三角形四心向量表示

1、实用标准三角形四心的向量问题三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式一. 知识点总结1) O是 MBC 的重心 u OA +OB+OC=6；1假设O是MBC的重心,贝U班"0c ="ob =33BC故 OA OB OC =6；PG =1(PA+PB + PC) u G 为 AABC 的重心. 32) O是 AABC 的垂心 u OA OB =OB OC =oC OA ；假设O是MBC (非直角三角形)的垂心,那么 S相OC： S&OC： S&OB =tanA:tanB:tanC故 tanAOA tan bOB tanCOC =6 22 23)

2、 O 是 AABC 的外心 U | OA |=|OB |=|OC | (或 OA =OB=OC )假设O是MBC的外心贝iJS boc： S.aoc： S aob =sin BOC：sin AOC：sin AOB =sin2A:sin2B:sin2c故 sin2AOA sin2BOB sin2COC = 64) O是内心 Mbc的充要条件是AB ACOA ( |AB | AC一 BA BC)=OB ()|BA | |BC | CA CB=OC (一-)=6|CA | |CB |引进单位向量,使条件变得更简洁如果记 AB,BC,CA的单位向量为劭2通3,那么刚刚 O 是 MBC内心的充要条件可以

3、写成O A (e1 e3) = 0 B (e1 e2) = O C (e2 e3) =6精彩文档实用标准O是AABC内心的充要条件也可以是 aOA +bOB +cOC =0假设 O是 MBC 的内心,贝 U S 膏C： S/OC ： SOB =a： b： c故 aOA bOB cOC =政 sinAOA sinBOB sinCOC = 0；| AB| pC+|bC| PA+|CA|PB =0 P AABC 的内心；向量九/B+AC九.0所在直线过AABC的内心是/BAC的角平分线所在直 |AB| |AC |范例一.将平面向量与三角形内心结合考查例1. O是平面上的一定点,A,B,C是平面上 不

4、共线的三个点,动点 P满足 AB ACOP =OA +九广=i +尸司,九W 0,收那么P点的轨迹一AB ACA外心B内心C重心D垂心解析：由于咎是向量ABAB的单位向量设与AC方向上的单位向量分别为ei和金,又OP -OA = AP ,那么原式可化为定通过MBC的AP=Me +备,由菱形的根本性质知 AP平分/BAC,那么在 MBC 中,AP平分/BAC , 那么知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新奇、陌生,首先答是什么？没见过！想 AB想,一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的根本知识,如向量的加减法、向量的根本定理、菱形的根本性质、角平分线的性质等,假设十分熟

5、悉,又能迅速地将它们迁移到一起,解这道题一点问题也没有.二将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理例2.H是 ABC所在平面内任一点,HA HB = HB HC =HC HA U 点 H 是 ABC勺垂心.HB AC =0= HB - AC ,由 HA HB =HB HC = HB (HC - HA) =0 =精彩文档实用标准同理hC_laB, M_lBC.故H是ABC勺垂心.反之亦然证略例3.(湖南)P是 ABC所在平面上一点,假设PA PB = PB PC = PC PA ,那么P MA ABC的(D )A.外心B.内心C.重心 D.垂心解析：由PA丽=而玩得PA PB-PB ,玩=0.即

6、 PB <pA-PC) =0,即而 CA = 0贝U PB _LCA,同理PA_L BC,PC _L AB所以P为AABC的垂心.应选D.点评：此题考查平面向量有关运算,及“数量积为零,那么两向量所在直线垂直三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零,那么两向量所在直线垂直等相关知识巧妙结合.三将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理例4.G是ABCW在平面内一点,GA+GB+GC=0=点G是ABC勺重心.证实作图如右,图中gB+gC=gE连结BE和CE那么CE=GBBE=GC BGC的平行四边形二D是BC的中点,AD为BC边上的中线.将 GB -+GC

7、 =GE 代入 GA +GB +GC =0 ,得gA+eG =0= gA = gE=2gD ,故G是ABC勺重心.反之亦然证略例 5.P是 ABO在平面内任一点.GMAABmpgS(PA+Pb+PC).证实 PG =PA AG =PB BG =PC CG 3PG =(AG BG CG) (PA PB PC)精彩文档实用标准.G是ABC勺重心/. GA GB GC=0二.AG BG CG =0,即 3PG = PA PB PC由此可得PG=1PA+PB+玩.反之亦然证略C例6假设.为AABC内一点,oA + QB+oC=0 ,那么.是AABC 的 A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由OA+O

8、B+OC=0得OB+OC=OA,如图以ob os相邻两边构作平行四边形,那么OB+OC=OD,由平行四边形性质知OE=；OD, oa=2oe,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选 Do点评：此题需要扎实的平面几何知识,平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点,所分这比为 人=2.此题在解题的过程中将平面1向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧 妙结合 四.将平面向量与三角形外心结合考查例 7 假设.为 AABC 内一点,OA'=|oB'='QC',那么.是 MBC 的A . 内心B . 外心D.

9、重心解析：由向量模的定义知0到AABC的三顶点距离相等.故0是AABC的外心点评：此题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合.五将平面向量与三角形四心结合考查例 8.向量 成,0P2,应满足条件 OP1+Op2 +0P3 =0, | 0P1|=| Op2 |=| 丽 |=1 , 求证 PiP2P3是正三角形.?数学?第一册下,复习参考题五B组第6题 证实 由Op1+Op2 =- 0P3,两边平方得 西 Op2 =-1 ,2,精彩文档实用标准同理 OP2 - OR =OR - OP1 = -1 ,2|丽|二|而3|=| P巨|= J3 ,从而 P1RP3是正三角形.反之,假

10、设点O是正三角形APP2P3的中央,那么显然有 OP1 + OP2 + OP3 =0且 | OPi | = | OP2 | = | OP3 |.即O是ABCf在平面内一点,Op1 +Op2 +OP3 =0 且 | OK |=| Op2 |=| OP31 二点 O是正 BP2P3 的中央.例9.在AABC中,Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心.求证： QG H三点共线,且 QG:GH=1:2【证实】：以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如下图的直角坐标系.设A(0,0)、B (xi,0 )、C(X2,y 2) , D E、F分别为ABx1x1 x2 y2D(尹)、E(y,当)、由题设可设

11、Q(X1,y3)> H 2G(一勺 33x2 y2F(,)22(X2, y4),_ x2 x1 y2,AH =(x2,y4),QF =(±f 受-y3)22 2BC (X2 -Xi,Y2),AH _ BCAH *BC = x 2 (x 2 x1) y2y4 = 0BC AC的中点,那么有:X2(X2 -Xi)y2* L T.QF _ACQF AC =X2唠.)丫2唠73) =0X2(X2 -Xi) Y22y2QH =(x2 _Xi2z 2X2 -X1,丫4 -丫3) =(23x2 (x2 -x1)2y2精彩文档实用标准x? /X2 Xi Xi y2 、,、/2X2 -Xi V

12、2QG =(k>L3)=( -,TX 2(X 2 -X 1) y 22y 2二(2x2 -X1 3x2(x2 -X1) y26y21 / 2x 2 'X )=3(F"13x2(x2 -xl) y 22y21 - = -QH共点、垂直等问题的证实,外心、重心、垂心的位3即QH=3QG,故Q G H三点共线,且 QG GH=1: 2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理,都相当 麻烦,而借用向量的坐标形式,将向量的运算完全化为代数运算,这样就将“形 和“数紧密地结合在一起,从而,很多对称、共线、都可转化为熟练的代数运算的论证.例10.假设Q H分别是

13、ABC勺外心和垂心.求证 OH =5A OB OC.证实 假设ABC勺垂心为H,外心为Q如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AQ CD AD 1AB , CD IBC .又垂心为 H, AH _L BC ,CH _AB , .AH/ CQ CH/ AQ四边形AHCDl平行四边形,ah.=dC=dO+oC, 故 oH =oA+aH =oA+oB+oC .著名的“欧拉定理讲的是锐角三角形的“三心 置关系：(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线；(2)三角形的重心在“欧拉线上,且为外一一垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2倍.精彩文档实用标准“欧拉定理的向量形式

14、显得特别简单,可简化成如下的向量问题.例11. 设Q G H分别是锐角 ABC勺外心、重心、垂心.求证 OGOH 3证实 按重心定理 G是 ABC勺重心仁OG J(OA+OB+OC) 3按垂心定理 OH =OA OB OC由此可得 OGOH . 3补充练习1.A B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC勺重心,动点P满足OP=3 ( 2oa + 2oB+2OC),那么点 P一定为三角形 ABC的(B )A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点1 111. B 取 AB 边的中点 M 贝 UOA + OB=2OM ,由 OP =1 ( 10A +OB+2

15、OC)可得 3 22230P =3OM +2MC ,MP=2MC ,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等3分点,且点P不过重心,应选B.-4 -H2.在同一个平面上有AABC及一点.满足关系式：OA2+ BC =OB +CA =1 .OC2+ AB2 ,那么 .为aabc的( D )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心2 .AABC勺三个顶点 A、B C及平面内一点 P满足：前+/+彘=0 ,那么P为AABC的精彩文档实用标准A 夕卜心B 内心 C重心 D 垂心3 .O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点 P满足：OP =OA + z(AB + AC), 那么 P 的轨

16、迹一定通过 ABC 的( C )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心4 . ABC P为三角形所在平面上的动点,且动点 P满足：PA*PC+PA*PB+PB*PC =0, 那么 P 点 为 三 角 形 的( D )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心5 .AABC P为三角形所在平面上的一点,且点 P满足：a PA+b PB + c*PC = 0 ,那么P点 为 三 角 形 的(B )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 2 26 .在三角形ABCK 动点P满足：CA =CB -2AB,CP,那么P点轨迹一定通过 ABC的：(B )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心7,非零向量aBw

17、aCw足(aB aC+)|aB| |ac|晶=0且3 |AB|AC _ 1|AC| 2那么ABC()A,三边均不相等的三角形B,直角三角形 C.等腰非等边三角形D.等边三角形精彩文档实用标准解析：非零向量与满足(&+耳) =0,即角A的平分线垂直于BQAB=AC|AB| |AC|又cosA = d,工=1,/A±,所以AB3i等边三角形,选 D. |AB|AC| 238. MBC的外接圆的圆心为 Q 两条边上的高的交点为 H, OH =m(QA+QB + OC),那么实数m = 19.点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足OAOB=OB Oc=OC OA,那么点O是MBC的(B)(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(D)三条高的交点(C)三条中线的交点10.如图1,点