2015-2017年高考文科数学试题汇编--导数与单调性

1、专题4导数与函数的单调性1.12021浙江,7函数y=f (x)的导函数y = f1x)的图像如下图,那么函数y=f (x)的图像可能是【答案】D【解析】试题分析：原函数先减再增,再减再增,且由增变减时,极值点大于仇因此选D.【考点】导函数的图象【名师点睛】此题主要考查导数图象与原函数图象的关系：假设导函数图象与轴的交点为X.,且图象在X0两侧附近连续分布于轴上下方,那么 X0为原函数单调性的拐点,运用导数知识来讨论函数单调性时,由导函数 f(x)的正负,得出原函数f (x)的单调区间.2【2021高考湖南,文8】设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1 -x),那么 设)是()A、奇函数,且

2、在(0,1 )上是增函数B 、奇函数,且在(0,1 )上是减函数、偶函数,且在(0,1 )上G偶函数,且在(0,1 )上是增函数是减函数【答案】A函数f (x) =ln(1+x) _ln(1 x),函数的定义域为(-1,1),函数f (-x) =ln(1 -x) -ln(1 +x) = f (x)所以函数是奇函 111数.f(x户+=2 ,在(0,1 )上 f(x)0 ,所以 f(x)在(0,1) 1 x 1 f x 1 -x上单调递增,应选A.【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】利用导数研究函数f(x)在(a, b)内的单调性的步骤：(1)求f(x)； 确认f(x)在(a, b)内

3、的符号；(3)作出结论：f(x)A0时为增函数；f(x)c0 时为减函数.研究函数性质时,首先要明确函数定义域 .3.【2021全国2,文11假设函数f (x)=kx-Inx在区间(1,收)单调递增,那么的取值范围是(A) - ： ：,- 2 1(B) -二,-1 1(C)2 二(D) 1,二【答案】D【解析】=由得之.在xw(L+oo)恒成立,故止之由于工1 ,所以0白1,XXX故上的取值范围是L例).【考点定位】函数的单调性.【名师点睛】此题考查了利用函数的导数研究函数的单调性,不等式的包成立,属于中档题,深入理解函数的单调性与函数导数之间的关系是解题的关键,注意不等式的包成立的处理时端点

4、值能否取到认真判断.1.4.【2021局考新课标1文数】右函数f (x) = x- sin 2x + asin x在+ )单调 3递增,那么a的取值范围是()(A)1-1,11 (B)1,3(.313【答案】C2试题分析：f (x )=1 cos2x+acosx0对x = R,日成立, 32242故 1(2cos x _1)+acosx 0,即 acosx _3cos x5+- - 0恒成立34 54 o 5次函数f (t )的最小值的可能值为端点值1一, 1张启.应选C.33故只需保证f -1 =(f -1 =1 -t- 031t.03,解得即t +at+ .又ttw 1,1包成立,构造f(

5、t产t +at+,开口向下的二 3333考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】此题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是 把函数单调性转化为不等式包成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值 问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.学！5.12021湖南文9假设0x1 ex2 1 ,贝U ()A. ex2 -ex1 In x2 - In xB. ex2 - ex1 In x2 - In x1C. x2ex1 x1ex2D. x2ex1 x1ex2【答案】C解析】设函数幻=/Mx且g=,求函数求导可得,二浦L g6=包区,由于 XXXX曰(0),所以尸

6、符号不确定且T o,所以函数/单调性不确定,函数区在(0J)上单调递减那么不) J H二=与.“(均小1所以选项c是正确的,应选J 当 飞【考点定位】导数单调性【名师点睛】此题主要考查了利用导数研究函数的性质,解决问题的关键是根据所给选项构造对应的函数,利用函数的性质分析其单调性,对选项作出判断6.【2021课标 1,文 21函数 f (x) =ex(ex-a) - a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)假设f(x)之0,求a的取值范围.【答案】(1)当a=0, f (x)在(*,收)单调递增；当a0, f (x)在(-oo,ln a)单调递减,在(lna,f)单调递增；当a0 , a 0

7、, a0,从而确定a的取值范围.试题详细分析：(1)函数f(x)的定义域为(-叫+彳f (x) =2e2x -aex -a2 = (2ex +a)(ex - a),假设a = 0 ,那么f (x) = e2x,在(予代)单调递增.假设 a0,贝由 f(x) =0得 x = ln a .当 x w (-o,ln a)时,f (x) 0 ；当 xn , a )+=c 时,f 0 ,所以 f (x)在(-o,ln a)单调递减,在(lna,2)单调递增.a假设ac0,那么由f,(x)=0得x=ln().2a.a当 xu (-,ln( -)时,f (x) 0,那么由(1)得,当x=lna时,f(x)取

8、得最小值,最小值为f (ln a) =-a2 ln a .从而当且仅当a2lna0,即 a1 时,f(x)至 0.假设a0.3综上,的取值范围为-2e4,1.【考点】导数应用【名师点睛】此题主要考查导数的两大方面的应用：(一)函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时,首先考虑函数的定义域,再求出 f(x),有f(x)的正负,得出函数f(x)的单调区间；(二)函数的最值(极值)的求法：由确认的单调区问,结合极值点的定义及自变量的取值范围,得出函数f(x)极值或最值.7.12021课标 II ,文 21】设函数 f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x 20时,f

9、(x) Eax+1 ,求的取值范围.【答案】(1)在(3,1)和(1十72,收)单调递减,在(1, 1十衣)单调递增(R) V:)【解析】试题分析二(1)先求凶数导数,再求导函数零点,列表分析导因数符号确定单调区间C2)对.分类讨论, 当应1时,Wl+xM双十1 满足 条件孑 当口时,取 飞二/5).一不Xl+9)、14+1,当. 口 1 时,取“回,T ,_2f (x0) (1 -x0)(1 , x0) ax0 1.试题详细分析：(1) f(x) =(1-2x-x2)ex令 f (x) =0 得 x = 1 士我当 xW(-0,1d2)时,f(x)C0;当 xW(1,1 旷 2时,f(x)A

10、0;当x W (1 + )时,f (x) 0所以f(x)在(g,用 和(1+72,)单调递减,在(_1_应,_1 +遮)单调递增(2) f(x) =(1-x)(1 x)ex当 a?l 时,设函数 h(x)= (1-x) ex, h (x)= -xex0),因此 h(x)在 0, +00)单调递减,而h(0)=1 ,故h(x)1,所以f (x)= (x+1) h(x) x+1ax+1当 0a0 (x0),所以 g (x) 在在0, +oo)单调递增,而g(0)=0 ,故exx+1当 0Vx (1- x)(1 + x)2 , (1x)(1 +x)2 ax 1 = x(1 a x x2),取,54a

11、- - 1% 二那么 x0 w (0,1),(1 -x(j)(1 +%)2 -ax0 =0,故f 函)：匕2 +1当 a WO 时,取 =蕊 1, f (x0) a(1 %)(1 + x0)2 =1 ax0 +12综上,a的取值范围1, +oo)【考点】利用导数求函数单调区间,利用导数研究不等式包成立【名师点睛】利用导数研究不等式包成立或存在型问题,首先要构造函数,利用 导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数 的取值范围；也可别离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.8.【2021课标 3,文 21】函数 f (x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(

12、1)讨论f(x)的单调性；. 3(2)当 a0 时,证实 f (x) 2 .4a1 .【答案】(1)当a之0时,f(x)在(0,y)单调递增；当a单调递减. 证实了&狂一二一2,即证人Xu-j 2：,而2a4n42a所以目标函数为了(一?)一(一：+ 2)=呵-1)+,- + 1,即尸=101+1才(,=一?0),利用导数 2a 4ala la2a易得Krn =ND =.n即得证.试题详细分析：(1)nx)= 2ax2+3+1)X13f(XF(xA0),当a“时,f(x)0,那么f(x)在(0,y)单调递增,1、一 .1当a0时,那么*)在(0)单调递增,在(-.,收)单调递减.2a2a1、(

13、2)由(1)知,当 a 02a4a2a2a2a1那么 y =, -1 =.,解得 t =1,y在(0,1)单调递增,在(1,收)单调递减,3.3 ymax =y(1) =0 , y W0 ,即 f (x)max M(,+ 2) , .f(x)M 2. 4a4a【考点】利用导数求单调性,利用导数证不等式【名师点睛】利用导数证实不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数h(x) = f(x)-g(x).根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证实不等式.(2)根据条件,寻找目标函数.一 般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系, 或利用放缩、等量代 换将多元函数

14、转化为一元函数.9.12021天津,文 19】设 a,bw r, |a|E1.函数 f (x) = x3 6x2 3a(a 4)x+b ,g(x) =exf (x).(I )求f (x)的单调区间;(n)函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0, y0)处有相同的切线,(i)求证：f(X)在X =Xo处的导数等于0；(ii )假设关于x的不等式g(x) gex在区间xo -1,xo +1上恒成立,求b的取值范围. 【答案】(I)递增区间为(,a), (4a,y),递减区间为(a,4 a). (2) (i) f(x)在x=%处的导数等于0. (ii)的取值范围是7,1.试题分析；CI )先

15、求国数的导数f (另= 3(x可卜一 (4一口),再根据同求得两个极值点的大小 关系44-口,再分析两侧的单调性,求得国数的单调区间f (ID ( i )根据义(可与/有共同的切线, 根据导数的几何意义建立方程,求得得证3 51)将不等式转化为/(力小,再根据前两问可 知?是极大值点不二口,由(1)知八工)在g-LG内单调递熠在(.,门+1)内单调递减,从而 f (x)Wf (a )=1 在a1,a+1上恒成立,得 b = 2a36a2+1 , -1 a1 ,再根据导数求函数的取值范围.试题详细分析：(I)由f (x) = x3 -6x2 -3a(a-4)x+b ,可得 -_ 2_f(x)=3

16、x -12x-3a(a -4) =3(x-a)(x-(4-a),令 f(x) =0 ,解得 x=a,或 x=4a.由 |a|M1,得 a0,可得 f (x) 1.又由于f(xo)=1, f(%)=0,故x0为f(x)的极大值点,由(I)知xo=a.另一方面,由于|a|w1,故a+14a,由(I)知f(x)在(a1,a)内单调递增,在(a,a+1)内单调递减,故当x0=a时,f(x)Mf(a)=1在a-1,a+1上恒成立,从而g(x)e在% -1,x +1上包成立.由 f (a) =a3 -6a2 -3a(a 4)a +b =1,得 b = 2a3 -6a2 +1 , -1 a 1.令 t(x)

17、 =2x3-6x2+1 , xw-1,1,所以 t(x)=6x2-12x,令t(x)=0,解得x=2 (舍去),或x = 0.由于 t(1) = 7, t(1)=3, t(0)=1,故 t(x)的值域为-7,1.所以,的取值范围是-7,1.【考点】1.导数的几何意义；2.导数求函数的单调区间；3.导数的综合应用.【名师点睛】此题此题考点为导数的应用,此题属于中等问题,第一问求导后要 会分解因式,并且根据条件能判断两个极值点的大小关系,防止讨论,第二问导数的几何意义,要注意切点是公共点,切点处的导数相等的条件,前两问比拟容 易入手,但第三问,需分析出 =a ,同时根据单调性判断函数的最值,涉及

18、造函数解题较难,这一问思维巧妙,有选拔优秀学生的功能.学10.【2021山东.文20(此题总分值13分)x 1设函数f(x)=alnx+,其中a为鬲数.x 1(1)假设a=0,求曲线y= f(x)在点(1, f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性.【答案】(1) x-2y-1 = 0.(2)当a20时,函数f(x)在(0,y)上单调递增；一 1 .当aM-&时,函数刈在(0,2)上单调递减；止 1(a 1) , 2al-(a 1)2a1当a=+募=尤嘿沪睡.的不同情况讨论导觥值的正员,以确定函数的单调性.其中a之0时,情况较为单一,f(x)0,函数f (x)在(0,收)上单调递增

19、,当 a0 时,令 g(x) =ax2+(2a+2)x+a ,一o o一111由于 =(2a+2)2 _4a2 =4(2a+1),再分 a =, a , 5a0 等情况加以讨论.x -1一试题详细分析：(1)由题息知a=0时,f(x)=,x/0,也),x 1止匕时f(x)=2(x 1)21 一可得 f (1)=3 ,又 f (1)=0,所以曲线y = f (x)在(1,f(1)处的切线方程为x-2y-1=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,收),f(x)=a+a=ax,x (x 1) x(x 1)当a之.时,f(x)A0,函数f (x)在(0,收)上单调递增,当 acO 时,令 g(x) =

20、ax2+(2a+2)x+a ,由于 =(2a +2)2 -4a2 =4(2a+1),1 .当a =时, = 0 ,2,-1)2一、f (x) = 2 0 ,函数f (x)在(0,)上单调递减,x(x 1)21 一当 a,时,0,g(x)0,f(x) 0,函数f (x)在(0,收)上单调递减,1.当 ca 0 ,2设为？2(&ex?)是函数g(x)的两个零点,那么x牝W1眨 xzi*1)一1 aa由 a 1 - 2a 1a2 2a 1 - . 2a 1 .由 x1 = 0 ,_a-a所以 xw(0,x1)时,g(x) 0, f (x) 0, f(x) 0 ,函数 f(x)单调递增,xw(x2,z

21、)时,g(x) 0, f (x) 0 ,函数 f(x)单调递减,综上可知,当a之0时,函数f(x)在(0,2)上单调递增；一 1 .当aM-2时,函数f (x)在(0,)上单调递减；业 1(a 1) , 2a 1-(a 1) - . 2a 1当一一a0时,*)在(0,),(,收)上单调递2aa减,在(一(/历1, 一小尸后可上单调递增. aa考点：导数的几何意义,应用导数研究函数的单调性,分类讨论思想 .【名师点睛】此题考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性等.解答本题的主要困难是(II )利用分类讨论思想,结合函数零点,确定函数的单调性.此题是一道水平题,属于难题.在考查导数的几何意义

22、、应用导数研究函数的单 调性等根底知识、根本方法的同时,考查考生的计算水平、应用数学知识分析问 题解决问题的水平,考查转化与化归思想及分类讨论思想.11.2021高考新课标出文数设函数f (x) = ln x x+1 .(I )讨论f (x)的单调性；(II )证实当 xw(1,)时,1!x;ln x(III )设01 ,证实当 x三(0,1)时,1 + (c1)xcx.【答案】(I)当0x1时,f(x)单调递减；(H)见解+析；(田)见解+析.【解析】试题分析二(I)首先求出导函剧尸,然后通过解不等式/(另.或尸(幻0可确定函数了(团的单调性(II)左端不等式可利用()的结论证实,右端将左端

23、的X换为即可证实亨(111)变形所证不等式, X构造新函数,然后通过利用导数的究出数的单调性来处理.1试题详细分析：(I )由题设,f (x)的止义域为(0,),f (x) =-1 ,令f (x 0 , x解得x -1 .当 0cx 0 , f(x)单调递增；当 xA1 时,f(x)0, f(x)单调递减.4分(H)由(I)知,f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f (1)=0 ,所以当x #1时,ln x x1 ,11 一x1故当 xW(1,收)时,lnxx1, ln - 1,即 11 ,设 g(x) =1 +(c1)x cx ,那么 g (x) = c 1 cx ln c .令g (x)

24、 =0 ,解得 =ln clncxx0时,g(x)0, g(x)单调递当x 0, g(x)单调递增；当减.9分c -1由(u)知,1c,故0M% 1 .又g0 斤g =,故当 0xcx. 12分考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证实与解法.【思路点拨】求解导数中的不等式证实问题可考虑：(1)首先通过利用研究函数 的单调性,再利用单调性进行证实；(2)根据不等式结构构造新函数,通过求导 研究新函数的单调性或最值来证实.12.12021高考天津文数】(本小题总分值14分)设函数 f (x) =x3 ax b , xWR,其中 a,bWR(I )求f (x)的单调区问；(H )假设f

25、(x)存在极值点x0 ,且f (为)=f (x0),其中x1 # x0 ,求证：xI +2x0 =0 ;(m)设a0,函数g(x) =| f (x) | ,求证：g(x)在区间-1,1上的最大值不小于L , 4【答案】(I )递减区间为(-恒,恒),递增区间为(血,-蓬),(-施,收).3333(n)详见解+析(田)详见解+析试题分析：(I )先求函数的导数：8 = 31 - -再根据导函散零点是否存在情况,分类讨论：当口 V 0时,有了(窗=3,一恒成立,所以幻的单调增区间为(718上当口0时,存在三个单调区间 (n)由题意得了=3%一口=0即尺.,再由/U)=化简可得结论(in)实质研究函

26、数假设3 最大值：主要比拟/1半I4/(一半)1的大小即可,分三种情况研究当.之3时,3a .彳 一 3a 分32.3a ,一 3a . 3a - 2 J3a-1 1a 3-113343333小业 c -32 3a 2. 3a当 0 a 一时-1 -0时,令f (x)=0,解得x=逼或x =叵.33当变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表:5 一冬)扁 3(5/3a _73a)乒 1T病(3 *)f(x)+0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为(叵,叵),单调递增区间为(_叫二昼), 333,3a,:).(2)证实：由于f(x)存在极值点,所以由(1)

27、知a0且#0.由题意得f (x0) = 3x2 -a = 0 ,即x；=亘3进而 f (x0) = x3 -ax -b = -2x0 -b ,3.38a2a.又f (-2x0)= -8x；2ax0-b=x02ax0-b =x0 -b = f (x0),33由题意及(1)知,存在唯一实数xi满足f (xi) = f (刈),且xi #刈,因此xi = -2x0 ,所以 x1 +2x0=0 .(3)证实：设g(x)在区间-1,1上的最大值为M , maxx,y表示,y两数的最大值,下面分三种情况讨论:当a之3时,_迤1 叵,由(1)知f(x)在区间1,1上单调递减, 33所以f(x)在区间_1,1

28、上的取值范围为f(1),f(1),因此,M = max f (1), f (-1) = max|1 - a - b |,| -1 a - b | = max| a -1 b |,| a -1 - b |所以 M =a 1 + |b| 之 2.a -1 -b,b ,0,a -1 -b,b ： 0,当 32、. 3a.3a .而 d ,2.3a一Wa3HV,-1143333由(1)和(2)知 f (1)之 f(-23a) = f (回),f (1) f(3a)= f(-3a),3333所以f(x)在区间1,1上的取值范围为旁),f(-粤),所以 max| f (3a |,| f (-3a) | =

29、 max| b |,| 空3ab | 3399max| 2a,3a +b |,| 2a-73a-b| =2a5/3a + |b 户？父 3父9999 4当 0a3 时,_i _22a2X3af(丁)=9丁,所以f(x)在区间-1,1上的取值范围为f(1),f(1),因此,M = max f (1), f (-1) = max| -1 a -b |,|1 -a -b | 二 max|1 -a b |,|1.a -b |1二1 f | b |41综上所述,当a0时,g(x)在区间-1,1上的最大值不小于-.4考点：导数的运算,利用导数研究函数的性质、证实不等式【名师点睛】1 .求可导函数单调区间的

30、一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先);(2)求导函数f (x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f (x)0或f (x)0(f (x)0(或 f (x)&0)恒成立问题,要注意是否可以取到.13.12021高考四川文科】(本小题总分值14分)1 e设函数f(x)=ax2-a-lnx, g(x)=,其中qw R, e=2.718为自然对数的x e底数.(I )讨论f(x)的单调性；(H)证实：当 x1 时,g(x) 0;(m)确定的所有可能取值,使得 f(x)g(x)在区间(1, +oo)内包成立.【答案】(1)当x w (0,m)时,f(x)0, f(x)单调递增；(2)

31、证实详见解+析；(3) a=-,+).【解析】试题分析：(I )对求导,对口进行讨论,研究的正负,可判断函数的单调性f (II)要证实 只要证g(骑在(Le上的最小值大于心因此可利用导数求得xG)在久十切上的最小值,就可完成证实II)要证实不等式J7在(10)上恒成立,根本方法是设 X当,1时,i) = 2zEc-i + i-e1-S 万(力二.的解不易确定,因此结合x4 .(I)的结论,缩小的沱围,设g(x)=-二二7 ,并设s(x)=e -x,通过x e xe研究s(x)的单调性得x 1时,g(x)A0,从而f(x)0,这样得出a W0不合题意,一一 11 一 1,一.又0a1 ,且f (

32、+二)x- 1 + 12- 10 ,得此时2xxx x xh(x)单调递增,从而有h(x)h(1) = 0,得出结论.试题详细分析：(I) f (x) =2ax - =ax-(x 0). x x当a 40时,f (x) 0 时,由 f (x) =0,有 x =-. .2a当 x w(0,时,f(x)0, f(x)单调递增. 2a(II )令 s(x)=exx,那么 s(x) =ex,1.当 x1 时,s(x) 0,所以 ex,x ,从而 g(x)=l-二 0. x e(iii )由(II ),当 x 1 时,g(x)0.当 a M0 , x1 时,f (x) = a(x2 -1)-lnx g(

33、x)在区间(1,+8)内恒成立时,必有a 0 .一 1 .1当 0a1.2,2a由(I )有f(1)0,所以此时f(x)g(x)在区间(1,+8)内不恒成立.、,1 .人当 a 之鼻时,令 h(x) = f (x) g(x) ( x 21).11111当 x1 时,h(x) =2ax2e x -x xx xxx3 - 2x 12xx2 - 2x 12-x0.因此h(x)在区间(1,+8)单调递增.又由于 h(1)=0,所以当 x 1 时,h(x) = f (x) g(x) 0,即 f (x) g(x)恒成立.1综上,a一,+笛).2考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性,最值、解决包成立问题