天津市和平区高二上学期期末考试数学(理)试题

1、和平区2021-2021学年度第一学期高二年级数学理学科期末质量调查试卷第I卷选择题共24分、选择题：本大题共8个小题,每题3分,共24分.在每题给出的四个选 项中,只有一项为哪一项符合题目要求的2_L=1的离心率为2 3的21. “ m=1 是“双曲线x_ mA.充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件也不必要条件2 .在空间直角坐标系中,A(1, 0,-3) , B(4-2,1)A. ,15B .工国.,34,1493 .双曲线的一个焦点坐标为0,且经点(-5, 2),那么双曲线的标准方程为2x 2A. - -y =152y.一 x5二1二12522x y 11422x4.右双曲线ya=1

2、(a >0 )的离心力为2,那么该双曲线的渐近线方程为A. y = xC.5.抛物线x的焦点是椭圆二1的一个焦点,那么椭圆的离心率为C ,行C. 13. 37376.向量a,b = (3, x,y),分别是直线l1、l2的方向向量,假设l1 / l2y =15y=15C.810x = 一, y =一3315y=7227 .如果椭圆a+匕=136的弦被点4 , 2平分,那么这条弦所在的直线方程是A. x -2y = 0.5x 2y -4 = 0 C. x 2y -8 = 0D. 2x 3y -12二08 .椭圆C :=1 abA0 ,点M , N为长轴的两个端点,假设在椭圆上存在点H ,使

3、kMH kNH1w 一,0,那么离心率e的取值范围为 2工, 2-3A""B .十 C.万1 D. 0,、填空题每题6分,29 .假设双曲线3螺.1P10 .斜率为第R卷 非选择题共76分总分值24分,将答案填在做题纸上2p>0 的左焦点在抛物线 y =2px的准线上,那么22的直线经过椭圆上54=1的右焦点F2,与椭圆相交于 A、B两点,那么AB的长为11.抛物线y2 =4x的焦点为F,准线为直线l ,过抛物线上一点,P作PE_Ll于E ,假设直线EF的倾斜角为150口,那么 PF =12.空间四边形OABC , OB=OC,/AOB=/AOC=?,那么 cosOA

4、, BC的值 313.设椭圆 二十上=1与双曲线 上y2=1有公共焦点Fi , F2 , P是两条曲线的一个 623公共点,那么cos/F1PF2等于2214 .双曲线xy=1 a>0 , b>0 的左、右焦点分别为 Fi、F2,过F2的 a b _ ._5直线父双曲线右志于 P , Q两点,且PQ _L PFi ,假设PQ = PF1 ,那么双曲线的离心12率为.三、解做题 (本大题共5小题,共52分.解容许写出文字说明、证实过程或演 算步骤.)15 .平面上的三点 P(5, 2)、F1(-6, 0)、F2 (6,0).(1)求以Fi、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；设点P、

5、Fi、F2关于直线y = x的对称点分别为 P'、F；、F2',求以F、F2为焦点且过点P'的双曲线的标准方程.216.抛物线C : y =2px ( p >0 )的焦点为F ,点D(2, y0)在抛物线C上,且DF =3,直线y=x-1与抛物线C交于A , B两点,O为坐标原点.(1)求抛物线C的方程；(2)求ZXAOB的面积.17.如图,三棱柱 ABC -A1B1C1中,侧棱于底面垂直,ZABC =90° ,AB = BC = BB1 = 2 , M , N分别是AB , AC的中点.(1)求证：MN II 平面 BCC1B1 ；(2)求证：MN _

6、L平面ARC .2218.椭圆E :与+与=1 a b象限内的一点.,八2a >b >0)的离心率为一,C为椭圆E上位于第35(1)假设点C的坐标为(2,-)3,求椭圆E的标准方程;(2)设A为椭圆E的左顶点,B为椭圆E上一点,且1AB OC2,求直线AB的斜率.19.如图,在四棱锥 S-ABCD中,SD-L平面,四边形 ABCD是直角梯形,/ADC =/DAB=90.,SD = AD=AB=2 , DC =1 .S(1)求二面角 S -BC -A 的余弦值；(2)设P是棱BC上一点,E是SA的中点,假设PE与平面SAD所成角的正弦值为空26 ,求线段CP的长.13和平区2021-

7、2021学年度第一学期期末质量调查高二年级数学(理)学科试卷参考答案及评分标准、选择题1-5:CBACB6-8:DCA、填空题9. 410.5 3311.12.13.14.375解做题15. (1)解：由题意知,焦点在 x轴上,可设椭圆的标准方程为 三十与=1 (a>b>0 ) a b其半焦距c =6由椭圆定义得2a=PFi| -|pF2(2)解：点P(5, 2)、F1(-6,0)、F2(6, 0)关于直线y=x的对称点分别为P'(2, 5)F(0, -6)、F2'(0, 6).设所求双曲线的标准方程为 22y x2=1( ai >0, bi >0 )a

8、ibi其半焦距g =6 ,由双曲线定义得2al =| P £' P F2'=,(0 2)2 +(-6 5)2 "(0 2)2 十(6 5)2 =4 -,/5 . 3=275 , . . b；* -a；=36 -20 =16 ,22故所求的双曲线的标准方程为士 _上=1.20 1616. (1)解：.D(2, y0)在抛物线 C 上,且 DF =3 ,.由抛物线定义得,2+E=32p =2 所求抛物线C的方程为y2 =4x .y x 1(2)解：由心 消去y , y =4x并整理得,x2-6x+1=0 ,设 A(x1 , %) , B(x2 , y2),那么

9、X +x2 =6 ,由(1)知 F(1, 0)2 直线y=x1过抛物线y =4x的焦点F ,AB 平 x2 P =6 2 =8又.点O到直线y=x1的距离d =4=, .22 .AOB的面积S=AB d =1父8M立=26.22217. (1)证实：依题意,ZA1B1C1=90° ,BB1_LBC1,以 B1 为原点,分别以A,B1,B16BB的方向为x轴,y轴,z轴,建立如下图的空间直角坐标系Bi -xyz .那么由,Bi(0 ,0,0) , Ai(-2 ,0,0) , C(0 , 2 , 2) , M (-1 , 0, 2) , N (-1, 1,1),B(0, 0, 2) ,

10、01(0, 2,0), BC1=(0, 2 , 0) , B1B =(0, 0 ,2) , MN=(0,1,-1) , B1A1 =(-2, 0, 0),I易知 BA MN =-1 0 0 1 0 (-1) =0 ,MN II 平面 B001B1 .(2)证实：连接 BC,由(1)得,BC=(0, 2, 2),漏=(2, 0 , 0), NM = (0, 1, 1),_ 设平面A1B1O的一个法向量为 n=(x , y, z)E. j -* 一 W 一一那么 n,8 0 =0 , n AB1 =0, y = -z由？取 z =1 ,得 y = T ,x =0_ W.平面ABQ 的一个法向量为

11、n=(0, -1, 1)此时,n=MN 故MN _L平面A1B1018. (1)解法1:二椭圆E的离心率为2 3. c 2 a 32,2a -b2,即by25 2-b = a 9又.点.在椭圆E上,425了 9b2=1由解得a2 =9 , b2 =5 ,22.所求椭圆E的方程为 七十上=195解法2:由题意得,-=-, a 3 c24 -2"=一a 9设 a2 =9k , c2 =4k ( k >0 )222贝U b =a -c =5k225=1 ,将点 C(2 ,)代入得,9k 5k345. 一一 + =1 ,解得 k =19k 9k'1 a2 =9 , b2 =52

12、2.所求椭圆E的方程为 上+L=1952(2)解法1:由(1)可知匕=5a 922椭圆E的方程为0+当=1a 5a即 5x2 +9y2 =5a2 ,有 A(-a , 0),设 B(x , y1) , C(X2 , y2),* 1r11由 AB = OC 信,(X1 *a , y1) =(X2, y2)2221 1X1 =-X2 -a , y1=-y22 2点B ,点C都在椭圆E : 5x2+9y2=5a2上,5x； 9y2 =5a21、2c,1、25(2X2 -a)9(- y2) =5a解得x2 - , 45a加=4.3 ,直线AB的斜率k=yx1 ay25： . 3x23b2解法2:由1可知

13、匕,椭圆E的方程为5 2 =a9/=15a即 5x2+9y2=5a2 ,设直线 OC的方程为 x=my(m>0),B(x,y1), C(x2,y2)ix =my由4 222消去x并整理得,l5x 9y =5a2 2225m y 9y =5a5a225m +9- y2y25a5m 9T i T- AB = OC2AB II OC ,于是设直线AB的方程为x=mya ( m>0 )2消去x并整理得,x =my -1由2 c 2l5x 9y =5a2_ _2_ _(5 m 9)y -10amy =0解得y = 102am 或y =0 (舍去) 5m 9中旦徂 10am于正,付y1 1 2

14、八5m 9 一i-i 又 AB =OC 211 (xi +a , yi)=(-x2,二 v222是 y1 =1 y2 ,即 y2 =2%5a 20am(m>0 ),直线AB的斜率为1=5叵m 319. (1)解：以D为原点,分别以 dA , DC , DS的方向为x轴,y轴,z轴,建立如下图的空间直角坐标系D _xyz那么由可得,D(0,0,0) , B(2,2,0) , C(0,1,0) , S(0,0, 2),SB (2 , 2 , -2) , SC=(0,1,2),设平面SBC的一个法向量为 ni =(x, y , z),由 n _LSB, ni _LSC 得,n SB=0 , n

15、i SC=02x 2y -2z =0,有y -2z =0曰 x - -z解得?取z =1 ,得x =1 , y =2 ,y =2zTN二(1 ,2 , 1)SD_L平面 ABCDT,取平面 ABCD 的一个法向量为 n2 =(0,0,1),设二面角S-BC -A的大小为0cos1=由图可知,二面角 SBCA为锐角二面角, 6,二面角S-BC -A的余弦值为 6I-H(2)解：由(1)知 E(1, 0,1), CB =(2, 1 , 0) , CE=(1, 1 , 1)设 CP/CB (01 ),那么郎=九(2, 1, 0)=(2 九,腹,0),. PE CE -CP =(1 _2, _1 _ , 1),易知