不等式知识点汇总-修改后

1、学习必备欢迎下载不等式一、 不等式的性质1 对称性：如果a b，那么b . a;如果b：a，那么a b。2、 传递性：如果a b，b c那么a . c。3、 加法单调性：如果a b，那么a c b c。推论 1 如果a b且c d，那么a c b d。（相加法则）推论：如果a b且c：d，那么a - c b - d。（相减法则）4、乘法单调性：如果a b且c 0,那么ac bc；如果a b且c：.0那么ac：bc。推论 1 :如果a b 0且c d 0，那么ac bd。（相乘法则）a b如果a b 0且0：c：d，那么。（相除法则）c d推论 2：如果a b 0,那么anbn（n N且n 1）

2、。5、性质 5：如果a b 0，那么；anb （n N且n 1）。二、 算术平均数、几何平均数、基本不等式1、如果ai,a2,a3丄,a R : n _2,n N，则：可a2 L an叫做这n个正数的算术平均数；n不等式 22（其中-称作调和平均值）a b学习必备欢迎下载、2 2 2 2 2 2 2 2注：(a -b) _ 0：= a b -2ab _ 0：= a b _ 2ab：= a b 2ab _ 4ab：= (a b) _ 4ab；2 2 2 2 2 2 2 2a b2ab_a b (a b )=2 (ab )这里有用到不等式 1。不等式 62 2 2a b c_ab b cC当且仅当

3、a=b=c时等号成立)注：2丄-2-2丄22丄2a +b b +c a +c222ab bc aca b c2 2 2也是用到了性质三、极值定理已知x,y都是正数，则:1、 如果积xy是定值p， 那么当x =y时和1、比较法：(做差、做商)这是最常用的证明不等式的方法，一定要记住!【例 1】：已知a,b,m都是正数，并且ab,求证:证明:a _ b(a m) _ a(b m) m(b - a) bb(b m)b(b m)Ta,b, m都是正数，并且a 0,ba 0.m(ba)0 b(bm)即【例 2】：设a,求证:证明：作商得,a . ba ba b(ab)a -b b-a = ab_2a b

4、-(ab)_。a -b=(驚b时,(；)a -b2时,a -b20,a -b1,时,a0 1,ba b 2bc,a 0 , a(b+c) 2abc2 2 2 2同理：b(c+a) 2abc,c(a+b) 2abc2 2 2 2 2 2a(b+c) +b(c+a) +c(a+b) 6abc当且仅当b=c,c=a, a=b时取等号，而a,b,c是不全相等的正数2 2 2 2 2 2a(b+c) +b(c+a) +c(a+b) 6abc3、分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分 条件是否具备的问题。i1【例 4】：设x 0 ,y 0，证明不等式：(

5、x2+ y2)2a (x3+ y3)3。证明：所证不等式即：(x2 y2)3 (x3y3)2即：x6y63x2y2(x2y2)x6y6-2x3y3即:3x2y2(x2y2) 2x3y3222只需证：x2y xy32丄丄 x2y2_2xy .-xy成立，(x2y2)2(x3y3)334、换元法【例 5】:求证：一4兰xjl _X2丄。2 2证明：令x=cosv,-0,二1即：以.1一乂2|_丄 tx lx2一丄2 2 25、放缩法这一类型比较灵活，记住一些放缩规则很重要。比如分子不变，分母变大（小），分数变小（大）；相反分母不变，分子变小（大），分数变小（大）常用的放缩技巧有：1 1 1 1 1

6、 1 1 2 n n 1 n(n 1) nn(n -1)n -1 n_ 1 1 1【例 6:n工2, n匸N，求证 + 2。236、反证法n -1 n【例 7】设 0 a,b,c ,(1 -b)c1,(1- c)44则三式相乘：ab (1-a)b?(1-b)c?(1 -c)a又 0 a,b,c 1- 0 :(1 _ a)a ,4164以上三式相1 4(1-a)a?(1-b)b?(1-c)c 64与矛盾，原式成立。7、构造法(构造函数、 构造方程、构造图形)X21010- -3【例 8】求证：y=,_t21tx210-.X2. 0 ,22即b,c是二次方程x2ax0的两个实根。a +c = -a

7、则2bc =-J a学习必备欢迎下载.AB ACBC(两边和大于第三边)即- KX1-x2) (yi-y2)-：；(X1-x3) (yi-y3) (冷-X3)(y2-y3)五、不等式的解法:(1)一元二次型不等式的恒成立问题常用结论:(2)解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都 要恒等。一元二次不等式(组)是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元 二次不等式与相应的函数，方程的联系1求一般的一元二次不等式ax2b c 0或ax2bx ：0 (a 0)的解集，要结合ax2bx c =0的根及二次函数y =ax2 bx - c图象确定解集.2

8、对于一元二次方程ax2bx c =0(a 0)，设：:=b24 a c,它的解按照 二0,厶-0,二0可分为三种情况.相应地，二次函数y二ax2 bx c(a 0)的图象与x轴的 位置关系也分为三种情况.因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax bx c0 (a 0的解集，列表如下：适当分A.=b24ae404=0(d0)的图象 InL1uJ圧产+b尤+亡二t a0 )ufJ性有两不筹实根 有两相等实根X|，玄2且它(Q的解集兀沐街扎Rat1(CO)的解築00含参数的不等式应类讨论。2ax+bx+c0 对于任意的 x 恒成立二a 02b -4ac 0或 a二 0ax2+bx+c0。解：

9、原不等式可以化为：(x a1)(x一a) 0,1右a -(a-1)即a则x-a或x：1 - a，211 1若a-(a_1)即a则(x )20 x ,xR,2 2 21右a：-(a -1)即a则x a或x、1 - a。2(4)高次不等式与分数不等式分数不等式高数不等式也可以用穿针引线法奇过偶不过【例 13】:解不等式(x2-4x - 5)(x2+ x + 2) 0。解：x2x 2 . 0恒成立原不等式等价于x2-4x-5：0即-1x0“(5):无理不等式:转化为有理不等式求解【例 14】 ： 解不等式x2-3x 2x - 2x - 3:0。解:厂2X2-3x+2 02二、x2-2x-3c0 x

10、2一1 vx v3j：x 1 或 2 x 3f g(：a定义域f (X) g(x)_f(x)od f(x) g(x)二g(x)畠0f (x)g(x)r.f(x)：:g(x)uf (x) AO g(x)AoJ(x) v【g(x)2空O=f(x)g(x) .0; g(x)f(x)0_ f(x)g(x)_0丽 -=g(x) =0-1x c2/ 3学习必备欢迎下载【例15】:解不等式3x4 -/x3 0。学习必备欢迎下载解： 根式有意义、_ .3x 4色0必须有：丿x3,x-30原不等式可化为、.3x _4 .x _31两边平方得：3x -4 .x-3解之：x，.x_3。2(6)、指数不等式与对数不等

11、式这一类不等式主要用到了函数的一些性质，解决这一类问题首先要对函数的性质十分了解。指数不等式：转化为代数不等式af(x)-ag(x)(a 1)= f(x)g(x); af(x).ag(x)(0：a：1)= f(x)：g(x)af(x)b(a 0,b 0)：= f (x) Ig a lg b对数不等式：转化为代数不等式f(x) 0f(x) 0logaf(x) logag(x)(a .1)：= g(x) 0; logaf (x) .logag(x)(0 :a：1 g(x) .0f(x) g(x)f(x)：；：g(x)【例 16】：解不等式眉严)。22解：原不等式可化为：2x2xJ31,2 2-x

12、2x -3：-3(x -1)整理得：x x - 6；：0解得，不等式的解集为x|-3xloga2,(a0,a式1)。解：原不等式可化为loga(4 3x - x2) loga2(2x -1),12x-10XA?当a1 时有4+3XX20n 1cxc4n、4+3x-x22(2x-1)|-3 ex c 21：x：222x -10当 0a 0#+3x-x2c2(2x-1)1x -2_1cx4 n 2vxc4x 21当a1 时不等式的解集为x：2；2当 0a1 时不等式的解集为2 x 4。(7):含绝对值的不等式绝对值在几何上表示的是距离，所以有的时候可以用几何图形(如数轴)去解释含有绝对值的不等式。

13、定理：|a| - |b冃a b#|a|b|。学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载推论 1:aa2+a3+L +aj勻aj卡2+L an。推论 2 ：|a| _|b厠a _b凶a| |b|。含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值;应用化归思想等价转化1 f(x)kg(xgg(x) cf(x) A若不等式f (xB在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f (x hx兰B应用数形思想;勺(x)0J(x) c-g(x)或 f (x) g(x)证明:| f (a) - f (b)冃.a21 -.b21 |二2 2a 1 -b -1.a21 b21(|a|b|)|a-b| |a|+|b|=|a -b|学习必备欢迎下载2)若在区间D上存在实数X使不等式f X A成立,则等价于在区间D上f xmaXA；若在区间D上存在实数x使不等式fU)B成立，则等价于在区间D上的f ( x)minB.如已知不等式|x-4 + x-3a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围 _式2x-1m(x2-1)对满足m乞2的所有m都成立，则x的取值范围(T严(T)na：2对于任意正整数n恒成立，贝U实数a的取值范围是n若不等式若不等式_ (答： 72 -1严)；(答:a：1)；