简单应用更多考研公共课资料，关注微信公众号： kaoy

21、anyun一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是导数与微分的定义、几何意义，讨论函数的可导性及导函数的连续性，特别是分段函数，可导与连续的关系按定义或微分法则求各种类型函数的一、 二阶导数或微分 （包括： 初等函数， 幂指数函数，反函数，隐函数，变限积分函数，参数式，分段函数及带抽象函数记号的复合函数） ，求 n 阶导数表达式.求平面曲线的切线与法线，描述某些物理量的变化率.导数在经济领域的应用如“弹性”，“边际”等(只对数三，数四).§ 1 一元函数微分学中的基本概念及其联系1 .可导与可微的定义及其联系2 .几何意义与力学意义f(Xo)是曲线y = f (x)在点(xo, f

22、(xo)处切线的斜率.df (x) x & f (x0) x是相应于x该切线上纵坐标的增 量.质点作直线运动，t时刻质点的坐标为 x = x(t), x (t0 )是t = to时刻的速度.3 .单侧导数与双侧导数''f (x)在x = xo可导f xo), f (xo)均存在且相等.此时 f (xo)f (xo) f (xo)【例1】 说明下列事实的几何意义(1) f(xo)g(x0),f (xo) g (xo).(2 ) f(x) , g(x)在 x=xo处有连续二阶导数，f (xo)g(x°),f(xo)g(xo),f (xo)g (xo) o.一

23、9;一'_'一'(4)y = f(x)在x = xo处连续且limx xf(x) f(xo)xxo【例2】f (x)g(x) h(x)xox< x>o为某常数.设 g(xo) h(xo),g (xo), h (xo)均存在且g (xo) h(xo).xoxo求证：f (xo)存在且f (xo)(xo)h (xo).(3) f(x)在x = xo处存在f (xo),f (xo),但 f (xo)f (xo).【例3】请回答下列问题：(1)设y = f (x)在x = xo可导，相应于 x有y = f (xo+ x) f (xo), dy f (xo) xx0时

24、它们均是无穷小.试比较下列无穷小：y是 x的 无穷小； ydy是 x的 无穷小；f(Xo) 0时y与dy是 无穷小.(2) du与u是否相等？【例4】设f (x)连续，i3t讨论f (Xo)的存在性与| f (X) | x X0的存在性之间的关系.(1)考察下列两个函数图形，由导数的几何意义来分析f (xo)存在与| f(x)| xx0存在之间的关系.(2) f (xo)丰 0 时，求证：f (xo)存在 | f (x) | x x0 存在.【证明】 因f (xo)丰0,由连续性，>0,使得当| x-xo | <时有f (x) > 0或f (x)V0,于是在xo该邻域内必有I

25、 f (x) I = f(x)或I f (x) I = f(x)之一成立，故在点 x = xo处 两个函数的可导性是等价的.(3) f (xo) = 0 时，求证：f (%) 0| f (x) | x x0 存在.【证明】 设f(xo)= 0.十十 |f(xo x)| |f(x0)|f(x°x)| |f(xo)|1f (x) 1 x xo 存在lim 1mo x oxx ox综合可得，题目中结论(2)和(3)成立.也可以概括为：点x = xo是可导函数f (x)的绝对值函数| f (x) |的不可导点的充分必要条件是它使得f (xo) = 0但f (x0) 0 .【评注】论证中用到显

26、然的事实：limf(x) 0 lim|f(x)| 0 .x ax a【例5】设函数f(x)连续，且f (0) 0 ,则存在>0,使得(A) f (x)在(0,)内单调增加.(B) f (x)在(,0)内单调减少.(C)对任意的 x (0,)有 f(x) >f (0). (D)对任意的 x ( , 0)有 f(x) >f (0).§2 一元函数求导法反函数求导法：设f (x)在区间Ix可导，f (x) 0,值域区间为Iy,则它的反函数 x = (y)在Iy可导且一 一 一,一 _ x . . d2x【例】 设y =y (x)满足y2ex,求它的反函数的二阶导数一xdy

27、1 x d2x e 22 dy2ddxx dx 1 2xedy 4变限积分求导法:设函数f (x)在a,b上连续，则F(x)f(t)dt在a, b上可导，且F(x) f(x),(awxw b)设f (x)在c, d上连续，当x a, b时函数u (x), v (x)可导，且u(x)和v(x)的值域不u(x)超出c, d,则 F(x) v(x)f (t)dt在a, b上可导，且F (x)f (u(x)u (x)f (v(x)u (x), (a<x< b)【例1】 设f (x)在(8,+ oo)连续且x 1(x) o sn f (xn sn)ds ,求(x).【例2】设f (x)在(8

28、, +OO)连续，又(x)1 x 2一-0 (x t) f (t)dt ,求(x),(x).【例3】设(x)x y2 sint20(0斤出必，求(x).t t【例4】设f (x)为连续函数，F(t) 1 dy y f(x)dx,则F (2)等于(A) 2f (2).(B) f .(C) f (2).(D) 0.【分析一】先用分部积分法将 F (t)化为定积分.F (t) (t 1)f(t), F (2)f(2),选(B).【分析二】转化为可以用变限积分求导公式的情形. 1tF (t) t f(x)dx 1 f(x)dx (t 1)f(t) (t 1)f(t)F (2) f (2) .选(B).

29、【分析三】交换积分顺序化为定积分.【分析四】特殊选取法.取f (x) = 1 (满足条件)t tF(t) 1dyyf(x)dxt1dyt t12y1dx 1 (t y)dy - (t y)12(t 1)2F (t) t 1, F (2) 1f (2).选(B).隐函数求导法:【例1】y = y(x)由sin(x2 y2) ex xy2 0所确定，则 色 dx_ . . _, dy d y【例2】y = y (x)由下列方程确te,求 ，2" dx dx2(1) x + arctany = y;，厂,1【解】对x求导 1ryy ,马 2(1 y2)3 y5yy1 y一，1 一，一解出y

30、 4导y1 .再对x求导得yy(2) xef(y) ey ,其中 f (x)存在，f (x) 1 .【解】对x求导得利用方程化简得再将y的方程对x求导得解出y ,并代入y表达式y2f (y) (1 f (y)2x2(1 f (y)3若先取对数得lnx + f (y) =y然后再求导，可简化计算.d2y，一【列3】设y = y (x)由方程y-xey = 1确te,求一2的值.dx x o【解】原方程中令x = 0 y (0) =1.将方程对x求导得 y ey xeyy 0令x 0 y (0) e,将上述方程两边再对 x求导得分段函数求导法：【列1】设f(x) = x2|x|,则使f(x)处处存

31、在的最高阶数n为【例2】设f (x)1 ln(1x 0, 1 xx3)sin-, xx2o Sintdt，(A)不连续 (B)连续，但不可导x> 00,则f(x)在xx<0(C)可导但导函数不连续(D)可导且导函数连续【分析】先按定义讨论f (x)在x = 0的可导性问题.f (0) f (0) 0 f (0) 0.进一步考察f (x)在x = 0的连续性.当x>0时，由此可知，lim f (x)不 f (x)在x = 0不连续.因此，选(C).x 0【例3】求常数a,b使函数f(x)ax b,x> 3处处可导，并求出导数.x<3【分析与求解】对常数b, xw3

32、时 f (x)均可导.现要确定 a, b使f (3)存在.f (x)在x =3必须连续且(3),由这两个条件求出a与b.xlirm0f(x)9,xlirm0f(x)f (x)在x = 3连续,a, b满足(3 + 0)=f (3-0)=f (3)即3a + b =9在此条件下,f(x)x> 3ax b x 3f (x)2x(x 3), f (x) a (x3) f2x6, ff (3) f f 即a = 6代入3a + b = 9因此，仅当a = 6, b =9时f(x)处处可导且 f(x)2x(x>3) (x<3)【评注】求解此类问题常犯以下错误10没说明对 常数a, b,

33、 xw3时f (x)均可导.2先由x = 3处可导求出a值，再由连续性求出 b值.请看以下错误表达:“因 f (3) 2x6, f (3) (ax b)由f (3) f 得a = 6.再由连续性f (3 + 0) = f (3-0)即 9 = 3a + b, b= 9”错误在于当3a + bw9时f (3)不存在，也不可能有f (3) (ax b) .x 3=f (3)f (3 + 0) = f (3-0)不能保证 f (x)在 x = 3 连续.仅当 f (3 + 0) = f (3-0) 时才能保证x = 3连续.必须先由连续性定出3a + b = 9,在此条件下就可得f (3) a高阶导

34、数与n阶导数的求法常见的五个函数的 n阶导数公式:§ 3 一元函数导数(微分)概念的简单应用更多考研公共课资料，关注微信公众号： kaoyanyun【例1】 设f(x) xn,在点1,1处的切线与x轴的交点为 n,0，则 醇f( n)【例2】若周期为4的函数f (x)可导且则曲线y = f (x)在点(5, f (5)处的切线斜率k =.(0, 1)Mo处F【例3】设y = f (x)由方程e2x+y cos (xy) = e- 1所确定，则曲线 y = f (x)在点 处的法线方程为.【例4】已知曲线F的极坐标方程为p = 2sin 8 ,点M0的极坐标为(1, ,则点的切线的直角

35、坐标方程为 .【分析一】(数学一，二)点 Mo在F上，直角坐标为：后一1x0cos 一, yo sin 一储)2吗)266sin 21 cos2x 2sin cosr的参数方程为y 2sin sinF在M0点处的切线的斜率:dy 2 sin 2dx 2 cos 26Tt6花tan 3r在Mo处的切线方程1 一 i 3、y v3(x ),即 y J3x 1 .22【分析二】的方程可化为于是r的隐式方程为x2 + y2 = 2y.由隐函数求导法，得2x 2yy 2y, y(x。，y0)(,)代入得y ()v13 ,于是切线方程为2 22y 1 6(x )BP y V3x 1 . 22第三讲一元函数

36、积分学F (x)是f (x)在该区间上的一个 f(x)dx.F(x) C 其中C是任意常数.max为,若对任何 1 i n更多考研公共课资料，关注微信公众号：kaoyanyun一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是：不定积分、原函数及定积分概念，特别是定积分的主要性质.两个基本公式：牛顿莱布尼兹公式，变限积分及其导数公式.熟记基本积分表，掌握分项积分法、分段积分法、换元积分法和分部积分法计算各类积分.反常积分敛散性概念与计算.定积分的应用.§ 1一元函数积分学的基本概念与基本定理1 .原函数与不定积分的概念及性质:(1)定义.若F (x)的导函数F (x) f(x)在某区间上成立

37、，则称 原函数：f (x)的全体原函数称为f (x)的不定积分，记为(2)原函数与不定积分的关系.若已知F (x)是f (x)的一个原函数,则 f (x)dx (3)求不定积分与求导是互为逆运算的关系，即其中C也是任意常数.(4)不定积分的基本性质：2 .定积分的概念与性质：(1)定义.设 ax0<x1<x2<<xnb,令 xi xixi 1,i xi 1,xi有 limf ( i) xi 存在，则称 f (x)0 i i在a, b上可积，并称此极限值为 f (x)在a, b上的定积分，记为x换为t或u等其他字母时，有f (x)dx .定积分的值与积分变量的名称无关，即

38、把积分变量ab另外，约定f(x)dx 0, f(x)dxaa(2)可积性条件.可积的必要条件：若 f (x)在a, b上可积，则f (x)在a, b上有界.可积函数类(可积的充分但非必要的条件)：1° f (x)在a, b上连续，则f (x)在a, b上可积；2° f (x)在a, b上有界且仅有有限个间断点，则 f (x)在a, b上可积.(3)定积分的几何意义：b设f (x)在a, b上连续，则f(x)dx表示界于x轴、曲线y = f (x)以及直线x = a, x =ba之间的平面图形面积的代数和，其中在x轴上方部分取正号，在 x轴下方部分取负号.b特另L若f (x)

39、在a, b上连续且非负，则 f(x)dx表示x轴，曲线y=f (x)以及直线x = aa, x = b围成的曲边梯形的面积.(4)定积分有以下性质：1°线性性质：若f (x), g (x)在a, b上可积，且A、B为两个常数，则 Af (x) + Bg (x)也在a, b上可积，且Af(x) abbBg(x)dx A f(x)dx B g(x)dx.aa2对积分区间的可加性：若 f (x)在由a、b、c三数构成的最大区间上可积，则3°改变有限个点上的函数值不改变可积性与积分值.4°比较性质：若f (x), g (x)在a, b上可积，且f (x) < g (

40、x)在a, b上成立，则进一步又有：若f (x), g (x)在a, b上连续，且f (x) w g (x), f (x) /g (x)在a,bbb上成立，则 f (x)dx< g(x)dx.aa若f (x)在a, b可积，则I f (x) |在a, b可积且ba f(x)dx| f (x) |dxabf (x)dx f ( )(b a) a50积分中值定理：若f(x)在a,b上连续，则存在E C (a,b),使得3 .变限积分，原函数存在定理，牛顿莱布尼兹公式:f (t )dt 在a, b(1)变限积分的连续性：若函数 f (x)在a, b上可积，则函数 (x)上连续.(2)变限积分的

41、可导性，原函数存在定理：若函数f (x)在a, b上连续，则函数x(x) f(t)dt就是f (x)在a, b上的一个原函数，即 (x) f(x), x a, b. a(3)不定积分与变限积分的关系.由原函数存在定理可得.若 x则不定积分f (x)dx f(t)dt C ,其中X0 a, b为一个定值，C为任意常数.x0(4)牛顿莱布尼兹公式：设 f(x)在a,b上连续，F(x)是f(x)在a,b上的任一原函f (x)在a, b上连续,数，则 bf(x)dxaF(x)b F(b) F(a) .这个公式又称微积分基本公式. a推广形式：设函数f (x)在a, b上连续，F (x)是f (x)在(

42、a, b)内的一个原函数，又- bb 0极限 F (a + 0)和 F (b0)存在，贝Uf (x)dx F(x) F(b 0) F(a 0).aa 0(5)初等函数的原函数4.周期函数与奇偶函数的积分性质：(1)周期函数的积分性质：a TT设f (x)在(巴 + oo)连续，以t为周期，则1 ° f (x)dx f (x)dx (a为任意 a0xt实数) 20 f (t)dt以T为周期0 f (x)dx 0T3° f (x)dx (即f (x)的全体原函数)为 T周期的 0 f(x)dx 0【证明】10 证?t1daTf(x)dx f(a T) f(a) 0 da aa

43、T0TT a证法 2a f (x)dx a f (x)dx 0 f (x)dx T f(x)dx,其中T a0 V T aaf(x)dx t f(x T)dxs x 1 0 f (s)ds 。 f (x)dxa T代入上式得a f (x)dx0Ta3 f(x)dx 0 f (x)dx 0 f (x)dxf(x)dx。(此种证法不必假定 f (x)连续，只须假定f (x)在0, T)可积).xx Txx T题 1 T20 f (t)dt以T为周期0 f(t)dt 0 f (t)dt x f(t)dt0 f(t)dtxx3°只须注意f(x)dx ° f(t)dt C,。f(t)

44、dt是f(x)的一个原函数.例(08,数三，数四)设f (x)是周期为2的连续函数.t 22(I)证明对任意的实数 t,有 f (x)dx f (x)dx ；tot 2t f(s)dsdt是周期为2的周期函数。【分析与证明】(I)(它是结论1。的特例，a = 2,见证明1。)(H)由题(I )的结论，G(x)= o22f (t)dt x o f(s)ds由于对 x,G (x + 2) G (x)x 2o 2f(t)dt(x2x2)o f(s)ds 02f(t)dt20 f (s)dsx 2x 2f(t)dt2f(t)dt = 02f (t)dt 2f (t )dt 0G (x)是周期为2的周期

45、函数.(2)奇偶函数的积分性质：设 f (x)在aa连续，且为奇函数或偶函数aa f (x)dx(f(x)为奇函数)2 ° f (x)dx(f(x)为偶函数)F(x)0 f(x)dt,则F(x)为偶函数为奇函数(若f (x)为奇函数)(若f(x)为偶函数)f (x) f (x)为奇函数，则在为偶函数，则在a上f (x)的全体原函数为偶函数.a上f (x)只有惟一的一个原函数为奇函数设f (x)为奇函数.证法1.考察(x) F(x)a, a(x) 常数(0) 0x证法 2. F( x) 0 f (t )dt 为偶函数.(此种证法只须假设 fF(x),则(x)F (x) =F (x)x

46、s0 f( t)dtsF (x) F ( x) f(x) f( x) 0(x (x -a, a),即F (x)为偶函数.t x0 f ds F(x), x -a, a),即 F (x)(x)在a, a可积)x30 只须注意 f (x)dx 0 f (t)dtC,并利用2的结论.【例 1】xf (x)dx arcsin x C,贝1J dxf(x)【例2】fx (e )【分析】【例3】设【分析】f (x)的导数是sinx,则f (x)的原函数是【例4】设f (x)1连续，f (x) = x + 2 0f (x)dx ,则 f (x)【分析】【例5】下列命题中有一个正确的是 . b(A)设 f (

47、x)在a, b可积，f (x) > 0,工 0,则 f (x)dx >0. ab(B)设 f (x)在a, b可积，% 向a, b,则 f(x)dx& f(x)dx. a(C)设f (x)|在a, b可积,则f (x)在a, b可积.(D)设f(x)在a,b可积，g(x)在a,b不可积，则f(x) + g(x)在a, b不可积.【分析1】f (x)在a, b可积，g(x)在a, b不可积f(x) + g(x)在a, b不可积.反证法.若 不然，则 f(x) + g(x)在a, b可积，由线性性质g (x) = f (x) + g (x) f (x)在a, b可积，得矛盾，选

48、(D).【分析2】举例说明(A), (B), (C)不正确. b由(A)的条件只能得f (x)dx >0.如，xo (a, b)abf (x) > 0,声 0 (x a, b),但 f (x)dx = 0 . (A)不正确. a关于(B),请看右图，由定积分的几何意义知 bf(x)dxv0, f(x)dx>0, (B)不正确. a b 这里a,国a, b,但 f (x)dx > f(x)dx. a关于(C),是f (x)与f (x)|的可积性的关系.f (x)在a, b可积 W f (x)在a, b可积1, x为有理数如f (x)4士，f(x) = 1在但，b可积，但f

49、 (x)在a, b不可积，(C)不1, x为无理数正确，因此选(D).【例6】判断积分值的大小： 【分析】【例7】把积分值b f (b) f(a)bbf(a) (a)(x a)dx f(x)dx f(a)dx 按大小排序，其中 ab aaaf (x)在a, b上满足：f (x) >0, f (x)>0, f (x) <0. 【分析】x 2 sint【例 8】设 F (x) e sintdt 则 F (x) x(A)为正数.(B)为负数.(C)为0.(D)不为常数.12-(x 1),右00x<1x【例9】设g (x) = f(u)du,其中f(x)则g(x)在区间(0,0

50、1-(x 1),若 10x&22)内(A)无界. (B)递减. (C)不连续.(D)连续.【分析】这是讨论变限积分的性质.已知结论可以用：若 f (x)在a, b可积，则g(x) xx=f (u)du在a,b连续，这里f(x)在0,2可积(有界，只有一个间断点)，则g(x) f (u)dua0在0, 2连续.选(D).5.利用定积分求某些 n项和式的极限1 22 2/ n、2【例 10】limlnn” 一)(1-)(1-) nnnn§2基本积分表与积分计算法则§3积分计算技巧2兀【例 1】求 I sin x cosxdx .0b 【例 2】求 I xj(x a)(b x)dx (b>a).a2兀 n【例3】求I sin xdx , n为自然数.0【例4】对实数，求Itan0 九1 tan ( t)2dt2 dx0 1 cot xt tan x dx0 1 tan x兀【例 5】求 I2tlsin x arctanexdx.2兀【解】Ixt