导数与恒成立问题(二)

1、导数与恒成立问题（二）学习目标1 .不等式存在和恒成立问题的转化方法；2 .利用导数和分类讨论研究函数的最值问题；3 .转化和化归思想的运用.已知函数 /（x） = （a +1） In x + d +1.（I）讨论函数f（x）的单调性：（II）设一2,证明：对任意的,占£（°，+6），"（内）一/（）巨412一小I.恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用， 等价转化，切不可混为一体。不等式/”对xS时恒成立=/侬。）册，A-e/o即/的上界小于或等于 M ;不等式对时有解=加）刊，或x）的下界小于或等于例 不等式

2、/（力河对xd时恒成立=/皿。）“。即）的下界大于或等于 不等式x）M对xe/时有解=xe/.。或/的上界大于或等于""V x, XzGD, |£(药)一|WC "型对于形如 V 名,超£，； f(x) I W。的问题，因为 f(xj-f(必)f(x) MXf(x)用，所以原命题等价为f(x)皿f(x) ,正< C1、已知函数f(x)=a.d+6f3x(a, 6£R)在点(1, f(l)处的切线方程为y +2 = 0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于区间-2, 2上任意两个自变量的值如照都有(照)|Wc, 求实数。的最

3、小值；(3)若过点以2,加(0。2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数卬的取值范 围.2、已知函数 f(x) = a'+ 一xlna(a>0, aW1).(1)当a>l时，求证：函数f(x)在(0, +8)上单调递增；(2)若函数y= f(x) - t 一1有三个零点，求t的值；(3)若存在x，品£ 1, 1,使得| £(8) /(超)| Ne 1,试求a的取值范围.9V xlf XzGD, | £(药)f(药)|X2I形如V &, xz £ D, f(xj - f(在)I W a & -在I这样的问题，首先需要根

4、据函 数f(x)的单调性去掉|八岗)一£(必)|Wa必一自中的绝对值符号，再构造函数 g(x) =f(x) ax,从而将问题转化为新函数g(x)的单调性.例 1.已,知函数 f(x) =*1 alnx(aWR) .(1)曲线y = /'(x)在x = l处切线为3x-y-3 = O,求a的值；(2)求证：f(x)20恒成立的充要条件是a=l；(3)若 a0,且对任意药，上二£(0, 1,都才j f(8) - fa) 1 <4 求实Ai A： 数a的取值范围.二次函数问题1、设二次函数/(X)= UX2 +以+ C(4, b,C £ R)满足下列条件：

5、当A- e R时，/(x)的最小值为0,且f(x-) = /(t 1)恒成立；当 x e (0,5)时，2x < f(x) <4Lv-ll+2 恒成立.(I)求/的值；(II)求/的解析式；(HI)求最大的实数使得存在实数3只要当xel,叫时，就有/(x+f)42x 成立1、设二次函数“*)=在$+云+°心，b,。为常数)的导函数为£ (x).对任意x£R,不等式f(x)N£ (x)恒成立，则二二的最大值为. a -r c2、已知函数 f(x) = (a+1) In x+ax+l.(1)讨论y=f(x)的单调性；(2)若 aW2,证明：对V

6、Xi,及£ (0,+8),£(及)24 以一x4.3、设 aR,函数 f(x) =ax'一In x, g(x)=e'ax(1)当a=7时，求曲线y=f(x)在点(1, f(D)处的切线方程；若f(x) g(x)>0对x£(0, +8)恒成立，求实数a的取值范围.4、已知函数 f(x)=a*+6'(a>0, 6>0, aWl, 6W1).设 a=2, 6=；. 乙求方程f(x)=2的根；若对任意xGR，不等式f(2x)20f(x)6恒成立，求实数卬的最大值；若OVaVl, 6>b函数g(x)=f(x)2有且只有1个零点

7、，求的值.a y5、已知函数f(x)=千在x=0处的切线方程为尸x e求实数a的值;若对任意的(0,2),都有相,二？成立,求实数4的取值范围;的正负,K I 乙 A A(3)若函数g(x)=lnf(x)-6的两个零点为%,如 试判断泉并说明理由.1、不等式+女 2<0有解，求4的取值范围2、对于不等式k 2| +卜+ “<”，存在实数X,使此不等式成立的实数4的集合是 M：对于任意“白到使此不等式恒成立的实数。的集合为n,求集合忆N .对一切实数x,不等式卜一3f+2/恒成立，求实数&的范囿 若不等式卜一3Ht+ 2"有解，求实数'的范围.若方程户3Hx+2"有解，求实数3的范围.4、若x,y满足方程+（,'T=L不等式x+y+cN°恒成立，求实数c的 范围。若x,y满足方程V+（）T）2=1, »> +。= 0,求实数c的范围.5、设函数/=/+ "小+ 2/ + b（x e R）,其中e R .若对于任意的 &#