天津市红桥区2016年高三二模数学(理)试卷及参考答案

1、天津市红桥区天津市红桥区 2016 年高三二模数学（理）试卷年高三二模数学（理）试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的( (本卷共本卷共 8 题，题，共共40 分分)（1）已知集合已知集合2|10,Ax xx R， |03,BxxxR，则，则AB （A） |13xxxR，（B） |13xxxR ，（C） |13xxxR，（D） |03xxxR，（2）若若实数实数x y，满足满足202204.xyxyy ， ，0则目标函数则目标函数43zxy的最大值为的最大值为（A）0（B）103（C）12（D）20（3）

2、某程序框图如下图所示某程序框图如下图所示，若输出的若输出的26S ，则判断框内为则判断框内为（A）3?k （B）4?k （C）5?k （D）6?k （4）下列结论下列结论中中，正确的是，正确的是（A） “2x ” 是是“220 xx”成立的必要条件成立的必要条件（B）已知向量已知向量, a b，则，则“/a b”是是“ab = 0”的充要条件的充要条件（C）命题命题“2:,0pxx R”的否定形式为的否定形式为“200:,0pxxR”（D）命题命题“若若21x ，则，则1x ”的逆否命题为假命题的逆否命题为假命题（5）已知双曲线已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab，以以C的右焦点的右

3、焦点( ,0)F c为圆心，以为圆心，以a为半为半径的圆与径的圆与C的一条的一条渐近线交于渐近线交于,A B两点，若两点，若23ABc，则双曲线，则双曲线C的离心率为的离心率为（A）3 2613（B）3 55（C）62（D）32（6）在在钝角钝角ABC中，内角中，内角ABC， ，所对的边分别为所对的边分别为a b c，已知，已知7a ，5c ，5 3sin14C ，则，则ABC的面积等于的面积等于（A）25 32（B）15 32（C）15 34（D）154（7）若函数若函数3( )2(0)xf xexaa有且只有两个零点，则实数有且只有两个零点，则实数a的取值范围是的取值范围是（A）0,1（B

4、）(0,1)（C）1,)（D）(0,) （8）已知函数已知函数 f(x)是定义域为是定义域为 R 的偶函数的偶函数，且且 f(x1)1f（x），若若 f(x)在在1，0上是减上是减函数函数，记，记0.5(log2)af，2(log 4)bf，0.5(2)cf则则（A）abc（B）acb（C）bca（D）bac二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分( (本卷共本卷共 12 题，共题，共 110 分分)（ 9 ）已知已知, a bR，i是虚数单位是虚数单位，若若(2i)(1i)iba，则，则ab（1010）设变力设变力(

5、 )F x作用在质点作用在质点M上上，使使M沿沿x轴正向从轴正向从0 x 运动到运动到6x ，已知已知2( )1F xx且方向和且方向和 x 轴正向相同轴正向相同，则变力则变力( )F x对质点对质点M所做的功为所做的功为_J(x的的单位：单位：m；力的单位：；力的单位：N)（11）在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoy中中，已知直线已知直线l的参数方程为的参数方程为2 55515xtyt (l为参数为参数)，直线直线l与抛物线与抛物线24yx相交于相交于,A B两点两点，则，则线段线段AB的长的长为为（12）如图如图，是一个几何体的三视图是一个几何体的三视图，其中其中正视图是等腰直角三角形正

6、视图是等腰直角三角形，侧侧视图与视图与俯俯视图视图均均为边长为为边长为1的正方形的正方形，则该几何体外接球的表面积为则该几何体外接球的表面积为（13） 如图如图， 已知圆内接四边形已知圆内接四边形ABCD, ,边边AD延长线交延长线交BC延长线于点延长线于点P， 连结连结AC，BD，若若6ABAC，9PD 则则AD （14） 已知等腰已知等腰ABC， 点点D为腰为腰AC上一点上一点， 满足满足2BABCBD ， 且且| 3BD ， 则则ABC面积的最大值为面积的最大值为.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答

7、应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15） （本小题满分（本小题满分 13 分）分）已知已知231( )sin2cos,22f xxxx R（）求函数求函数( )f x的最小正周期及在区间的最小正周期及在区间0,2的最大值；的最大值；()若若01()3f x0,6 12x ，求，求0sin2x的值的值（16） （本小题满分（本小题满分 13 分）分）甲、乙两队参加甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏，听歌猜歌名游戏，每队每队 3 人人随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人每人只有一次抢答机会只有一次抢答机会(每人抢答机会均等每人抢答机会均等)，答对者为本队赢得一分答对者

8、为本队赢得一分，答错得零分答错得零分假设假设甲队中每人答对的概率均为甲队中每人答对的概率均为23，乙队中乙队中 3 人答对的概率分别为人答对的概率分别为23，13，12，且各人回答正且各人回答正确与否相互之间没有影响确与否相互之间没有影响.() 若比赛前随机从两队的若比赛前随机从两队的 6 个选手中抽取两名选手进行示范个选手中抽取两名选手进行示范， 求抽到的两名选手在求抽到的两名选手在同一个队的概率；同一个队的概率；（）用用表示甲队的总得分表示甲队的总得分，求随机变量求随机变量的分布列和的分布列和数学期望数学期望；（）求两队得分之和大于）求两队得分之和大于 4 的概率的概率（17） （本小题满

9、分（本小题满分 13 分）分）已知数列已知数列 na是是递增递增等差数列等差数列，12a ，其前，其前n项为项为nS（nN） 且且145,2a aS 成成等比数列等比数列（）求数列求数列 na的通项的通项na及前及前n项和项和nS；（）若数列若数列 nb满足满足1221nanb，计算计算 nb的前的前n项和项和nT，并用数学归纳法证明并用数学归纳法证明：当当5n时，时，nN，nnTS（18） （本小题满分（本小题满分 13 分）分）如图如图，在四棱锥在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是是菱形菱形，60ABC，侧面侧面PBC是是边长边长为为2的等边的等边三角形，点三角形，点E是是PC的中

10、点，且的中点，且平面平面PBC 平面平面ABCD.() 求异面直线求异面直线PD与与AC所成角的余弦值；所成角的余弦值；() 若点若点F在在PC边上移动，是否存在点边上移动，是否存在点F使平面使平面BFD与平面与平面APC所成的角为所成的角为90？若存在，则求出点若存在，则求出点F坐标，否则说明理由坐标，否则说明理由（19） （本小题满分（本小题满分 14 分）分）设椭圆设椭圆:C22221(0)xyabab，过点，过点( 2,1)Q，右焦点，右焦点( 2,0)F,（）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程；（）设直线）设直线:(1)l yk x分别交分别交x轴，轴，y轴于轴于,C D两点，且与椭圆两

11、点，且与椭圆C交于交于,M N两两点，若点，若CNMD ,求求k值；值；（）自椭圆）自椭圆C上异于其顶点的任意一点上异于其顶点的任意一点P,作圆作圆22:2O xy的两条切线切点分别的两条切线切点分别为为12,P P,若直线若直线12PP在在x轴，轴，y轴上的截距分别为轴上的截距分别为m，n，证明：，证明：22121mn（20） （本小题满分（本小题满分 14 分）分）已知函数已知函数21( )ln2f xaxbxx， （, a bR）（）若函数若函数( )f x在在121,2xx处取得极值处取得极值，求求, a b的值的值，并说明分别取得的是极大值还并说明分别取得的是极大值还是极小值；是极小

12、值；（ ） 若 函 数） 若 函 数( )f x在 （在 （1,(1)f） 处 的 切 线 的 斜 率 为） 处 的 切 线 的 斜 率 为1， 存 在， 存 在1, xe， 使 得， 使 得21( )2f xxaxx( +2)(-成立，求实数成立，求实数a的取值范围的取值范围；( () ) 若若2( )( )(1)2bh xxf xx，求，求( )h x在在11, ,e 上的最小值及相应的上的最小值及相应的x值值.20162016 红桥区红桥区高三高三二模二模数数学（理）参考答案学（理）参考答案一、选择题：每小题一、选择题：每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分题号题号1 12 23

13、34 45 56 67 78 8答案答案C CB BA AD DB BC CB BB B二、填空题：每小题二、填空题：每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分题号题号9 910101111121213131414答案答案278781033 36三、解答题：共三、解答题：共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分（1515） （本小题满分（本小题满分 1313 分）分）已知已知231( )sin2cos22f xxx（）求函数求函数( )f x的最小正周期及在区间的最小正周期及在区间0,2的最大值；的最大值；()若若01()3f x0,6 12x ，求，求0sin2x的值的值解解()f(x

14、)32sin 2x1cos 2x21232sin 2x12cos 2xsin2x6( )sin(2)6f xx，最小正周期为最小正周期为，x0，2 ，sin2x6 12，1，所以所以 f(x)在区间在区间0，2 的最大值是的最大值是 1.()( )sin(2)6f xx，01()3f x，01sin(2)63x，又，又0,6 12x 所以所以0262x，故，故02 2cos(2)63x 所以所以0000sin2sin(2)sin(2)coscos(2)sin666666xxxx132 2132 232326 （1616） （本小题满分（本小题满分 1313 分）分）甲、乙两队参加甲、乙两队参加

15、听歌猜歌名游戏，听歌猜歌名游戏，每队每队 3 人人随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人每人只有一次抢答机会只有一次抢答机会，答对者为本队赢得一分答对者为本队赢得一分，答错得零分答错得零分假设甲队中每人答对的概假设甲队中每人答对的概率均为率均为23，乙队中乙队中 3 人答对的概率分别为人答对的概率分别为23，13，12，且各人回答正确与否相互之间没有且各人回答正确与否相互之间没有影响影响.() 若比赛前随机从两队的若比赛前随机从两队的 6 个选手中抽取两名选手进行示范个选手中抽取两名选手进行示范， 求抽到的两名选手在求抽到的两名选手在同一个队的概率；同一个队的概

16、率；（）用用表示甲队的总得分表示甲队的总得分，求随机变量求随机变量的分布列和的分布列和数学期望数学期望；（）求两队得分之和大于）求两队得分之和大于 4 的概率的概率解：解：( () ) 6 6 个选手中抽取两名选手共有个选手中抽取两名选手共有266 5152 1C种结果，种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有：抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有：2326C 种结果，种结果，用用A表示事件表示事件： “从两队的从两队的 6 6 个选手中抽取两名选手个选手中抽取两名选手，求抽到的两名选手在同一个队求抽到的两名选手在同一个队”62( )155P A . .故从两队的故

17、从两队的 6 6 个选手中抽取两名选手进行示范个选手中抽取两名选手进行示范， 求抽到的两名选手在同一个队的概率求抽到的两名选手在同一个队的概率为为25. .( () )解法一：由题意知解法一：由题意知，的可能取值为的可能取值为 0 0，1 1，2 2，3 3，且且P P( (0)0)C C0 03 31 12 23 33 31 12727，P P( (1)1)C C1 13 32 23 31 12 23 32 22 29 9，P P( (2)2)C C2 23 32 23 32 21 12 23 3 4 49 9，P P( (3)3)C C3 33 32 23 33 38 82727. .所以

18、所以的分布列为的分布列为0 01 12 23 3P P1 127272 29 94 49 98 82727的的数学期望数学期望E E( () )0 01 127271 12 29 92 24 49 93 38 827272 2. .解法二：根据题设可知解法二：根据题设可知B B3 3，2 23 3 ，因此因此的分的分布列为布列为P P( (k k) )C Ck k3 32 23 3k k1 12 23 33 3k kC Ck k3 32 2k k3 33 3，k k0 0，1 1，2 2，3 3. .因为因为B B3 3，2 23 3 ，所以所以E E( () )3 32 23 32 2. .

19、（）用用B表示表示事件事件:两队得分之和大于两队得分之和大于 4 包括包括：两队得分之和为两队得分之和为 5，两队得分之和两队得分之和为为6，用用1A表示表示事件：两队得分之和为事件：两队得分之和为 5，包括甲队，包括甲队 3 分乙队分乙队 2 分和乙队分和乙队 3 分甲队分甲队 2 分。分。3121 2 12 1 21 1 14 2 1 140()( ) 33 3 23 2 33 2 39 3 2 3243P A 用用2A表示表示事件：两队得分之和为事件：两队得分之和为 6，甲队，甲队 3 分乙队分乙队 3 分分3222 1 1818()( )33 3 227 9243P A1240848(

20、 )()()243243243P BP AP A所以两队得分之和大于所以两队得分之和大于 4 的概率为的概率为48243（1717） （本小题满分（本小题满分 1313 分）分）已知数列已知数列 na是是递增递增等差数列等差数列，12a ，其其前前n项为项为nS（nN） 且且145,2a aS 成成等比数列等比数列（）求数列求数列 na的通项的通项na及前及前n项和项和nS；（）若数列若数列 nb满足满足1221nanb，计算计算 nb的的前前n项和项和nT，并用数学归纳法证明并用数学归纳法证明：当当5n时，时，nN，nnTS（）设数列设数列 na的公差为的公差为d d，由由12a 和和145

21、,2a aS 成等比数列成等比数列，得得(2(23 3d d) )2 22(2(12121010d d) )，解得解得d d2 2 或或109d . .当当109d 时时，与与增数列矛盾增数列矛盾，舍去舍去所以所以d d2 2，所以所以2(1)22nann即数列即数列 na的通项公式为的通项公式为2nan2nSnn（）1122121nannb ，021121212121(122)21nnnnTnn 要证要证nnTS，即证明：，即证明：221nn当当5n 时，时，522322651假设当假设当nk时，时，221kk成立，成立，则则1nk时，时，1222 222kkk而而2222222(1)122

22、222(2)kkkkkkkk k因为因为5k ，所以，所以2222(1)10kk，故故1222 222kkk2(1)1k综上得当综上得当5n时，时，nnTS，nN（1818） （本小题满分（本小题满分 1313 分）分）如图如图，在四棱锥在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是是菱形菱形，60ABC，侧面侧面PBC是是边长边长为为2的等边的等边三角形，点三角形，点E是是PC的中点，且的中点，且平面平面PBC 平面平面ABCD.() 求异面直线求异面直线PD与与AC所成角的余弦值；所成角的余弦值；() 若点若点F在在PC边上移动边上移动， 是否存在点是否存在点F使平使平面面BFD与与平面平面

23、APC所成的角为所成的角为90？若存在？若存在， 则求出点则求出点F坐标，否则坐标，否则说明理由说明理由( )因 为因 为 平 面平 面PBC 平 面平 面ABCD， 底 面底 面ABCD是是 菱 形菱 形 ，60ABC， 故， 故2ABBCACPCPB取取BC中点中点O，则，则AOBC，,POBC POAO以以O为坐标原点，为坐标原点，OP为为x轴，轴，OC为为y轴建立平面直角坐标系，轴建立平面直角坐标系，(0,0,0)O，(0,0, 3)A,(0, 1,0)B,(0,1,0)C( 3,0,0)P,(0,2, 3)D,3 1(,0)22E()(3,2, 3)PD ，(0,1,3)AC ，则则

24、34310PD ，132AC ，231PD AC 设异面直线设异面直线PD与与AC所成角为所成角为,110cos202 10PD ACPD AC 所以异面直线所以异面直线PD与与AC所成角的余弦值为所成角的余弦值为1020()设存在点设存在点F，使平面，使平面BFD与平面与平面APC所成的角为所成的角为90，设设( , ,0)E a b，因为，因为,P C F三点共线，三点共线，PFPC ，(3, ,0)PFab ，(3,1,0)PC 所以，所以，(1) 3,ab，( (1) 3, 0)F，设平面设平面BFD的一个法向量为的一个法向量为1111,x y zm，11111103300(1) 3(

25、1)0BDyzBFxymm 令令13y ，11, 3, 31m.211()121m设平面设平面APC的一个法向量为的一个法向量为2222,xyzm，2222220330030APxzPCxymm 令令21x ，21, 3,1m.21315m,又又12113311mm若平面若平面BFD与平面与平面APC所成的角为所成的角为90，则，则1221211cos9015()121mmm m，故故101，即，即1 ，此时，此时( 2 3,1, 0)E，点，点F在在CP延长线上，延长线上，所以，在所以，在PC边上不存在点边上不存在点F使平面使平面BFD与平面与平面APC所成的角为所成的角为90（1919）

26、（本小题满分（本小题满分 1414 分）分）设椭圆设椭圆:C22221(0)xyabab，过点，过点( 2,1)Q，右焦点，右焦点( 2,0)F,（）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程；（）设直线）设直线:(1)l yk x分别交分别交x轴，轴，y轴于轴于,C D两点，且与椭圆两点，且与椭圆C交于交于,M N两点，两点，若若CNMD ,求求k值；值；（）自椭圆）自椭圆C上异于其顶点的任意一点上异于其顶点的任意一点P,作圆作圆22:2O xy的两条切线切点分别为的两条切线切点分别为12,P P,若直线若直线12,P P在在x轴，轴，y轴上的截距分别为轴上的截距分别为m，n，证明：，证明：22121m

27、n解解： （）因为过点）因为过点( 2,1)Q，故有，故有22211ab，由已知，由已知2c 联立联立22222112abab解得：解得：224,2ab，所以，所以椭圆椭圆C的方程为的方程为22142xy（）直线）直线:(1)l yk x与与x轴交点轴交点(1, 0)C，y轴交点轴交点(0,)Dk联立联立2224(1)xyyk x消元得：消元得：2222(12)4240kxk xk设设1122(,),(,)M x yN xy，则，则2122412kxxk22(1,)CNxy，11(,)MDxky ，由由CNMD 得：得：21224112kxxk，解得：，解得：22k （）因为）因为12,P P

28、为切点，所以为切点，所以11OPPP,22OPPP,所以所以12,P P O P四点共圆，四点共圆，其圆心其圆心(,)22ppxyO，方程为：，方程为：2222()()224pppPyxyxxy整理得：整理得：220ppxyxxyy12,P P是圆是圆O与圆与圆O的交点，联立的交点，联立222220ppxyxyxxyy得得2ppxxyy，得得22,ppxymn，因为，因为(,)ppP xy在椭圆在椭圆22142xy上，则上，则2222()( )142mn整理得：整理得：22121mn。（2020） （本小题满分（本小题满分 1414 分）分）已知函数已知函数21( )ln2f xaxbxx，

29、（, a bR）（）若函数若函数( )f x在在121,2xx处取得极值处取得极值，求求, a b的值的值，并说明分别取得的是极大值还并说明分别取得的是极大值还是极小值；是极小值；（ ） 若 函 数） 若 函 数( )f x在 （在 （1,(1)f） 处 的 切 线 的 斜 率 为） 处 的 切 线 的 斜 率 为1， 存 在， 存 在1, xe， 使 得， 使 得21( )2f xxaxx( +2)(-成立，求实数成立，求实数a的取值范围的取值范围；( () ) 若若2( )( )(1)2bh xxf xx，求，求( )h x在在11, ,e 上的最小值及相应的上的最小值及相应的x值值.解解： （）因为）因为( )1afxbxx，(1)10fab ，1(2)2102fab 。由由解得：解得：23a ，13b . .此时此时221( )ln36f xxxx ，(1)(2)( )3xxfxx，x（0 0，1 1）1 1（1,21,2）2 2（2 2，+ +）( )fx- -0 0+ +0 0- -( )f x减减极小极小增增极大极大减减所以，在所以，在1x 取得极小值，在取得极小值，在2x 取得极大值取得