江苏省镇江市2020届高三上学期期末考试数学试卷Word版含答案

1、镇江市2020届高三上学期期末考试数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：1锥体体积公式：V=-Sh,其中S为底面积，h为局.3圆锥侧面积公式：S= 其中r为底面半径，l为母线长.一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.1 .已知集合 A = 0, 1, 2,集合 B= 1, 0, 2, 3,则 AAB =.2 .函数f(x)=：lg (3 x)的定义域为 .3 .从1, 2, 3, 4, 5这5个数中，随机抽取 2个不同的数，则这 2个数的和为6的概 率是.7-1IWhite TVioii+2End WhilePrint i4 .根据如图所示的伪代码，最后输出的i的

2、值为.5 .已知一个圆锥的底面积为兀，侧面积为2兀，则该圆锥的体积为 .6 .抛物线y2=8x的焦点到双曲线 4=1渐近线的距离为 .1697 .设Sn是等比数列an的前n项的和，若a6= 1,则16 =-332s318 .已知函数f(x) =2-2x,则满足f(x2-5x) + f(6)0的实数x的取值范围是 .9 .若 2cos 2 a= sin |4 “j, 必 我 兀则 sin 2 “=.10 .已知 ABC是边长为2的等边三角形，D, E分别是边AB , BC的中点，连结 DE 并延长到点F,使得DE=3EF,则AF bC的值为.11 .已知等差数列an的公差为d(dw0),前n项和

3、为Sn,且数列Sn+n也为公差为d 的等差数列，则 d =.1 412 .已知x0, y0, x + y = x+y,则x+y的最小值为 .13 .已知圆O: x2+y2=1,圆”：仅一3)2+8 2)2=2.若圆M上存在点P,过点P作圆 O的两条切线，切点为 A, B,使得PAXPB,则实数a的取值范围为 .14 .设函数 f(x) =ax3 + bx2+cx(a,b,cCR,aw。).若不等式 xfx)af(x) w 2 对一切 xC R 恒成立，则 吐c的取值范围为 .二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.解答时应写出文字说明 ，证明过程或演算 步骤.15 .(本小题满分14分)在

4、4ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,且 80s B+bcos C = 3acos B.(1)求cos B的值；(2)若|cA CB|=2, ABC 的面积为 2m,求边 b.16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥 VABCD中，底面 别与VB , VC交于点M , N.(1)求证：BCL平面VCD;(2)求证：AD / MN.ABCD是矩形,VD，平面ABCD ,过AD的平面分17.(本小题满分14分)某房地产商建有三栋楼宇A ,楼宇围成的区域 ABC外建第四栋楼宇 图所示，假设楼宇大小高度忽略不计.BD,C,三楼宇间的距离都为 规划要求楼宇D对楼宇2千米，拟准

5、备在此三B, C的视角为120,如(1)求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值;(2)当楼宇D与楼宇B, C间距离相等时，拟在楼宇 A, B间建休息亭E,在休息亭E 和楼宇A, D间分别铺设鹅卵石路 EA和防腐木路ED,如图.已知铺设鹅卵石路、防腐木 路的单价分别为a, 2a(单位：元/千米，a为常数).记/ BDE =为求铺设此鹅卵石路和防腐 木路的总费用的最小值.18.(本小题满分16分)22已知椭圆C： /+b2= 1(ab0)的长轴长为4,两准线间距离为 4，2.设A为椭圆C 的左顶点，直线l过点D(1 , 0),且与椭圆C相交于E, F两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若 A

6、EF的面积为恒,求直线l的方程；(3)已知直线 AE, AF分别交直线x=3于点M, N,线段MN的中点为 Q,设直线l 和QD的斜率分别为k(kw。)，k求证：k 的定值.19 .(本小题满分16分)设数列an是各项均为正数的等比数列，a=2, a2a4=64,数列bn满足：对任意的正整数 n,都有 a1bl+a1b2+ anbn = (n-1) 2n+1+ 2.(1)分别求数列an与bn的通项公式；若不等式41-2(1-左)-(1-,逐号1对一切正整数n都成立，求实 数入的取值范围；(3)已知kCN*,对于数列,若在bk与bk+1之间才f入ak个2,得到一个新数列 Cn.设数列Cn的前m项

7、的和为Tm,试问：是否存在正整数 m.使得Tm = 2 019?如果存在， 求出m的值；如果不存在，请说明理由.20 .(本小题满分16分)已知函数 f(x) = aln x bx(a, bC R).(1)若a=1, b=1,求函数y=f(x)的图象在x= 1处的切线方程；(2)若a=1,求函数y=f(x)的单调区间；(3)若b= 1,已知函数y= f(x)在其定义域内有两个不同的零点xi , x2,且xix2.不等式a0)恒成立，求实数 m的取值范围.数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21 .(本小题满分10分)求函数y=3cos,x 31的图象在x=l2处的切线方程.22 .

8、(本小题满分10分)已知定点A(-2, 0),点B是圆x2+y28x+12 = 0上一动点，求 AB中点M的轨 迹方程.23 .(本小题满分10分)在直三棱柱 ABCAiBiCi 中，已知 ABAC, AB=2, AC = 4, AA 1= 3, D 是 BC 的中点.(1)求直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值；(2)求二面角B1DC1A1的余弦值.24 .(本小题满分10分)2_ 2已知x, y为整数，且xy0 ,钱(0,小，n为正整数，cos0= “2 J2, sin 0= 2xy/,2x yx y记 An= (x2+y2)ncos n , Bn= (x2+y2)nsin n 0 .

9、(1)试用x, y分别表示A1, B1；(2)用数学归纳法证明：对一切正整数 n, An均为整数.2019届高三（镇江）数学参考答案1. 0, 2 2. x|xW2 3. 54. 8 5.冬6. 67. 18. （2,3） 9. -710. 111.3528312 12. 3 13. -2, 2 14.15. 由正弦定理就=志=/,（1分）且 ccos B+bcos C= 3acos B,得 sin Ccos B+ sin Bcos C=3sin Acos B, （3 分）则 3sin Acos B= sin（B + C）= sin （兀一A） = sin A, （5 分）又 A C （0,立

10、则 sin A0, （6 分）贝U cos B = 1.（7 分）3（2）因为 BC（0,兀），则 sin B0, sin B =巧1 cos2B= 1 、产弩.（9 分）因为 |CA CB|=|bA|= c= 2, （10 分）又 S = 1acsin B = 1ax 2X22= 2/2, 223解得a= 3.（12分）由余弦定理得，b2 = a2+c2 2accos B = 9+42X 3x 2 X1= 9,则 b= 3.（14 分） 3故边b的值为3.16. （1）在四棱锥VABCD中，因为VD，平面 ABCD , BC?平面 ABCD ,所以VD BC.（3分）因为底面ABCD是矩形，

11、所以BC，CD.（4分）又 CD?平面 VCD , VD?平面 VCD , CDAVD = D,则BCL平面VCD.（7分）（2）因为底面ABCD是矩形，所以 AD / BC, （8分）又AD ?平面 VBC , BC?平面VBC ,则AD /平面VBC , （11分）又平面 ADNM n平面 VBC = MN, AD ?平面 ADNM ,则 AD / MN.（14 分）17. （1）因为三楼宇间的距离都为2千米，所以 AB =AC = BC=2, （1 分）因为楼宇D对楼宇B, C的视角为120,所以/ BDC = 120, （2 分）在4BDC 中，因为 BC2= BD2+DC22BD D

12、C cos/BDC , （3 分）所以 22= BD2+CD22BD- CD- cos 120= BD2+CD2+BD CD2BD- CD + BD CD = 3BDCD,则 BD CD断数f（。为增函数所以当上机寸，f（瞰最小值,此时 ymin = 4a（元）.（12 分）答：（1）四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值为4f平方千米;3（2）铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元.（14分）218. （1）由长轴长2a=4,准线间距离2*：=442,解得 a=2, c= 42, （2 分）则 b2= a2 c2= 2, 22即椭圆方程为$+，=1.（4分）（2）若直线l的斜

13、率不存在，则 ef = V6, AEF的面积S= 2AD -EF=326不合题意；（5分）若直线l的斜率存在，设直线l: y=k（x-1）,代入得，（1 + 2k2）x24k2x+2k24= 0,因为点D（1 , 0）在椭圆内，所以 A 0恒成立.设点 E(xi, yi), F(x2, y2),则J邦，(6分)EF=4(xi X2) 2+ (y1 一y2)2 = W + k2|xi-x2|= /l + k2 22+ 2.(7 分)I十2K点A到直线l的距离d为谱，(8分)V1 + Kmtt A all 的用工口 c 113|K| J2 2V2j3K2+ 2 3V2J3K4+2K29则 aef

14、的面积 s=5dEF=51g/n?3k2=710,(922 # + K 1 + 2K1 + 2K 1f分)解得K= +.综上，直线l的方程为x y1 = 0或x+y1=0.(10分)、一，,，V1(3)设直线 AE: y=x-2(x+2),令x=3,得点Mg,八） 同理可得点n, x5y22 ；,所以点Q的坐标为3,5y12 (xi+2)+5y2所以直线QD的斜率为K=4y11+ 22 ( x2 + 卜上x2+ 2 J2r，(12 分)(13 分) y1 . y2K(x1一1) ,K(x2 -1)工 + 2 十 x2+2xi+2 十 x2+22x1x2+Xi+x2 41 八x x1x2+2 (

15、Xi+X2)+中(14 分)由(2)中得，Xi + X2=x1x2 = !k-4，代入上式得,1+2K1 + 2Ky1+k 产2-14K J4(1+2中=xi + 2 X2+2- 2K 4 + 8K +4+8K(15 分)-12K2i218K3K.则K=-56K一一5 .所以K 匕段为定值.(16分)619.(1)设等比数列an的公比为q(q0),因为 a=2, a234= a1q aq3= 64,解得 q=2,则 an=2n.(1 分)当 n = 1 时，ab = 2,则 b1= 1, (2 分)当 n2 时，a1b1 + a2b2+ anbn=(n 1) 2n 1 + 2, a1b+a2b

16、2+ an 1bn 1= (n-2) 2n+ 2, 由一得，anbn= n 2n,则 bn= n.综上，bn=n.(4分)不等式一嬴(1-裴卜(1 一募)言昌对一切正整数n都成立，即也於一上1 )一四一九!1-2 - (1-2n)/2 * * * * * * *n+1，2n+ 1 x/2n + 3|4n2+ 8n + 3=、n=由/3f(2)f(3) * (n) ，所以 1f(n) max= f=，则0入与f, 3综上入田3.(8分)3 在数列cn中，从b1至bk(含bk项)的所有项和是： 2k- 1k(k+1) k+1八 )0帚，因为(1-111-4. )-一如当入W 0时，不等式显然成立；

17、(5分)当入0寸，则不等式等价于 ”2)(1-4)11-2n)V2n0,则由f (x)0,得x=b,当xC 1 ;时，f （x）0则函数f（x）的单调增区间为o，b j； (7 分)当 x e i1三x 6综上，当+ OO,f （0,则函数f（x）单调减区间为 2, +8 1（8分） bbw。时，函数f（x）单调递增，增区间为（0, +8）；当b0时，函数f（x）的单调增区间为0b ）单调减区间为1- -koob，十(3)因为x1, x2分别是方程 aIn xx=0的两个根，即 aIn x1 = x1, aIn x2=x2.两式相减 a(In x2 In x1)=x2x1,rmx2 x1则a=

18、, (9分)x2In 一x1x2 x1则不等式 a0),可变为(1 m)x+ mx2,x2In-x11两边同时除以x1得，31 m+也，（10分）x2x1In-x1+ OO ）上恒成立.）上恒成立，（11分）令 t=则 t10, In t0 ,t 一 1所以 In t1m+ mt0 在 任(1, +令 k(t) = In t -t11 m + mt(t1) m2t (m1) 2,.、2t (1 m + mt)m2 (t 1) t 当(m1)k述(1 贝 U k(x)在(1 又 k(1) = 0,一v 1,即 m1时,+ 0 ）上恒成立，+ 8）上单调递增，则k（t）0在（1, +8 ）上恒成立

19、;（13分）. (1 m) 当-1.U.1,即 0m2时,(m1) ,t (1 - m + mt)2m则k(x)在 则k（x）2.（16分）21 .因为 y= 3cos?x 3 j 所以 y= 6sin 所以函数图象在x= 52处的切线斜率k=6sin吃3；= 6.（6分），y=3cosf3产，（7分）所以所求切线方程为y-0=-6 55 6r-12即 y= 6x+ 5(10 分)22 .设点 M(x , y),点 B(x, y).因为M为AB的中点，所以 x=x02二，y=y，(4 分)所以 x0=2x+2, y = 2y.(6 分)将点 B(x, y)代入圆 x2+y2 8x+12=0 得

20、(2x 2)2+4y2=4,化简得(x1)2+y2 = 1.即点M的轨迹方程为(x1)2+y2= 1.(10分)23 .(1)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，有 AB AC, AAJAB, AA J AC ,故可以AB , AC, AA1为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.(1分)因为 AB =2, AC = 4, AA 1=3,所以 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(0, 4, 0), A1(0, 0, 3), B1(2, 0, 3), 5(0, 4, 3).因为D是BC的中点，所以 D(1, 2, 0).所以 dC=(1, 2, 3).设n 1=(xn y1，z

21、1)为平面A1B1D的法向量,A1B1 n 1= 0 所以B1D n1 = 0,因为 A1B1=(2, 0, 0), B1D = ( 1, 2, 3),2x1 = 0, 即.x + 2y 一 3z1 = 0,n 1=(0, 3, 2). (3 分)令y1=3,则x=0, z = 2,所以平面 A1B1D的一个法向量为设直线DC1与平面A1B1D所成的角为 以则 sin 0= |cos，DC1, n1.磨 |=12= 6182币3X匹91所以直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值为 吟82.（5分）(2)由知DCi=(1, 2, 3), BiCi = (-2, 4, 0),设n2=(X2, y2, Z2)为平面 BiDCi的法向量,DC i n2 = 0, 则BCi n2= 0,-X2+2y2+3Z2=0, 即-2x2+4y2=0,令X2=2,则y2=i, Z2=0,所以平面 BiDCi的一个法向量为 同理可以求得平面 AiDCi的一个法向量n3=(3, 0, i),n2=(2, i, 0). (7 分)所以cos产n2,平，(9分)5由图可知二面角BiDCiAi的余弦值为352.(i0分)= x2_y2,(i分)/ 2 1 22. 2x2 y224. (i) A i = (x + y )cos 0= (x +