2009年高考试题上海高考数学理含答案解析版

1、2021年全国普通高等学校招生统一测试上海数学试卷理工农医类考生注意:1LJ1 .答卷前,考生务必在做题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码.2 .本试卷共有23道试题,总分值150分.测试时间20分钟.一.真空题本大题总分值56分本大题有14题,考生应在做题纸相应编号的空格内直接写结果,每个空格填对得 4分,否那么一律得零分.1 .假设复数z满足z 1+i =1-i I是虚数单位,那么其共轲复数 z =.2 .【答案】in, a -b = 1【解析】设 z= a + bi,那么a+ bi 1+i =1-i,即 a b+ a+ b i = 1 i,由,解a + b =

2、1J得 a = 0, b= 1,所以 z= i, z = i3 .集合 A=x|xM1, B=x|x之a,且A= B= R,那么实数 a的取值范围是4 .【答案】a<1【解析】由于 AU B=R画数轴可知,实数 a必须在点1上或在1的左边,所以,有 a< 1.4 5 x3.假设行列式1 x 3 中,元素4的代数余子式大于 0,7 8 9那么x满足的条件是.83.【答案】x >-32 m8【解析】依题意,得：-12X9x-24 >0,解得：x>834.某算法的程序框如右图所示,那么输出量y与输入量x满足的关系式是.-2x ,x ：14 .【答案】y = «

3、 'x -2,x . 1【解析】当x>1时,有y=x 2,当xv 1时有y=2x,所以,有分段函数.5.如图,假设正四棱柱 ABCD -AiBiCiDi的底面连长为2,高 为4,那么异面直线BDi与AD所成角的大小是 结果用 反三角函数表示5.【答案】arctan J5【解析】由于AD/AiDi,异面直线BDi与AD所成角就是BD与AQi所在角,即/ AQiB,由勾股定理,得 AiB= 2屈,tan/AiDiB= J5 ,所以,/ AiDiB= arctan J5.一-2 一 一一,-6.函数 y =2cos x +sin 2x的最小值是.6 .【答案】i-亚【解析】f x =c

4、os2x+sin 2x+i = J2sin2x + 土+i ,所以最小值为：i J247.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者,假设用随机变量 e表示选出的志愿者中女生的人数,那么数学期望E： 结果用最简分数表示47 .【答案】一7C5 C2 _ i0Cy 一 2iCl i0【解析】七可取0, i, 2,因此P 之=0 = 5- = , P 之=iC72 2i2.一一P 1= 2=-=一 ,E-=0X +ix + 2X -=-C；2i2i2i2i78.三个球的半径Ri ,R2,R3满足Ri +2R2=3R3,那么它们的外表积Si ,S2,S3,满足的等量关系是.5-8、【

5、答案】宿+ 2£=3&Si =4nRi2,庭=2而Ri ,同理:怎=2而R2百=2阮& ,即Ri =, S2D _ S3-R2 - ? R3 7= ?由 R12/工24工+ 2R2 =3R3得展+2区=3展2 X9.E、 F2是椭圆C :二 a2+与=1( a >b >0)的两个焦点, P为椭圆C上一点,且 b2PF1 1 PF2 .假设 APFiF2的面积为 9,贝U b=9.【答案】3|PFi | + | PF2 |二2a【解析】依题意,有“ PF1 | PF2 |=18,可得4c2+36 = 4a2,即a2c2=9,故有b = 3.222JPF1 |

6、 十|PF2 | =4c10.在极坐标系中,由三条直线一 , 一 冗 一 _ 一 一 一,_ 6=0, 0 = , PcosO十Psin 6 = 1围成图形的面积是3【解析】化为普通方程,分别为:y=0, y= V3 x, x+ y = 1 ,一一,一 13-1的图象如右图,可求得 A ( 12,1积为：一 123 - .33 - 311.当0 Ex三1时,不等式sin之kx成立,那么实数k的取值范围是2f3 - . 3,一),B (1,0),二角形 AOB211、【答案】k<1二 x【解析】作出y1 = s i n与y2=kx的图象,要使不等.二xsin之kx成立,由图可知须 kw1.

7、2 一11( n n、12.函数f (x) =sinx+tanx .项数为27的等差数列 1n,满足an -一,一 ,且公差< 2 2；d #0.假设 f (ai) + f (a2) + + f (a27)= 0 ,那么当 k=是,f(aC = 0.12.【答案】14【解析】函数f (x) =sinx+tanx在(-一,一)是增函数,显然又为奇函数, 函数图象关于原2 2点对称,由于 a +a27 =a2+a26 = = 2a14 ,所以 f(ai)+ f(a27)= f (a2)十 f (a26)= , = f (而)=0 ,所以当 k = 14 时,f (aj = 0.13.某地街道

8、呈现东一西、南一北向的网格状,相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点.假设 以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(2,2), (3,1), (3,4), (-2,3),(4,5), (6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外) 为发行站,使6个零 售点沿街道到发行站之间路程的和最短.13 .【答案】(3, 3)【解析】 设发行站的位置为(x, y ),零售点到发行站的距离为z=2| x + 2 |+ y |2 | 2 X1-3|yI 1-|y'f-4 卜|y+ 3Hx14|y | 5 x+,市+ y六个点的横纵坐标的平均值为一2十3十3一2+6 =2 , 2十

9、1十4十3十5十6上,记 662A (2, 7),画出图形可知,发行站的位置应该在点A附近,代入附近的点的坐标进行比拟可2知,在(3,3)处z取得最小值.14 .将函数y = J4 +6x -X2 -2 (xW b,6)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角0 (0 <0 <a),得到曲线C .假设对于每一个旋转角 0 ,曲线C都是一个函数的图像,那么 «的最大值为.,214.【答案】arctan- 3【解析】由 y=j4+6x_x2 _2得:(X 3) 2+ (y + 2) 2=13, (XW b,6,它的图象是以(3, 2)为圆心,4'13为半径的一段圆弧,设过原点

10、且与曲线 C相切的直线为y = kx,当0 =0时,k= k0ct二一3 ,此时直线的倾斜角为 3 ,即tan 3 =,当切线与y轴重合时,2 2曲线上的点满足函数的定义,即是一个函数的图象,再逆时针旋转时,曲线不再是一个函数3 一2的图象,旋转角为 90 3 ,那么tan (90 3 )= ,即.=arctan4 3二.选择题(本大题总分值 16分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得4分,否那么一律得零分.15 . "2 wa M2是“实系数一元二次方程 x2 + ax+ 1=0有虚根的(A)必要不充分条件(B)充分

11、不必要条件(C)充要条件(口既不充分也不必要条件15、【答案】A2【斛析】= a 4<0时,一2v a <2,由于 2waw2是 一2va<2的必要不充分 条件,应选Ao116 .假设事件E与F相互独立,且P(E尸P(F )=4 ,那么P(EI F )的值等于,、八 ,、111(A) 0(B) 一(C) (D)164216、【答案】B1 11【解析】P(EI F )= P(E )P(F )=父=一4 4 1617 .在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新

12、增疑似病例数据,一定符合该标志的是(A)甲地：总体均值为 3,中位数为4(B)乙地：总体均值为 1,总体方差大于0(C)丙地：中位数为 2,众数为3(D) 丁地：总体均值为 2,总体方差为317、【答案】【解析】根据信息可知,连续10天内,每天的新增疑似病例不能有超过7的数,选项A中,中位数为4,可能存在大于7的数；同理,在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于 0, 表达不明确,如果数目太大,也有可能存在大于7的数；选项D中,根据方差公式,如果有大于7的数存在,那么方差不会为 3,故答案选D.一一 一一2一一218 .过圆C:(x1) +(y1) =1的圆心,作直线分别交x、y正半轴于点A

13、、B,AOB被圆分成四局部(如图),假设这四局部图形面积满足Si + S¥ = Sj + S|,那么直线人8有()(A) 0 条(B) 1 条 (C)2 条 (D) 3 条18、【答案】B【解析】由,得：Siv -Sii =Siii Si,第 II, IV 局部的面JIF积是定值,所以,Siv Sii为定值,即Siii Si,为定值,当直线 AB绕着圆心C移动时,只可能有一个位置符合题意,即直线AB只有一条,应选 Bo三.解做题本大题总分值 78分本大题共5题,解答以下各题必须在做题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤19 此题总分值14分A1 (2, 0, 2),2分如图,在直三棱

14、柱 ABCAB1cl中,AA=BC=AB=2,AB _L BC ,求二面角B1 AC -C1的大小.19, m如图,建立空间直角坐标系那么 A (2, 0,0)、C (0, 2, 0)B1 (0, 0, 2)、C1 (0, 2, 2)设 AC 的中点为 M, BMXAC, BMXCC1;.BM,平面A1C1C即前=1,1,0是平面A1C1C的一个法向量.设平面ABC1的一个法向量是n=x, y,z二(x, y, z),ABi = (-2, 0, 0)44n AB = -2x = 0,n AC= 2x+2y 2z = 0,令z = 1,解得 x=0,y =1n =(0,1,1)设法向量nBM的夹

15、角为邛,二面角B1 -AC -C1的大小为H ,显然e为锐角.n BM1.7：* cos = cos* = TITThK-=,解得 a =一|n“BM23二二面角B1 - AC -C1的大小为-.14 分20 此题总分值14分此题共有2个小题,第1小题?黄分6分,第2小题总分值8分.有时可用函数f (x)=a0.1 15ln ,(x 三 6) a -xx - 4.4 / c、T,(x 6),x -4. . . . . . . . 一 . . . . . . . . . *描述学习某学科知识的掌握程度,其中x表示某学科知识白学习次数(xN), f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知

16、识有关.(1)证实：当x27时,掌握程度的增加量 f (x+1)_ f(x)总是下降;(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121,(121,127,(121,133o当学习某学科知识 6次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科.20.证实0 4(1)当*_7时,f(x 1)-f(x)=(x-3)(x-4)而当x之7时,函数y =(x3)(x4)单调递增,且(x-3)(x-4) >0-：.3分故f (x +1) - f (x)单调递减二当x之7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降：.6分.9分(2)由题意可知 0.1 + 15ln扫一=0.85a

17、 - 6整理得一a二e0.05a - 60.05 e 解得 a =-0056 =20.50X6 =123.0,123.0 W(121,127 .13 分 e -1由此可知,该学科是乙学科.,.,14 分21.(此题总分值16分)此题共有2个小题,第1小题总分值8分,第2小题总分值8分. x22, 一 V,双曲线c: y2=1,设过点A(-372,0)的直线l的方向向量e = (1,k) 2(1) 当直线l与双曲线C的一条渐近线 m平行时,求直线l的方程及l与m的距离;证叫当k呼时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线1的距离为届21. (1)双曲线C的渐近线 m：-x=±J2y=

18、0 ,2二直线l的方程x±j2y +3无=0：6 分-直线l与m的距离d = J6.8分12(2)设过原点且平行与l的直线b: kx y = 0那么直线l与b的距离d = 3f的1k2又双曲线C的渐近线为x土 J2y =0二双曲线C的右支在直线b的右下方,二双曲线C右支上的任意点到直线l的距离为 娓.故在双曲线C的右支上不存在点 Q ,使之到直线l的距离为 乘.证法二双曲线C的右支上存在点 Q (xo, y0)到直线l的距离为 而,kxo -yo +3V2I那么?Fi二商1)-2y0 =2,(2)由(1)得 y0 = kx0 +3立k ±M/l+k2 ,设t = 3、2k

19、_、6L 1 k2当 k , t = 3 2k_ ,6L 1 k2 0：13分将 y =kx0 +t 代入(2)得(1-2k )x0 -4ktx0 -2(t +1)=0 *：'222.k ,t 0,. 1 -2k2 0,-4kt ： 0,-2(t2 1) ：0 2二方程(*)不存在正根,即假设不成立-故在双曲线C的右支上不存在 Q,使之到直线l的距离为爬：16分22.(此题总分值16分)此题共有3个小题,第1小题总分值4分,第2小题总分值6分,第3小题 总分值6分.函数y = f (x)的反函数.定义：假设对给定的实数a(a=0),函数y=f(x + a)与 y = f "(

20、x+a)互为反函数,那么称y=f(x)满足“a和性质；假设函数y=f(ax)与y = f】(ax)互为反函数,那么称 y = f (x)满足“ a积性质.(1) 判断函数g(x)=x2 +1(x>0)是否满足“1和性质,并说明理由；(2) 求所有满足“ 2和性质的一次函数；(3) 设函数y = f(x)(x >0)对任何a >0,满足“ a积性质.求y = f(x)的表达式.22 (1)解,函数 g(x) =x2+1(x> 0)的反函数是 g(x) = yjx-1(x>1).g(x 1) = . x(x 0) w m而 g(x +1) = (x +1)2 +1(x

21、 >1),其反函数为 y =7x1 -1(x>1)故函数g(x) =x2 +1(x>0)不满足“1和性质(2)设函数 f(x) =kx+b(xw R)满足 “2 和性质,k#0./、x-b1x 2 -b 八二 f (x) =(x=R),. f (x +2) =：6 分kk一 x - b - 2k而 f(x+2) =k(x+2)+b(xw R),得反函数 y = x b 2k：8 分kx42-b x - b - 2k由“ 2和性质定义可知 x 2 b = x b 2k对x w R恒成立 kk二 k = 1,b w R,即所求一次函数为 f (x) = x +b(b w R)：.

22、1.分(3)设 a a0 , x0 >0 ,且点(x0, y0)在 y = f (ax)图像上,那么(y0, x0)在函数 y = f(ax)图象上,故 r f (ax0) =y° ,可得 ay.= f (x0) =af (ax0), 12 分f (ay0) = x0, 令 ax0 = x ,贝U a =o 二 f (x0) = f (x),即 f (x) = x0f (x0). 14 分%x°x1kkk综上所述,1=b1q=bn f (x) =(k#0),此时f(ax)=一 ,其反函数就是 y=一,xaxaxn 、 k1而f (ax)=,故y = f (ax)与y

23、= f (ax)互为反函数 . 16分ax23.(此题总分值18分)此题共有3个小题,第1小题总分值5分,第2小题总分值5分,第3小题总分值8分.an是公差为d的等差数列,bn是公比为q的等比数歹U.*(1)右an =3n+1 ,是否存在 m、kwN,有am+am=ak?说明理由；a»(2)找出所有数列an和bn,使对一切nwN ,± = bn,并说明理由； an(3)假设ai =5,d =4,n =q =3,试确定所有的p ,使数列小中存在某个连续 p项的和是数列bn 中的一项,请证实.23 .解法一 (1)由 am +am =ak,得 6m + 5 = 3k+1, 2

24、分4整理后,可得 k -2m=-,m, k w N,k 2m为整数,3二不存在m、k e N *,使等式成立.5分假设a±=bn,即=bqn,(*)aa1 (n -1)d(i)假设 d =0,那么 1 =b,qn,=bn.当 an 为非零常数列, bn 为恒等于1的常数列,满足要求.7分a nd(ii)假设d =0, (*)式等号左边取极限得lim a1=1 , (*)式等号右边的极限只有n-/: a1 (n -1)d当q =1时,才能等于1.此时等号左边是常数,d = 0,矛盾.综上所述,只有当小为非零常数列,bn为恒等于1的常数列,满足要求. 10分【解法二】设an =nd+c,假设 =4,且匕为等比数列 an那么包_老/%± =q,对n w n*都成立,即anan42=qa2n中 an 1 an二(dn +c)(dn +2d +c) -q(dn +d +c)2 对nw N濡BJdi, a2 = qd2.7分一. 一' 一 一 *右 d=0,那么 an =c =0,二 bn =1,n 二 N(i