上海硕彦教育代数方程教案

1、一、分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程 分式方程的解法： 1 1）直接去分母法解分式方程的思路:1 1、分子分母能因式分解的先因式分解。2 2、找所有分式的最简公分母。3 3、方程两边都乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程4 4、解整式方程。5 5、 验根（将根代入到最简公分母，看最简公分母是否为0 0） 小秘书：别忘记验根哦！ ！练兵场：411 1、 分式方程1= -去分母后，得到整式方程是 _x -42 -xx2亠2x亠12 2、 方程2- =0=0 的解是_。x +2x_32x- 33、当x=-时，分式丁与 R 的值相

2、等。x亠a 4 - 3a4 4、 如果关于 x x 的方程 - -1-1 有解 x=3x=3，贝 V V a a 的值为_2a 2x T x - a5 5、 解方程注意：分式的分母不能为 练兵场：1 1、下列方程中，是分式方程的有（）21（A A）二1=0（B B） x-x-x -1218（D D）- -xX）(C)(C)3: (x 1) = 5: (1 -x)2 2、 F F 列方程中,（A）1=8x3 3、当 x x0 0。x 1 x -23_x3不是分式方程的是（1x时，分式方程4 4、分式方程 J J - -x +x=2有意义,p-x3一仁0=0有意乂。则 x x 的取值范围是(D)(

3、2x 1):3 =5: x亠.丄x2x x 1=26 6、解关于1 1x x 的方程 -x a1Z(a b =0,ab = 0). x - a - b b小秘书：当分母相邻两个的差相等，分子可化为相同时，先部分通分会使计算更简便。1 1、解方程:1 _ 1 11x 1 x 2 x 3 x 411112)2)换兀法解分式方程解题思路：用换元法将原方程变形，然后去分母，化为整式方程，求出新方程的解，最后代入换元的式 子，再求根验根。练习：2421 1、解方程X1 2 3+1 + =4=4 时，设X2+1 = y，则方程可转化为 _x +122x22 6x 62x 1 x 1一12153、 用换兀法

4、解方程时，设xy,可将方程6(x2)5x -38 =0转化为xxx73x 94 4、 用换元法解方程20，下面几种解法中，正确的是()。x -3772(A)(A)设y，则原方程变为y 2y一3 =0 x 3(B)(B)设二y,则原方程变为3y22y49=0 x 3(C)(C)设-=y,则原方程变为3y22y一1 =07、解方程x21=X。x x3)3)与增根相关的问题 分式方程的增根同时满足两个条件：(1 1)是由分式方程化为整式方程的根。(2 2 )使最简公分母为 0 0。 小秘书：由增根求方程中参数的思路。2 2将分式方程去化成整式方程(方程两边同时乘以最简公分母)3 3确定增根(题目已知

5、或使分母为零的未知数的值)2 2、解方程- +-=-+-x 7 x 2 x 3 x 62 2、分式方程则原分式变形为整式方程是(D(D )设x -3=y,则原方程变为5 5、方程2x x二5的解是6 6、解方程1x22x1丄2一 x22x 1 123 3、将可能的增根分别代入整式方程，求出参数的值(增根是由分式方程化成的整式方程的根) 练兵场：2xm1 1、当 m=m=_ 时，分式方程 -3-3 = =-会产生增根。x 6 x 6x32 2、分式方程-2-2 会产生增根 3 3,求 k k 的值为X -kx -kx3 3、关于 x x 的方程一k-2会产生增根，求 k k 的值。x3x -3k

6、x2x(1)当 k k 为何值，解这个方程时会产生增根;(2)k k 为何值时，这个方程只有一个实数解。、无理方程1 1、概念：根号内含有未知数的方程叫做无理方程。 注意：被开方数要为非负数。练习：1 1、下列方程属于无理方程的是()4 4、方程2xx 12x2鳥十1(B)x 34二-2x丄(D) 一7x 8二-X22 2、 等式4-x2=2+X y/2-X成立的条件是 _。13 3、 方程J5x - 4 + J4 5x =0,贝y x2=_4 4、如果无理方程-X2 .2x9二a有实数根，那么a= =_2 2、无理方程的解法思想：化无理方程为整式方程 无理方程的解法：1 1）直接平方法1 1

7、、将无理方程整理成b .a二c（a_ 0,b,c同号）；由此，可判断方程是否有根。当c_0,方程有实根；b当cc0,方程无实根。b 2 2、 将等式两边平方，将无理方程变为整式方程；3 3、 解整式方程；4 4、 验根（和分式方程一样，无理方程必须要验根）。验根是将根代入原方程，看方程两边是否相等。练习：1、 方程Jx+9 4x -3 = 0的实数解是 _。2 2、 下列方程中没有实数根的是（）（A A）x丁Jx - 3 = 2（B B） - -2x 5 = x（C C）J5 x十Jx 11十3 =0（D D）Jx 1+（1 x） =03 3、已知关于 x x 的方程3x-a二x有一个根是 x

8、=1,x=1,那么方程另一个根是（）。(A)x=-1x=-1(B)x=0(B)x=0 (C(C )x=2)x=2(D)x=3(D)x=34 4、解方程、4x - 3 * 3x * 1 = 35 5、解方程x 6 -.3x -5 -3、.x -1 =02 2）换元法解无理方程：解题思路：用换元法将原方程变形，然后去根号，化为整式方程，求出新方程的解，最后代入换元的式 子，再求根验根。练习:1 1、 如果用换元法解方程x2-2jx2-1=4,设 y=y=_ _，换元后得到的有理方程是 _。2 2、 用换元法解方程4x2-.、2-x2=3=3，如果设y 2-x2，那么原方程可变形为 _ 。3 3、

9、解方程（x 1 x）25 - 6（x Jx 1）=0。4 4、解方程3x215x 2 x25x 2。3、由无理方程根的情况，求参数的取值（范围）解题思路：1将原方程化为整式方程；2根据已知条件（根的情况），求出参数的取值（范围）（注意，考虑方程有增根时的参数值要排除）练习：1、方程J3x -4 = -x的增根是_ ，解无理方程时必须进行 _2、若方程Jx- p=X有两个不等的正数根，则实数p的取值范围是 _3 3、如果关于 x x 的方程.x2，2x V 2x 1，有且只有一个实数解时，那么a a 的值是?4 4、无理方程的应用小秘书：应用无理方程解应用题，解无理方程后要验根。平面内两点的距离

10、公式：平面内两点坐标 A A（冷，力），B B（X2,y2），贝 U U A A、B B 两点间的距离为：AB=AB=_(X1-X2)2(X2-X3)2,特别地，当 A A、B B 都在 x x 轴上时，AB=AB=N X2(1)当 A A、B B 都在 y y 轴时，AB=AB= % % y y2。1 1、 已知点 A A 在 x x 坐标轴上，它与点 B B (-6-6, 8 8)的距离等于 1010,那么点 A A 的坐标是 _已知点 A A 在 y y 坐标轴上，它与点 B B(-6-6，8 8)的距离等于 1010，那么点 A A 的坐标是 _已知点 A A 在坐标轴上，它与点 B

11、B(-6-6，8 8)的距离等于 1010，那么点 A A 的坐标是 _ 。2 2、 点A(4,2)点的距离为8,若直线AE平行与 x x 轴，则E点的坐标为()(A) (2,12)或(4,2)(B) (12,2)或(2,-4)(C) (12,2)或(4,2)(D) (2,12)或(2,-4)三、二元二次方程组概念：二元二次方程：方程中，含有2 2 个未知数，方程的最高次数为2 2。二元二次方程组：含有 2 2 个未知数，且方程组中每个方程的最高次数为2 2 次的方程组。方程组的解：同时满足方程组中两个二元方程的的解。练习：1 1、二兀二次方程x22xy y2二9()x y = o(D)有无数

12、解(A)有一个解(B)有两个解(C)有四个解2 2、二元 一次方程(2x-1)(y-2) =0()(A)有一个解(B)有两个解(C)有四个解(D)有无数解1 1、当方程组是一个二元一次方程组和一个二元二次方程组成时，将二元一次方程变形后代入二元二次方程,使二元二次方程变为一元二次方程，求其解，代入原方程组，求出原方程组的解；练习：1 1、解下列方程组特别地，当 A A、B B 都在 x x 轴上时，AB=AB=N X2(1)x2厂2；(刀X2xy=2；( 3 3)XT y-2二xy3y-x=4x-y=4xx 2-4yy-1=2x-2yx2y个一元二次方程为。2 2、解方程组2：一二1x23x2

13、y10 = 03、已知Jy2_4x + x2+y2_5 =0，贝V x y =_2 2、当方程是由两个二元二次方程（其中一个可以分解为两个二元一次方程）组成时，先将可以分解为两个二元一次方程的二元二次方程组组成两个新方程组，求其解并合在一起，既为原方程组的解。小秘书：如果方程组中含有分式方程或无理方程，则要对方程组进行验根。练习：1 1、下列方程中，无实数解的是（）22y = 2x(C)(C)x 5=2-x(D)(D)2x2+2x_y _3 = 0I x2- xy = 02 2、方程组可分解成的二元一次方程组有lx2- 4xy 4y2= 9,2 24x -y =0i 2x _ xy 4二0fJ

14、-x y , x y =122 2x y -41丄x y二a23 3、形如的方程组，解法：把 x,yx,y 看作是一元二次方程t2-at 0的两根，化二元二次方程、xy = b组为一元二次方程。练习：Ixy = 81 1、 方程组彳可分解成的二元一次方程组有 _ 。K + y = -6(A)2_ xx -2一x -2(B)3_x=x_43 3、解方程组4 4、解方程组丄x y x - y 155 5、解方程组丄2x - y = 5一2 2、 解方程组时，把2x,- y看成是关于z的一元二次方程的两个根，这Ixy =7(A)1(A)1(B)(B)1(C)0或1(D)1或一1xy =43 3、 方

15、程组 g g l 的解为_。=34 4、 已知x?+ y?= 13, x十y = 5，那么2x + y =_5 5、用换元法解方程组 冃+沪=5时，设內=a冷尸=b,x + y = 13那么原方程组变形为_的方程组，解法：换元法，化分式方程组为整式方程组。练习:3丄27r =yx61 1 方程组彳,的解是_xy313丄61-十-=4y+3x 3y4x 33 3、解方程组269=33x 4y 3y -4x5 5 由方程组解的情况求方程中参数解题思路：此类题中的方程组一般由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成, 后代入二元二次方程，使二元二次方程变为一元二次方程，方程组的解的个数和同，由一元二次

16、方程的解的情况，可判定方程中参数的取值(范围)。练习：2 21 1、若方程x 2y -6和mx y =3只有一个公共实数解，那么 m m 的值为()()2 2、解方程组4 4、形如将二元一次方程变形 .次方程的解的个数相2 2、已知方程组y/mX 2有两组实数解，求 m m 的取值范围。y24x2y+1 =0(1)求实数 k k 的取值范围；1 1(2)如果y1y23，求实数 k k 的值。x1x23 3、已知方程组21kx-x -y0 2y = k(2x-1)(x(x、y y 为未知数) )有两个不同的实数解x = xx =x2y=yy*24 4、设a、b、c分别是一个三角形的三条边的长，且关于x、y的方程组12 2x _ax_y+b +ac=ax - y be = 00只有一个解，试判断这个三角形的形状。x2z八亠X +2x+1*、/时，分式一2有意义。x +2x3如果方程k - .3x 7-0没有实数根，那么k的取值范围是用换元法解方程2X-1_ 9x 78 x +2 2x 1=_2。若设fx- =y,则原方程可化成F x +23x -1 x小 一2 =2 x2-1 x -1x 2 x 3 x 41111、解方程:x21 4xf12x y22x+y4x2_y2=7x2y(y -2x) =9(x y)(x y-3) =102x x7(-)6=01313