数值分析数值积分与数值微分习题答案

1、精品文档1欢迎下载第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：hhf(x)dx Aif( h) AJ(O) Af(h)；2h(2)2hf(x)dx Aif( h) Aof(O) Af(h);1If(x)dx f ( 1) 2f(Xi) 3f(X2)/3;h2。f(x)dx hf(O) f(h)/2 ah f (0) f (h);解：求解求积公式的代数精度时， 应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1 次多项式就不准确成立，进行验证性求解。h(1)若(1)hf (x)dx A

2、1f ( h) A)f(O) Af(h)令f (x)1，则2 h A1AoA令f(x) x，则0 A1h Ah令f (x) x2，则2h3h2A1h2A3从而解得A4hA3A1h13令f (x) x3，则h h3hf(x)dxhX3dx0精品文档2欢迎下载A1f ( h) AJ(0) A1f(h) 0精品文档3欢迎下载h故f(x)dx A1f ( h) A0f(O) A,f(h)成立。h令f (x) x4，则hhf(x)dxhJ25x dx hh5A1f ( h)25AJ(0) AJ(h)h3故此时，hhf(x)dxAf h) A0f (0) A1f(h)h故hf (x)dx A1f ( h)

3、 A0f (0) A,f (h)具有 3 次代数精度。2h(2)若2hf(x)dx Aif( h) Aof (0) AJ(h)令f (x)1，则4 h AiAoA令f(x) x，则0 A1h Ah令f (x) x2，则163 2 2訂hAihA从而解得4hA8h3A18h13令f (x) x3，则A1f ( h) Af (0) A1f(h) 02h2hf(x)dx2hx3dx2hAo精品文档4欢迎下载2h故f(x)dx A1f ( h) A)f(O) A,f(h)成立。2h令f (x) x4，则Aif ( h) Aof (0) Af(h)16h53故此时，因此，2h(x)dx Aif( h)

4、AJ(0) Aif(h)具有 3 次代数精度。令f (x)1，则令f(x) x，则01 2 x,3x2令f (x) x2，则2 22 1 2x13x2从而解得x10.2899x10.6899或x20.5266x20.1266令f (x) x3，则f ( 1) 2f (x1) 3f(x2)/ 301故1f (x)dx f( 1) 2f(x1) 3f (x2)/ 3不成立。2h2hf(x)dx2hx4dx2h2h2hf (x)dxAif ( h) Aof (0) Aif(h)i(3)若1f (x)dxf( 1) 2f(xi) 3f(X2)/3i1f(x)dx 2f( 1)2f (x1) 3f (x

5、2)/ 311f(x)dx1x3dx1精品文档5欢迎下载因此，原求积公式具有2 次代数精度。h2(4)若0f (x)dx h f (0)f(h)/ 2 ah2f (0)f (h)精品文档6欢迎下载h0f(x)dxh,h f (0) f (h)/ 2ah2 f (0)令f(x) x,则h0f(x)dxhxdx0!h22h f (0) f (h)/ 2ah2 f (0)2令f (x) x，则h0f(x)dxh2 .0 xdxlh33h f (0) f (h)/ 2ah2 f (0)故有1.31. 3hh2ah2321a12令f (x) x3，则h0f(x)dxh3.x dx01h44h f (0)

6、 f (h)/ 212h2 f (0)12令f (x) x4，则hh4150f(x)dxx4dx0-h55h f (0) f (h)/ 212h2 f (0)12令f（X）1，则f (h) h12f(h)2h132f (h)-h32ah2故此时，hf (h)1h41h41h4244f (h)lh5lh5-h5236f (x)dxh f (0)12f(h)/2初山0)f(h),精品文档7欢迎下载精品文档8欢迎下载h12因此，0f(x)dx hf(O) f(h)/2初f(0)f(h)具有 3 次代数精度。2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：1x(1)-dx,n 8;04 x11(1 ex)

7、2dx, n0 x.xdx, n 4;1仁4 sin2d ,n 6;解：1x(1)n 8,a 0,b 1,h,f(x)284 x复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为(3)n 4, a 1,b 9,h 2, f (x).x,复化梯形公式为h3T4f(a) 2 f (xk) f(b) 17.227742k 110;T82f(a)27f (Xk)k 1f(b)0.11140S86f(a)f(xk1)2f (xQf (b)0.11157n 10,a0,b1,h10,f(x)(1T102f(a)f (xQf(b)1.39148h9S0hf(a) 4k0f(xk1)2f(xj f

8、(b)1.45471精品文档9欢迎下载复化辛普森公式为精品文档10欢迎下载33S4-f(a) 4f(x)2f(xj f(b) 17.322226k 0k2k 1n 6,a 0,b, h , f (x).4 sin2636*复化梯形公式为复化辛普森公式为h55S6-f(a) 4f(xk1) 2f(Xk)6k 0k2 k 13。直接验证柯特斯教材公式(2。4)具有 5 交代数精度。 证明：柯特斯公式为令f (x)1，则7 f(x0) 32f(xJ 12f(X2)32f(X3)7f(x4)90令f(x) x，则令f (x) x2，则bf(x)dx2dx l(baa3T6-f (a) 2f(Xk)2k

9、 1f(b)1.03562f (b)1.03577f (x)dxb a907 f(X。) 32f(xd 12f(X2)32f(x3)7fg)f (x)dxb a90bf (x)dxdx ,b2aa2a2)12f (X2)32f(X3)7f (X4)i(b2a2)詈g) g)区)32f(X3)7f(SA3a3)精品文档11欢迎下载令f (X) x3，则精品文档12欢迎下载bf(x)dxbX3dX (b4a4)aa4令f (x) X6，则h0f (x)dxb a-7 f (X0) 32f(xJ 12f(X2)32f(xJ 7 f (X4)因此，该柯特斯公式具有 5 次代数精度。14。用辛普森公式求

10、积分eXdx并估计误差。0解：辛普森公式为b aa bS =f(a) 4f(- b) f(b)6 2此时，a 0,b 1, f(x) e ,从而有12 1S -(1 4e2e )0.632336误差为5。推导下列三种矩形求积公式:专7f(X0)32f(xi)12f(X2)32f(X3)7f(X4)a4)令f (x) X，则bf(X)dXab4155aXdX評a)詈7f(X0)32f(xi)12f(X2)32f(X3)7f(X4)a5)令f (x) X，则baf(X)dXbX5dX hb6a6)a6b a907 f(Xo) 32f(Xi) 12f (x2)32f(X3)7f (X4)丄(b66a

11、6)R(f)b a180(专)4f1 10180 24 e0.00035,(0,1)精品文档i013欢迎下载证明:两连边同时在a,b上积分，得15过io5?若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间0,1应分多少等分?解：采用复化梯形公式时，余项为baf(x)dx(ba)f (a)bf (x)dxa(ba)f(b)号(b a)2；号(ba)2;bf(x)dxa(ba)f(-中(b a)3；24(1)Q f(x)f(a) f ()(xa),(a,b)两边同时在a,b上积分,bf (x)dxa即(b a)f (a)b)a(x a)dxbaf(x)dx(b a)f (a)(2)Q f(x)f(b) f

12、 (f (2)(b)(b a)2x),(a,b)两边同时在a,b上积分,baf(x)dx即(b a)f (a)b)a(b x)dxbf (x)dxa(b a)f(b)(3)Q f(x)f(竽)2(b a)2f(专)(x专)2 2a b)2T),(a,b)bf (x)dxa即bf (x)dxa(b a)f(专)f号)ba(xU)dx2dx2(b a)f(乎)6。若用复化梯形公式计算积分4(b241IQexdx，问区间0,1应人多少等分才能使截断误差不超a)3；精品文档14欢迎下载R詈hf ( ),(a,b)精品文档i015欢迎下载exdx故f (x) ex, f (x) ex, a 0,b1.R

13、nf存十()存2若Rn(f)2 105，则265h2105e当对区间0,1进行等分时，故有ne105212.85因此，将区间 213 等分时可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时，余项为b a,h、4R(f)硕(？f(人鮎)又Q f (x) ex,xe ,h4|f(4)( )|2880105当对区间0,1进行等分时1 n _h故有因此，将区间 8 等分时可以满足误差要求。7。如果f (x)0,证明用梯形公式计算积分|明其几何意义。若R.(f)-105，则2(竺1105)43.71f(4)(x)Rn(f)bf(x)dx所得结果比准确值Ia大，并说精品文档16欢迎下载解：采用梯形公式计算积分时，余

14、项为f ( )3RT寻(b a)3,a,b12又Q f (x)0且b aRT0又Q Rr1 TI T即计算值比准确值大。其几何意义为，f (x) 0为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。2(2)xsin xdx0(3)x ,1 x2dx.0解：(1)1- 0exdxkT0(k)T1(k)T2(k)T(k)T300.771743310.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.71327260.71327170.7132717因此I 0.7137272(2)I o xsin xdxkT0(k)T1(k)03.451313106

15、18.62828310721-4.44692310因此I 0(3)IA1x2dx&用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10精品文档17欢迎下载kT0(k)T1(k)T2(k)T3(k)T4(k)T(k)014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.2075922

16、10.207592210.2075922因此I 10.20759229。用n 2,3的高斯-勒让德公式计算积分sinxdx.解：311冷xdx.Q x 1,3,令t x 2，则t 1,1用n 2的高斯一勒让德公式计算积分I 0.5555556 f( 0.7745967) f (0.7745967)0.8888889 f (0)10.9484用n 3的高斯一勒让德公式计算积分I 0.3478548 f( 0.8611363) f (0.8611363)0.6521452 f( 0.3399810) f(0.3399810)10.9501410 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是S aI

17、、1(：)2引n2 d,这是a是椭圆的半径轴，c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离，记 h 为近地点距离,H 为远地点距离，R=6371( km)为地球半径，则a (2R H h)/ 2,c (H h)/ 2.我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离 H=2384(km)。试求卫星轨道的周长。解：QR 6371,h439,H2384从而有。精品文档18欢迎下载a (2R H h)/27782.5c (H h)/2972.5I 1.564646S 48708( km)即人造卫星轨道的周长为 48708km11。证明等式试依据nsin()(n 3,6,12)的值，用外推算法

18、求的近似值。n解若f (n) nsin ,n1315又Q sin x x x x L!5!此函数的泰勒展式为f(n) n si n nn1.(-)35!(-)5L n 3!n5!n353!n25!n4LT(k)1n当n3时，n si n_2.598076n当n6时，n sin3n当n12时,nsin 3.105829n由外推法可得kT0(k)T1(k)T2(k)01.56464011.5646461.56464821.5646461.5646461.564646Snsin n3!n25!n4c22()sin da精品文档19。迎下载I 0.5555556 f( 0.7745967)1.0980

19、39f (0.7745967)0.8888889 f (0)nT0(n)T1(n)T2(n)32.59807663.0000003.13397593.1058293.1411053.141580故3.14158(1) 龙贝格方法；(2) 三点及五点高斯公式；(3) 将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。 解3dy(1)采用龙贝格方法可得kT0(k)T1(k)T2(k)T3(k)T产01.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.098

20、6131.0986131.098613故有I 1.098613(2)采用高斯公式时3dy丐乙则X 1,1,dx,1x 21 f(x) , x 2利用三点咼斯公式，则12。用下列方法计算积分3dy并比较结果。此时1,3,精品文档14迎下载利用五点高斯公式，则I 0.2369239 f( 0.9061798) f (0.9061798)0.4786287 f ( 0.5384693) f (0.5384693)0.5688889 f (0)1.098609(3)采用复化两点高斯公式将区间1,3四等分，得I I1I2I3I41.5dy2dy1y1.5y2.5dy3dy2y2.5yX 5作变换y -，

21、则4f(x)I1f ( 0.5773503)f (0.5773503) 0.4054054x 7作变换y，则4I211 .dx,1x 7f(x)1x 7,I2f ( 0.5773503) f (0.5773503)0.2876712x 9作变换y -，则411I3Ef(x)七，x 9I3f ( 0.5773503) f (0.5773503) 0.2231405x 11作变换y -1，则4I41如如f(x)1x 110.1823204精品文档21。迎下载因此，有I 1.098538113.用三点公式和积分公式求f(x)丄2在x 1.0,1.1，和 1.2 处的导数值，并估计误(1 x)差。f(x)的值由下表给出:X1.01.11.2F(x)0.25000.22680.2066解:又Q f(x0) 0.2500,