专题椭圆中地定点定值问题

1、实用标准文档221.椭圆C: x2 4 = 1a b(1)求椭圆的标准方程；(2)动直线 l过点F,椭圆中的定点定值问题(a>b>0)的右焦点为F (1, 0),且(1, )在椭圆C上.2且与椭圆 C交于A、B两点,试问 x轴上是否存在定点Q,使得222解：(I) +-y- =1ry- + x2 = 1 ；422(n)直线MP勺方程为y= kx-J2 ,联立椭圆方程得.：QA QB =-工恒成立？假设存在,求出点 Q的坐标；假设不存在,请说明理由.16解：(1)由题意知c=1.由椭圆定义得2a = j(11)2十(仔)2+日,即a= J2 -3分2,b2 =21=1,二椭圆 C方程

2、为人+ y2 =1.2(2)假设在x轴上存在点 Q (m, 0),使得 QA QB = 二恒成立.16当直线l的斜率不存在时,A (1, ), B (1,由于(1-5 ) -(1-=-,224 24, 21655 T* i 7所以m=,下面证实m =一时,QAQB=值成立.44165- 57当直线 l 的斜率为 0 时,A (亚,0) B ( -J2 , 0)那么(J2 , 0) ( -V2 , 0)= ,4416- 22x y =1224 42 ,消去 y 得(2k +1)x 4&kx=0,y = kx 7； 2P:(4.2k 2,2k2- 2又k' = 4k,那么点Q为:那

3、么直线PQ的方程为:2 2k2 - . 2、一 2k2 1即当x=0时,3.,椭圆(),同理可得点 Q的坐标为:4.2k 8,2k2- 2一 2, 一 28k2 18k2 1_ 22k2 14 2k22 k2 1),符合题意.当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=ty+1 , A(x1,y1),B(X2,y2),由 x=ty+12及二 十y2 =1 得(t2 +2)y2 +2ty -1 =0有 >0 , y1 22t丫2 = 一1,1丫2 =1；t2 2, Xi =ty1 +1, x2 =ty2 +1,5、,5、,1、,1、, 2 .1 ,、1. (x -二,y1)(x2 - -,

4、 y2) =(ty1 )(ty2 一二)y1y2=(t 1) yy2 -二 t(y1y)=4444416_ 2_2« 1)>1t g二一2 t Jt2 2 4 t2 2 162(t2 2)16综上所述：在x轴上存在点5Q ( 一 , 0)使得 QA QB =4716恒成立.16那么xP=a2k ,那么点p的坐标为P 2k2 1c /212k 2k2-22、Q : (-2,2),k 2 k 2872k2- .-2 2. 2k2- -2kPQ =8k2 12k2 14. 2k 4、5k228k 1 2k 1&lk),即2k2 1),化简得y=x + J2,2ky = J2

5、,故直线PQ过定点(0,J2) .C 过点 A (1,)2,两个焦点为(-1, 0), (1, 0).,12k(1)求椭圆C的方程；(2) E, F是椭圆C上的两个动点,如果直线 AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证实直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.解：(1)由题意,c=1 ,可设椭圆方程为 一r-i一1 ,解得b2=3, b2 1+b222所以椭圆方程为+三二,(2)设直线AE方程为：y=k (1-1) +亍22代入手+三二 1 得(3+41?)(3-2k) x+4 (k) 2-12=0 ,设 E (xe, yE) , F (xf,yF),由于点人(1, 在椭圆上,(舍去)42.如图,

6、中央在坐标原点, T2的离心率均为叵.2焦点分别在x轴和y轴上的椭圆工,T2都过点M (0, -V2),且椭圆与(I)求椭圆T；与椭圆T2的标准方程；(n)过点M引两条斜率分别为 k, k的直线分别交T1, T2于点P, Q 当k' = 4k时,问直线PQ是否过定点？假设过定点,求出定点坐标；假设不 过定点,请说明理由.文案大全所以由韦达定理得:曲(3-2k)3+4 k 242-12,义5=2匕 23+4k24 1 - k)所以一一.3+4kz2-12+-|-k .又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,实用标准文档在上式中以-K代K,可得2-123 kxF+-+k 士1所以直线EF的

7、斜率VEFk (xp + Kg) +2kT'得尸卜升2)x= - 31 ,即有k取何值,N的横坐标均为-3,那么点N在一条定直线x=-3上.y=TF XE二即直线EF的斜率为定值,其值为 工2224.椭圆E: +2 a1 (a>b>0)经过点(0,血),离心率为 近,点O为坐标原点.3225.椭圆 C:二+Z_=1 (a>b>0).2 .2a b(1)假设椭圆C过点(-3, 0)和(入用,工)3(I)求椭圆E的标准方程；(n)过左焦点F任作一直线l ,交椭圆E于P、Q两点.(i )求而？而的取值范围；(ii )假设直线l不垂直于坐标轴,记弦 PQ的中点为 M过F

8、作PQ的垂线FN交直线OM于点N,证实: 点N在一条定直线上.解：(I)由题意可得 b=/2, e=色,a 3求椭圆C的方程；假设过椭圆C的下顶点D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆 C相交于点P, M求证：直线PM经过 一定点；(2)假设椭圆C过点(1,又a2-b2=c；解得a=Y& c=2,即有椭圆方程为(n) (i) F(-2, 0),当直线的斜率不存在时,=1;P (xi, yi), Q(X2,(-3) 22解：(1).椭圆C:三 ay2),直线方程为x= - 2,可得P ( - 2,Q(一2,(W2)2 (3)2,解得 a=3, b=1,而？ 0Q=4-二上； 当直线的斜率存在

9、,设 l: y=k(x+2),设 P (xi, yi) , Q(X2, vD ,=1代入椭圆方程x2+3y2=6,可得(1+3k2)x2+12k2x+12k2 - 6=0, x+x2= 一12k212k2 -6x1x2=厂,l+3kz2OP? 0Q=x1x2+y1y2=x1x2+k (x+2) (x2+2)=(1+k2) x1x2+2k2 (x+x2)+4k2= (1+k2)?12k2 -6l+3k2+2k2? (J) +4k2l+3k2椭圆C的方程=1 .9证实：由题意得 PD MDW斜率存在且不为 0,设直线PD的斜率为k,贝U PD y=kx 1,由、l+3k23 3k,由 k2>

10、0, 3k2+1> 1,可得6<OP?而理,3y=ky - 1J 2 ,得k+y 二19k 2 - 1l.Sk9k2+l9k2+lk2+9丝),用-a代k,得9k2+1kM*Xk2+9H+9综上可得,OP?5的取值范围是-6,里;318k(ii )证实：由直线l的斜率一定存在,且不为0,可设 PQ y=k (x+2), FN y= - (x+2),设18k9k2+l k2+9k2-10kPM:9- k2 k218kk2+9、 中央 ,12k2 一(x.,y.),贝U xc=, 由 x1 +x2=可得2l+3kz-6好xc=X,l+3kzk2- y=10k解：(2)yo=k (xo+

11、2)=2k3k2+l,直线 OM的斜率为k0M=- -,直线 OM y=-x, x0 3k3k文案大全(0,当椭圆C的中央到右准线的距离a£-b2 2.a2-la2-b2,1, 由 a=1 ,得b?4a241实用标准文档令 t=a2- 5, t >0,贝U 小_("4)N+义+9封2.理+9=m+9, 当且仅当t=2代,相二5+2灰时,等号成立,椭圆C的中央到右准线的距离的最小值为 V5+2x2 y2._. a6.椭圆 二十°,=1(a >b >0 )的右焦点到直线1:x=的距 a bc(1)求椭圆方程；222222(2)点M (Xo, y

12、76;)在圆x+y = b上,M在第一象限,过 M作圆x十y = b的切线交椭圆于 P、Q 两点,问|F2P|+|F 2Q|+|PQ|是否为定值？如果是,求出定值,如不是,说明理由.离为OP,A, B是椭圆上的两动点, 动点P满足 3解：(1) ;右焦点为F2(1,0), ,二c=1,左焦点为E(1,0),点H(1,-)在椭圆上22a =HFiHF2 =(1 1)222)(1-1)2十伐 22)a _ 2, J 22a2,b= a - c= OA + ZOB,(其中九为常数).(1)求椭圆标准方程；(2)当九=1且直线AB与OP斜率均存在时,求kAB|+|k0P的最小值；(3)假设G是线段AB

13、的中点,且kOA kOB = kOG 'kAB ,问是否存在常数九和平面内两定点M , N ,使得动点P满足PM +PN =18,假设存在,求出九的值和定点M , N ；假设不存在,请说明理 由.2所以椭圆方程为4设 P(x1,y1 ),Q(x2,y2)2X14PF2 2 =(X1 - 1 f + y12 =(X1 - 1 f + 3(12Xi12)=;(X1-4)解：(1)由题设可知：右焦点到直线22a , 一 、 . a1:x=的距离为： ccc4 5 p c二一,又一=5.222,b = a c ,3连接OM OP由相切条件知.2.、一b =4 .,椭圆标准方程为9设 A(X1,

14、y1),B(X2,y2 )那么由2=1.OP = OA+OB得 P(K +&,% +y2 ).PM22_22=|OP | - |OM | = X1, .11,PF2 + PM =2 Xi + Xi11222-2y1 一 3 = Xi3(12Xi)-3T2Xi1| PM =XiQF2 +|QM| =112x2x2 = 222kAB 曝="一"X1 -X222,yV2 y1 -y24_22x1x2x1 一裕 9所以 F2P+|F2Q+|PQ=2+2=4为定值.由 kAB4 0,二X导,|k AB | * kOP I - 2/1 kAB kOP1=3,当且仅当kAB =

15、±2时取等号328.分别过椭圆E:2 a=1 (a>b>0)左、右焦点 R、F2的动直线11、12相交于P点,与椭圆E分小2X2j X1Xy2 -yf4=一22_X1 -X29一kOA kOB =一 9.4取2+9丫1丫2 = 0 .别交于A、B与C D不同四点,直线OA OB OC OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4,且满足 当1i与x轴重合时,|AB|=2£, |CD|=*/3 1k1 + k2 = k3 + k4,设 P (x, y ),那么由 OP = OA + KOB ,得(x, y )=( x , y1)+ Ox2, y2 )=(x1 + 九X2

16、, y + 九y2 ),=x1+ *"2, y = y+,'2 .由于点 A、B 在椭圆 4x2+9y2=36 上,所以 4x2 +9y2 =36+36儿2 +2九(4x1X2 +9y1y2 ).所以 4x2 +9y2 =36+36九2.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在定点 M N,使得|PM|+|PN|为定值？假设存在,求出M N点坐标, 假设不存在,说明理由.解：(1)当 l1与 X 轴重合时,k1 + k2=k3+k4=0,=1,所以P点是椭圆22x y2 +-2 =1上 的点,99,44,即 k3=- k4,1 2垂直于 x 轴,得 |AB|=2a=2 如,|CD

17、|=2二生叵a 3设该椭圆的左、右焦点为 M,N ,那么由椭圆的定义 PM +PN =18得18 =2$9 + 9九2 , 九=2五,M (375,0 ), N (-375,0 ).7.椭圆2二2ab23= 1(a >b >0)的右焦点为 F2(1,0),点 H (1-)2L L22解得a=V, b=&,椭圆E的方程为二1.3 2(2)焦点Fi、F2坐标分别为(-1, 0), (1, 0),当直线1i或l 2斜率不存在时,P点坐标为(-1, 0)或(1, 0),当直线1i, 12斜率存在时,设斜率分别为m, m2,在椭圆上.文案大全实用标准文档设 A (xi, yi), B

18、(X2, y2),由,6m广工t十工厂 2+3叫-1-=XI x22'ki+k2=ks+k4, .1尸Ell(Hl)L 13mJ -629,2+3roJ叫之-2一叫2-2,得2+3 叫 2耳2+6叫2工+3叫26=0,k3+k4=-11)2=0,由题意知 m*n2, 1-mn2+2=0,设 P (x, y),那么y2=0,由当直线l 1或l 2斜率不存在时,P点坐标为-即二 1,xw± i,J也满足,点P x, y点在椭圆,存在点N其坐标分别为(0, -1)、(0, 1),使得 |PM|+|PN|为定值2、粒.9.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C:R X0, y.是椭

19、圆C上的任一点,从原点O向圆RX-X02+ (y yo)2=8作两条切线,分别交椭圆于点1假设直线OP OQM相垂直,求圆 R的方程；2假设直线OP OQ的斜率存在,并记为 ki, k2,求证:3试问oP+oQ是否为定值？ 假设是, 求出该值；假设不是,解：1由圆R的方程知,圆 R的半径的半径r=2&, 由于直线OP, JQM相垂直,且和圆 R相切,所以 |0R| = 6r=4,即 x j+y/二16,又点R在椭圆C上,所以巳Q联立,解得2由于直线所以同理24 120二±2&w _所以所求圆R的万程为於2+：y o - 一 V z *OP: y=kiX, OQ y=k

20、2x,与圆 R相切,(y±272)2=8(x- >：0) 2+ (y(l+k22) J -2 ,化简得l+kj24+2与%奸/沁/-8=0兀二g2M+2k2小叶力,打'一8二0,ki , k2是方程 X02 - 8 k2 - 2x0yOk+y02 - 8=0的两个不相等的实数根,24ac c y02a2a-8.,由于点Rx°, y°在椭圆C上,所以文案大全224 一工工2.需1,即玲12-1,所以小尸一二一/,即2k1k2+i=0.3 oP+oQ是定值,定值为 36,理由如下：法一：i当直线OP, 0区落在坐标轴上时,设 P xi, yi, Q X2

21、, y2,联立,y=ki x2224 12解得224所以：24 (1+kJ)l+2k12,同理,得24 (l+k22)l+2k/kik2=j, 24 (1+kJ) 24 (l+k22)右r一)24 (L+kJ) 24(1+(-土)l+2k122)236+72 k/l+2k22l+2k/1+2 (一布l+2k12=36ii 当直线E落在坐标轴上时,显然有OP+OQ=36,综上：OF+OQ=36.法二：i当直线OP, OQ落在坐标轴上时,设 P xi, yi, QX2, y2, , 2Vly2由于2kik2+1=0,所以由于P xi, yi, QX2, 12,在椭圆C上,所以所以12士2(22町2

22、4+12222T2 团运2-1 n _ 12V 广 12 -Xiif12-4豺二翥湾,整理得号+4於24,所以12-J=12,所以 oP+oQ=36.ii 当直线 OP OQ落在坐标轴上时,显然有 OP+OQ=36,综上：O/+OQ=36.22i0.椭圆C： W+W = iaAb>0,左焦点F«,0,且离心率 a bi求椭圆C的方程；2假设直线l： y = kx+m k#0与椭圆C交于不同的两点 M, N M, N不是左、右顶点,实用标准文档且以MN为直径的圆经过椭圆 C的右顶点A .求证：直线l过定点,并求出定点的坐标.fI-c='3cx2解：(1)由题意可知<

23、e=c=3 ,解得a =2, b=1所以椭圆的方程为 土+ y2=1.a 242.2,2a =b +cy = kx m22_2由方程组?x2得(4 k+1)x+8kmxMm-4=0,由于直线z,=1222_22所以& = (8km) -4(4k +1)(4m 4)=0,即 m=4k+1.l与椭圆C有且仅有一个公共点,jy = kx m(2)由方程组<x22+ y =1、4一 222. : =(8km) -4(1 4k )(4m设 M (x1,y1), N(x2, y2),那么得(1 +4k2)x2 +8kmx + 4m2 -4=0,-4) >0 ,整理得 4k2 -m2 +

24、1 >0 ,2,8km4m -4Xi x2 = 2, XiX2 = 214k14k由,AM _ AN,即AM AN=0,又椭圆的右顶点为A(2,0),所以(x1- 2)(x2- 2) y y?= 0 ,- y1y2 =(kx m)(kx2 m) =k 44 km(x1 x2) m , (1 k2)x1x2 (km -2)(x1 x2) m2 4 = 0 , 42即(1 +k2) 2- +(km -2) +m2 +4=0.1 4k21 - 4k2整理得 5m2 +16mk +12k2 = 0 ,解得 m 二 一2k或 m = -生 均满足 4k2 -m2 +1 > 0 .5当m =

25、-2k时,直线l的方程为y=kx2k ,过定点(2,0),与题意矛盾,舍去;由方程组, 2X y得(k2+1) x2+2kmx+m r2=0,那么 1A2 =设 P1(X1, y., P2(X2, vD ,那么 x1 十 x2设直线OF, O股的斜率分别为 匕,k2,k2(kx1 m)(kx2 m)x1x2x1x222m -r 1-2km22 km mk2 1 k2 122m 一 rk2 1要使得k*2为定值,那么所以当圆的方程为 x2+y2=5时,_2222(2km) - 4(k1)(m - r ) 0 .k2x1x2 km(x1 x2) M222. 2m -r k2m 一 r11 一 r2

26、 ,即 r2=5x1x2将m2=4k2+1代入上式,得验证符合题意.圆与l的交点P1,B满足k1k2为定值当直线l的斜率不存在时,由题意知 l的方程为6k当m =时,直线l的方程为5此时,圆x2+y2=5与l的交点R, P2也满足k1k2 =x=± 2,1-.422kk J4一 r )k 1 1 2 4k2 (1- r2)故直线l过定点,且定点的坐标为(6,0).52211.椭圆C：二=1(a Ab A0)的离心率为 a2b2综上,当圆的方程为 x2+y2=5时,圆与l的交点R, P2满足斜率之积kk2为定值二4(I )求椭圆C的方程;,点A(1,)在椭圆C上, 22O为坐标原点.2

27、2212.椭圆C：三十 = 1(aAbA0),经过点(1,4),且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直 a b2(n)设动直线l与椭圆c有且仅有一个公共点,是否存在圆心在坐标原点,半径为定值的定圆C,角三角形.(1)求椭圆方程;使得l与圆C相交于不在坐标轴上的两点 为定值,假设存在,求出定圆的方程并求出P , P2 ,记直线OP , OF2的斜率分别为K, k2 ,满足k1 k2 k k2的值,假设不存在,请说明理由.a2=b2+c2,又由于点A(1,)在椭圆C上,所以12 +2 =1, 2a2 4b21(2)过椭圆右顶点的两条斜率乘积为 -的直线分别交椭圆于 M, N两点,试问：直线 MN是否过

28、 2定点？假设过定点,请求出此定点,假设不过,请说明理由._2解得a=2, b=1, c=&所以椭圆C的方程为 +y2 =1. 4(n)结论：存在符合条件的圆,且此圆的方程为x2+y2=5.证实如下：假设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为x2+y2=r2 (r>0).当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+m.解：(1)根据题意2a2a2b2,22=b ca/2二义 +y2 = 1.b = 12文案大全当MN的斜率存在时,设MN :y=kxm 2、2,-2-c22 n(1+ 2k )x + 4kmx+ 2m -2=0,x 2y = 2实用标准文档_ 22 =8(2k -m 1

29、) 04 km .x1 + x2 = 2,kMA 'kNA1 2k22m2 -2yiy2kx1 m kx2 m 1所以在x轴上存在定点E (-3、二 n F5,0)使得EA十EA,AB为定值,且定值为92215.椭圆具有如下性质：假设椭圆的方程为+_y2=1(a>b>0),那么椭圆在其上一点 A( %, y0)a bx1 x2 =2-1 2k2 (2k2 1)x1x2 (2km - ,2)(x1 x2) 2m2 =0= m2 . 2km=0二直线MN y =kx过定点(0,0),当MN斜率不存在时也符合,即直线m = 0或m = -V2k (舍).MN恒过定点(0,0).处

30、的切线方程为 W +岑=1,试运用该性质解决以下问题：椭圆 a2 b22一 x 2_ C1：+ y =1和椭圆222614.椭圆C:冬+与=1由Ab >0)的离心率为,以原点O为圆心,椭圆 C的长半轴为半 a b3径的圆与直线2xJ2y+6=0相切.(1)求椭圆C标准方程；(2)点A, B为动直线y =k(x 2)(k 00)与椭圆C的两个交点,问：在 x轴上是否存在点 E ,2使EA +EA AB为定值？假设存在,试求出点 E的坐标和定值,假设不存在,说明理由.解：(1)又以原点,. 6 /口 c , 66由 e =倚一=,即 c = a 3 a 33O为圆心,椭圆C的长轴长为半径的圆

31、为2C2 :十y?=九(九a 1,九为常数).4(1)如图(1),点B为C,在第一象限中的任意一点,过B作C1的切线l ,半轴交于C,D两点,求AOCD面积的最小值；(2)如图(2),过椭圆C2上任意一点P作C1 的两条切线PM和PN ,切点分别为 M , N , 当点P在椭圆C2上运动时,是否存在定圆恒 与直线MN相切？假设存在,求出圆的方程；假设 不存在,请说明理由.解：(1)设B(x2,y2),那么椭圆C1在点B处的l分别与x轴和y轴的正且与直线2x J2y+6 = 0相切,所以 a =22 (- 2)2=46代入得c=2,所以b222=a2 c2 =2.所以椭圆C的标准方程为 工+岂-

32、=1 62切线方程为x y2 y - 12人-1 人一2一、,一支 x 0, yD =, v y 0, xc =,所以 aocdy2x222L =1 口 2 2226 62 得(1+3k )x -12k x+12k -6=0y =k(x -2)2又点B在椭圆的第一象限上,所以x2 > 0, y2 > 0,区十2y2 = J_2x2 y222x22y2 = 1 1 = y2 _12k212k2 -6枚 A(x1,y1 B(x2,y2所以 x1 "2 "K,x1x2 =03丁s%cd =-1-=-,当且仅当 多=y；ux2 y2222,2所以当B(1,二)时,三角形

33、OCD的面积的最小值为2X2根据题意,假设x 1上存在1点J(, 0), tEA AB =(EA + AB) EA=EA EB为定值.那么 EA EB =xi- m, y,iix2- m, y2= (x1- m)x2 - my1y2=k2 1 x1x2 r；2k2 , m x1 x2 广,4k2 m2 =3m2 -12m 10 k2 - im2 -61 3k2要使上式为定值,即与 k无关,3m212m+10 = 3(m2 -6 ),彳m=7-3丁2 725此时,EA EA AB =m2 -6 = -一,9文案大全-2y2 = 1设P(m,n),那么椭圆C1在点M (x3,y3)处的切线为：&a

34、mp;x+y3y=12又PM过点P(m, n),所以四m + y3n = 1,同理点N (x4, y4)也满足“4 m+ y4n= 1 22xx所以M , N都在一m+ yn=1上,即直线MN的方程为一 m+yn=1 ,又P(m, n)在C2上, 222m+ n2 =九,故原点O到直线MN的距离为：d = 4所以直线MN始终与圆x2+y2 =相切.1-2m 2n41=忑'实用标准文档16.直线y=x+1被圆x2 +y23x2 y2截得的弦长恰与椭圆 C : -y +与=1(a>b>0)的短轴长相2a2 b2等,椭圆C的离心率e=.2(I)求椭圆C的方程；一、一 1.(n)过

35、点 M (0,)的动直线3i交椭圆c于a,b两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点在,求出A, B的坐标,假设不存在,说明理由.解：(1)设椭圆半焦距为 c,_JL圆心O到l的距离d=V ,那么l被圆O截得的弦长为2,所以b=1, 金 £ £由题意得e= 2,丁 b= 1, a2 = 4, b2= 1 .,椭圆E的方程为4+1 = 1.T ,使得无论l如何转动,以 AB为直径的圆恒过定点 T ?假设存在,求出点 由.T的坐标,假设不存在,请说明理解：(I)由题设可求得 b=1,又2x 2C的方程是+ y = 1 .2(n)假设直线l与y轴重合,那么以AB为直径的圆为2 ,

36、2x y =1,假设直线l垂直于y轴,那么以AB为直径的圆为x2 +(y +1)2 =,由 392 ,2 dx y =121 2x (y )= 316,X = 0解得i ,由此可知所求点 T如果存在,y = 1只能是QD.事实上点t(0,1) 就是所求的点,证实如下：当直线l的斜率不存在,即直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆为2 .2x y =1过点 t(0,1)； 当直线l的斜率存在,设直线方程为 y = kx -1 ,代入椭圆方3程并整理得_ 2-2(18k9)x-12kX16=0,设点 A B 的坐标为 A(x1, y1), B(x2,y2),(2)设 P (xi, yO, Q (x2

37、, y2),直线 1i 的方程为：y=kx + m.(F=kjc 十 it,J=L222一 1 消去 y得(1 + 4k2) x2+8kmx+ 4m24=0.Skmim14xi + x2= 1 +4k , xi x2=l+4k . 土k' “+一|PQ| =41+V . |xi x2| =l + 4k:.原点O到直线11的距离d="l+",那么Saopa2|PQ| - d=l + 4k：=1, 2|m| 小十"U = 1 + 4k；令 1+4k2=n,2|m| W=n,1. n = 2mi, 1 + 4k2=2m2.ii+ij 4kmyi+yj m: N为

38、 PQ中点,xn= : =一】一4k , yN= 2=14k ,2k 1 xj= 1 + 4k?= 2m2,. xn= m , yN = 2工.,二 + 2y =1.y.假设x轴上存在两定点 A (s, 0), B(t, 0) (swt),那么直线NA的斜率 匕=七一5 ,12k2 r18k9一16uv,由于 TA = (Xi,yi 1),TB =(X2,y2 -1),x x2 -218k2 9m、一,2 ,4,16所以有 TA TB =x1x2yly2一(y1y2)1 =(k1)x1x2k(x1x2)-39-16k2 -16 -16k2 32k2 1618k9所以TA _LTB ,即以AB为

39、直径的圆恒定过点 T(0,1),综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.直线NB的斜率k2 =总一工,2yl 1 1 2 1 一2k1k2=(右一写)" CxlC =2 £一(5一工)薜一八=4 r；一(写十工)及十5工.1当且仅当 s+ t = 0, st = 2 时,k*2= 4 ,那么 s = $ , t =神.综上所述,存在两定点 A (-爪,0), B (术,0),使得直线NA与NB的斜率之积为定值.22118 .在平角坐标系xOy中,椭圆C :T + W = 1(abA 0)的离心率e=,且过点(0/3),椭圆Ca2 b2217.直线 l : y

40、=x+乖,圆 O: x2+y2=4, 线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.(1)求椭圆E的方程；(2)动直线1 (斜率存在)与椭圆 E交于 线段PQ的中点,问：在x轴上是否存在两个定点椭圆E： a'+匕,=1 (a>b>0)的离心率 e= 2 ,直的长轴的两端点为 A, B,点P为椭圆上异于 A, B的动点,定直线 于M , N两点.(1)求椭圆C的方程；(2)在x轴上是否存在定点经过以 MN为直径的圆,假设存在,求定点 坐标；假设不存在,说明理由.x= 4与直线PA, PB分别交文案大全P, Q两个不同点,且 OPQ的面积Sa op-1,假设N为A, B,使得直线NA

41、与NB的斜率之积为定值？假设存实用标准文档解：(1) 22, 22 c a - be=-2a ab2 =314n *b2 =322,椭圆C的方程为+- = 1;43从而 x1 y2 X2 y1 = 2(% y2 ),从而 k2 =y3 - y4X3X4PB的斜率分别为,_y0y0k2, P(x0,y°),那么 K =0三,k2二,Xo 2Xo - 2y2x2 -43(12Xo4y14y2X1 - 5 X2 - 55x1 - 9 5x2 - 9x1 - 5 x1 - 5xy2 x2y 5(y 一 y4( X1 X2 )x2 -42 4 -x；34x02 -4由 Ipa ： y = k(

42、x+2)知 M(4,6k1),由做= 7(y1 - y2)=独,故k1 -组 =0 ,从而存在满足条件的常数 九,4 = -.4(x1 - X2)4772220.如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆C的标准方程为 +y- = 1直线|与x轴交于点E ,62y =k2(x2)知 N(4,2k2),以MN为直径的圆的方程为MN 的中点 G(4,3k1 +k2),2_21_2_2(x-4)(y-3kl-k2)(6k1 -2k2) =(3kl-k2),4令 y=0,x28x+16+9k12+6k1k2 += 9k； -6k1k2 k2 ,223x _8x+16+12k1k2 =0 , . . x 8x

43、+16+12 父( )=0 , 4即x2 8x+7=0,解得x = 7或x=1 , 存在定点(1,0) , (7,0)经过以MN为直径的圆.19 .如图,在平面直角坐标系 xOy中,F1、F2分别是椭圆2E：三a= 1(a>b>0)的左、右与椭圆C交于A, B两点.焦点,A, B彳别是4岬 号的左、右顶点,D(1,0)为线段.52的中点,且 AF2 +5BF2 = 0.(1)求椭圆E的方程；(2)假设M为椭圆E上的动点(异于点 A、B),连接MF1并 延长交椭圆E于点N ,连接MD、ND并分别延长交椭圆 E于 点P , Q ,连接PQ ,设直线MN、PQ的斜率存在且分别为 k1、

44、k2.试问是否存在常数 九,使得k1十八k2 =0恒成立？假设存在, 求出K的值；假设不|存在,耳明牛由. )T解：(1) AF2 +5BF2 =0, . AF2 =5F2B,: a+c=5(a c),化简得 2a=3c,点D(1,0)为线段OF2的中点,c=2,从而a=3, b = J5,左焦点F1(2,0),故椭圆E的方程022为 人十匕=1 ； (2)存在满足条件的常数95Q(x4,y4),47,设 M(x1,y1),N(x2,y2), P(x3,y3),2那么直线MD的方程为x = 1y+1,代入椭圆方程x-+ 5=1,整理得,5 一 x1-3二 y1(x1 -1)同理,点x1 -55

45、x2 -9Q(t x2 -5y14y1, 丫3 =； x1 -595x1 -9,从而X3 =x1 -5,故点P(文案大全2y1-4), .三点 m,e,n共线, x2 -5y15x1 -9 x1 -5 y2x12x2 2 '2 x1 11L y2 y 4 = 0 , y14y1 )x1 -5(1)假设点E的坐标为1乂3 0 ,点A在第一象限且木It坐标为 J3,连结点A与原点O的直线交椭圆 I2 IC于另一点P ,求APAB的面积；11._. 一(2)是否存在点E ,使得 一2 +2为定值？假设存在,请指出点E的坐标,并求出该定值；假设不EA2EB2存在,请说明理由._22解：(1)将

46、x= J3代入£十工=1 ,解得y = ±1,因点A在第一象限,从而 A(J3,1),由点E的 623223坐标为(-1,0),所以kAB = n,直线PA的万程为y = 7g(x-2"),联立直线PA与椭圆C的万37程,解得B(,),又PA过原点O ,于是P(-V3,-1) , PA= 4 ,所以直线 PA的方程为 55一直十叫二553/31373 6/3*一.3丫 = 0,所以点 B 到直线 PA 的距离 h = , SPAB = '42525511(2)假设存在点 E ,使得 一2+2为定值,设E(x0,0),EA2 EB2实用标准文档1当直线AB与

47、x轴重合时,有一-EA21EB7_212 2x0(%-6)2 ( .6 xO)2(6 -x02)21当直线AB与x轴垂直时,一2 EA1+ 2EB222(1 -9)666 - x.2由 12 2%2(6 -x02)26 -x0211 、,2 +2为7E值2.EA2 EB2,解得x06 -x02=2 ,所以假设存在点E,此时又设直线AB的方程为根据对称性,只需考虑直线AB过点E(J3,0),设A(xi,yi),化简得(m2 +3)y2 +2*my3=0,所以 y1所以二EA2(xi -EB13)2y；1C联立方程组,2 3my2 =2 c, y y2m 3122 1(m 1)y1B(x2, y2),直线ME的方程为y_y2=23(xx2),令y=0 ,得x=x2¥生二上) , x2 -x1y2 y1将 y1=k(x4), y2 = k(x2-4)代入整理,得 x= 2x1x2 -4(x1 * x2).x x2 - 822,由得 x,+x2=2, x1x2=2代入整理,得 x- 1 ,4k 1 4k 1所以直线ME与x轴相交于定点(1,0).22.椭圆C的中央在坐标原点,短轴长为4,且有一个焦点与抛物线y2= 4j5x的焦点重合.(1)求椭圆C的方程；(2)过定点 M( 2,0)且斜率