北航机械考研971972动力学课后答案概5.

1、拉格朗日方程从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法（达朗贝尔原理）则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程，这就是动力学普遍方程。 而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运 动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。 如果要想求约束力，可以将拉格朗日方 程与动静法或动量定理（或质心运动定理）联用。通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学（也称矢量力学），将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论

2、称为拉格朗日力学。拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的 运动。拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要 的作用。本章内容有：动力学普遍方程；拉格朗日方程；拉格朗日方程的首次积分。一、动力学普遍方程将动静法与虚位移原理结合，就得到了动力学普遍方程：受有理想约束的质点系在运动过程中，其上所受的主动力和惯性力在质点系的任何虚位移上所做的虚功之和 为零。动力学普遍方程尽管被称之为方程，但在实际应用时，我们更应将它视为一个原 理：动力学普遍原理，它指导我们列写动力学方程。如果你能熟练应用虚位移原理，则动力学普遍方程的应用将是一个很熟识的过 程

3、：在考虑系统的主动力的同时再加入系统的惯性力， 然后对该力系应用虚位移原理。在实际应用中，当加入系统的惯性力时，常常要补充运动学方程：系统的速度、 加速度之间的关系。运用动力学普遍方程建立的独立的动力学方程的个数等于系统的自由度，这一点 也是与虚位移原理相同。一般而言，如果要建立系统在特殊位置的动力学关系，可以考虑应用动力学普遍 方程。如果要建立系统在任意一般位置的动力学关系，则应考虑应用拉格朗日方程。二、拉格朗日方程拉格朗日方程是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。在教材中，拉格朗日方程有三种形式，分别对应着一般情况、主动力有势以及主动 力部分有势的情况。(1)拉格朗日方程的一般形式是

4、:= Qj,(j =1,k)1(11 1)#其中：T是系统的以广义坐标和广义速度(5,，4-5,，qQ表示的动能，Qj是所有主动 力对应于广义坐标qj的广义力。(2)当作用于系统上的所有主动力和内力均为有势力时，拉格朗日方程可以写 成如下形式：.:L亠=0, (j 十.,k)ddt此处：L二TV ,V是系统的以广义坐标表示的势能。L称为拉格朗日函数，也称动势 (3)当作用于系统上的所有主动力和内力部分为有势力时，拉格朗日方程可以 写成如下形式：(112)此处：Qj为所有非有势力对应于广义坐标 朗日函数。(j ",k)(11 3)qj的广义力，所有的有势力计入系统的拉格2从拉格朗日方程

5、的形式看，应用拉格朗日方程时只涉及速度分析，不涉及更复杂 的加速度分析。所以如果问题中不要求求解约束力， 则拉格朗日方程是一个很好的选 择。三、广义力的计算方法一：为求出非有势力对应于广义坐标qj的广义力Qj，可取特殊的虚位移q "，而其余的5 =°,i T,.,j-1'，1,k，求出所有非有势力在该虚位移上所做的虚功ZWqj，贝y应有由此可得出、Wqj =Qj qjQj =卜叫qj在下一节的例子中我们将看到它的应用方法二：如果系统上作用的主动力Fi的作用位置是(冷y,zJ,( i=1,n)，将其表示成广义坐标的函数：Xi =Xi(q1,., qk)yi 二 yi

6、(q1 ,qk )乙=乙(q,.,qk)则对应于广义坐标qj的广义力(Qj可由如下公式求出：n-Qj=E (Fix 孕+ Fy 讐+ Fiz?) y:qj:qj:qj四、拉格朗日方程的首次积分拉格朗日方程是一组二阶常微分方程。一般情况下，方程是非线性的，求解很困 难。但对某些类型的系统，可以利用系统的特性给出某些首次积分，使部分二阶常微分方程降阶，这对整个微分方程组的定性分析和数值求解都是很有帮助的。拉格朗日方程是对受理想约束的动力学系统建立的方程，所研究的系统的范围有 所缩小，较之牛顿力学的方程，拉格朗日方程包含的信息增加， 所以更容易寻找首次 积分。对于势力场中的拉格朗日方程，存在两类首次

7、积分：循环积分和首次积分。（1）循环积分一般而言，拉格朗日函数L会显含所有广义速度（qi,，qk），但可能会不显含某些 广义坐标，在这种场合我们可得到循环积分，L中显缺的广义坐标称为循环坐标。设质点系的前r个坐标是循环坐标，则有循环积分=Pj =常量，（j =1, ,r）qj（ 11 4）pj称为对应于广义坐标qj的广义动量（j=1,r ）。循环积分的力学意义就是：对应 于循环坐标的广义动量守恒。（2）能量积分系统的动能是广义坐标和广义速度 ©，qkq，qQ以及时间t的函数。可以将动 能分解成如下形式：T 二 T2 可 To（ 11 5）其中T2、T1和T°分别为动能关于广

8、义速度的二次齐次函数、一次齐次函数和零次齐次 函数。如果在拉格朗日函数中不显含时间t,贝S有能量积分T2+T0V=E厂常量（11 6）该积分表示了质点系的部分能量之间的关系，称之为广义能量积分。它同机械能守恒定理是有区别的。该积分常出现在相对于非惯性系运动的质点系中。对于定常约束，T二T2，能量积分的形式为：(11 7)T2 V -T常量这就是通常意义下的势力场中系统的机械能守恒定律。5-2滑轮组上悬挂有质量为 10kg的重物M1和质量为8kg的重物M2,如图所示。忽略滑轮的质量，试求重物M2 的加速度a2及绳的拉力。解：取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动

9、力为重物的重力Mg,M 2 g。假设重物M2的加速度a2的方向竖直向下，则重物 M1的加速度a1竖直向上，两个重物惯性力 F'Fi2为：Fh 二 Ma1F12 二 M 2a?(1)3#该系统有一个自由度，假设重物M2有一向下的虚位移 x2，则重物M1的虚位移 x1竖直向上。由动力学普遍方程有：# = -M1g-x1 M2g、x2 Fh" F|2、x2 =0(2)根据运动学关系可知:1aia?2(3)将式和(3)式代入 式，可得对于任意 x20有：4M 2 - 2M i2a?二g =28(m/s )4M2 M方向竖直向下。取重物 M2为研究对象，受力如图所示，由牛顿第二定律有:

10、M2g -T =M2a2解得绳子的拉力T =56.1(N)。本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。a25-4如图所示，质量为 m的质点悬在一线上，线的另一端绕在一半径为R的固定圆柱体上，构成一摆。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为I，且不计线的质量，试求摆的运动微分方程。解：该系统为保守系统，有一个自由度，取二为广义坐标。系统的动能为:T =1m(l R丁)寸2取-0为零势位，则系统的势能为:V = mgRsin - (l RRcosd/乱、乩 ° () 0 拉格朗日函数L = T -V，代入拉格朗日方程有：dt-八整理得摆的运动微分方程为:2(l 亡尸 Rv gsin八0

11、5-6质量为m的质点在重力作用下沿旋轮线导轨运动，如图所示。已知旋轮线的方程为 s二4bsin '，式中s是以O为原点的弧坐标，是旋轮线的切线与水平轴的夹角。试求质点的运动规律。解：该系统为保守系统有一个自由度，取弧坐标S为广义坐标。系统的动能为：取S = 0为零势位，系统的势能为:V 二 mgh由题可知dh = sin =，因此有:dS4bs sS 2h =f-ds0 4b8b则拉格朗日函数：mgs21 -2L =T -VmS22代入拉格朗日方程： 解得质点的运动规律为:(丄)一丄=0，整理得摆的运动微分方程为：s S = 0，dt ；S ；:S4bS = Asin（扰-o)，其中A

12、, 0为积分常数。5-13质量为m的质点沿半径为r的圆环运动，圆环以匀角速度'绕铅垂直径AB转动，如图所示。试建立质点的运动微分方程，并求维持圆环匀角速度转动所必需的转矩M。解：1求质点的运动微分方程圆环(质量不计)以匀角速度绕铅垂轴AB转动，该系统有一个自由度,取角度二为广义坐标。系统的动能为：1 ' 2 1 2T m(r j)m( r sin)2 2取- 0为零势位，系统的势能为：V = mgr(1 - cos"则拉格朗日函数:L 二T -V = 1 mr2（二22 sin2 巧 一 mgr（1 - cos"2代入拉格朗日方程:，整理得质点的运动微分方程

13、为:二(-2 cos1) sin - 0 r2求维持圆环作匀速转动的力偶M如果求力偶M，必须考虑圆环绕铅垂轴 AB的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴AB匀速转动”这一约束，将力偶M视为主动力。此时系统有两个自由度，取角度二和圆环绕轴AB的转角，为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以代替'，则拉格朗日函数为：22- 22mr (v 川 sin v) - mgr(1 - cos )力偶M为非有势力，它对应于广义坐标 取、c - 0, 一： = 0，在这组虚位移下力偶=0 ；取、；=0 - 0，在这组虚位移下力偶二和：的广义力计算如下：M所作的虚功为2W： - 0，因此力偶M对应于广义坐

14、标二的广义力代入拉格朗日方程qM J叫广义力d ( - L)；:L()-dt 一-qm-0整理可得:代入拉格朗日方程gsi nrd；:L=0qm，整理可得:M所作的虚功为2W.二M ：，因此力偶M对应于广义坐标;：的7#以该物体为研究对象，有物体的相对运动是以角速度-个自由度，B绕轴°1。2的定轴转动，牵连运动是以角速度 绕°C轴的定轴转动，物体的绝对3G和OC的夹角二为广义坐标。若以框架y°1°2°C为动系，则QQQmr sin 丁 mr sin - M圆环绕铅垂轴 AB匀速'转动，即：'二= 0，代入上式可得:M = mr2

15、 )sin2二5-14如图所示，质量为 m的物体可绕水平轴 °1°2转动，轴°1。2又绕铅垂轴OC以匀角速度，转动。物体的质 心G在垂直于°1°2的直线上，°3G =1。设°1°2和°3G是物体过°3点的惯量主轴，转动惯量为J1和J2 ,物 体对另一过°3点的惯量主轴的转动惯量为J3，试求物体的动能表达式并建立物体的运动微分方程。解：垂直于°1°2的平面角速度'a是B和3的矢量之和。为了方便起见，以°1°2为X轴，°3G为y轴，

16、如图建立一个固连在物体上的坐标系，则该刚体的角速度a可表示成：叫=Bi" + o cos j"sin z"由于坐标系°3XyZ的三个坐标轴为过 。3点的三个惯量主轴，则系统的动能为:1'22 2T Jq J2( cos" J3(sin n)取二=0为零势位，系统的势能为：V 二 mgl(1cos"则拉格朗日函数：L =T V rJ"2 J2( cost)2 J3( sinR2 mgl(1 cosr)代入拉格朗日方程：整理后，可得物体的运动微分方程为:2J样 （J2 -J3）sin v cos v - -mgl sin

17、 v5-17重Pi的楔块可沿水平面滑动，重 p2的楔块沿楔块 A的斜边滑动，在楔块 B上作用一水平力F，如图所示。 忽略摩擦，角已知，试求楔块 A的加速度及楔块 B的相对加速度。解：取楔块A，B构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取楔块A水平滑动的位移X，以及楔块B相对于A的沿斜面滑动的位移 s为广义坐标。若以楔块 A为动系，楔块A的速度Va，楔块B的速度Vb，以及B相对于A 的相对速度满足如下的矢量关系(方向如图所示)：Vb =VaVb系统的动能为:1 2mAvA21 22mBVB盘X2 孰x scos ）2 （皿）21- 2 1 - - 1 - 2=丄（只 +P2）x2 + 丄 P2

18、 cosxs + 丄 P2S22gg2g取过x轴的水平为零势面，系统的势能为:V = P2ssin则拉格朗日函数：1 - 2 1 ' ' 1 2L =T -V =一（R +P2）x2 +P2cos®xs + P2s -P2ssin®2gg2g8将水平力F视为非有势力，它对应于广义坐标X和S的广义力计算如下：取X =0, JS =0，在这组虚位移下力 F所作的虚功为：W、.x = F x，因此力F对应于广义坐标X的广义力Qx = F ；取x =0,S =0，在这组虚位移下力F所作的虚功为W= F costs，因此力F对应于广义坐标S的广义 力QS = F co

19、s ；代入拉格朗日方程丄）-丄二Q：.x；x=F，整理可得:#(R +P2)x + Bcoss = Fg代入拉格朗日方程（1）=F cos，整理可得:P2 cos x P2s = (F cos- P2 sin )g由方程和方程(2)解得： 楔块A的加速度：F sin ' P2 cos aA=x2 gsinR + Rsin申，方向水平向右。楔块B的相对加速度： FRcos® （P +P2）F2si n®aBr - s厂gP2（R +P2Sin甲），方向沿斜面向上。5-18在光滑水平面上放一质量为m的三角形楔块ABC，质量为mi，半径为r的均质圆柱沿楔块的 AB边滚动而

20、不滑动，如图所示。试求楔块的加速度及圆柱的角加速度。解：取楔块ABC和圆柱构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度，取楔块水平滑动的位移x，以及圆柱的转角'：（A点 =0）为广义坐标。若以楔块为动系，楔块的速度 vA，圆柱轴心O的速度V。，以及轴心 O相对于A的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）：Vo = Va Vor圆柱在斜面上作纯滚动有:Vor =：r系统的动能为：1 2 1 2 1 1 2、 .2TmvAmo( mj )：2 2 2 2= *mx2 1叶匕 _ r cos"2 ( r sin "2 . £叶2 22 ：2=1 (m

21、 mjx2 _ gr cos*3 mr2 224取过楔块上A点的水平为零势面，系统的势能为：则拉格朗日函数:13L =TV(m mjx2m/cosx2 migrsinv门() 0代入拉格朗日方程 dt :议 ：x，整理可得：(m m)xgr cost- 0(1)10#d(皀)_d=o代入拉格朗日方程 dt ： :，整理可得:(2)3H -2XCOS)- 2gsin由方程(1)和方程(2)解得： 楔块的加速度：m1 si n2日a 二 x2 g3(m g) -2m1 cos二，方向水平向左。圆柱的角加速度:2(m E 曲2. g顺时针方向。3(m+ mQ-2g cos 日r ，5-21系统由定滑

22、轮A和动滑轮B以及三个重物组成，如图所示。重物 M X M 2, M 3的质量分别为m1, m2, m3， mi ： m2 m3 , m2 m3，滑轮的质量忽略不计。若初始时系统静止，试求欲使M1下降，质量m1,m2和m3之间的关系。解：。设重物M 1的坐以三个重物和滑轮构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度（如图所示） 标为Xi，重物M2相对于滑轮B的轮心的位置为 X2。系统的动能为：1，2 1 . 2 1 - 2T mxm2(xx2)m3 (x1 x2)2 2 21212(m, m2 m3)x1(m2 m3)x2 (m3 -口2)为乂2取x1 =x2 =°时为系统零

23、势能位，则任意位置系统的势能为:V = -m1 gx1 -m2g(X2 -X1) mbgX X2)(-m1 m2 m3) gx1 - (m2 - m3) gx2拉格朗日函数：1 -2 1-2-L 二T -V(m1 m2 m3)x1(m2 m3)x2 (m3 - m2)x1x2(mb m2 m3)gx(m m3)gx2d/：L、 儿门() 0代入拉格朗日方程 dt X1X1，整理可得：(1)(m1 m2 m3)x _ (m2 _m3)x2 _(m _m2 _m3)g = 011#代入拉格朗日方程丄-X2二 0，整理可得:(m2 m3)X2 -血 - m3)X1 -血 -m3)g = 0(2)由方

24、程（1）和方程（2）解得重物M1的加速度:-g(m2+m3)4口2口3ax1g口血 +m3) +4m2m3初始时刻系统静止，若使 M1下降则a10，即:4 m2 m3 m1m2m35-22重P1的平台AB置于水平面上，物体 M重p2 ,弹簧的刚度系数为 忽略摩擦。如果系统从静止开始运动，此时弹簧物变形，试求平台和物体k，如图所示。在平台上施加水平力M的加速度。12解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取平台的水平坐标 长为坐标原点)为广义坐标。系统的动能为：T x (x s)22g 2g=丄(£ + P2)x2 + Ps + 丄2gg 2g取弹簧未变形时势能为零，则系统的势能

25、为：V = ks22则拉格朗日函数：x，以及物体M相对于平台的坐标 s (弹簧原L =T -VP2s2(R P2)x2 丄 P2xs 1 P2s2 -1 ks22gg2g 2lo将水平力F视为非有势力，它对应于广义坐标 取X =0厂s =0，在这组虚位移下力 qf =f ；取"二0,、：s = 0，在这组虚位移下力QsF =0 ；x和s的广义力计算如下：F所作的虚功为W x = F x，因此力F对应于广义坐标 X的广义力F所作的虚功为ZW、s=O，因此力F对应于广义坐标 S的广义力dLL()- 代入拉格朗日方程 dt :x:x=F，整理可得:(R +P2)x + Bs = Fgd L

26、'L()代入拉格朗日方程 dt ；s:s=0，整理可得:(1)P2x P2s kgs = 0(2)由方程可得:FgP2x 二(R+P2) (P+P2)(3)代入方程(2)得:RP2s+(P +P2)kgs = _F2Fg(4)解微分方程(4)得:P2FP2Fscospt -k(Pi P2)k(R F2)，其中:ii求导得:(R +P2)kgP1P215PtFgs cosP代入方程(3)可得:平台的加速度：aiFP P2g(1 %sPPt)方向水平向右。#物体M的加速度:a? =x sg(1 -cospt)方向水平向右。P P2，5-27质量为mi的滑块M 1可沿光滑水平面滑动，质量为

27、m2的小球M2用长为|的杆AB与滑块连接，杆可绕轴 A 转动，如图所示。若忽略杆的重量，试求系统的首次积分。解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块的水平坐标X，以及杆AB与铅垂方向的夹角：为广义坐标。系统的动能为：T = _mivA22m2VB#11m|X2m2(xI cos )2 ( l sin )22 211(m1 m2)x2 m2l cos xm2l2 222设，=0时势能为零，系统的势能为：V =m2gl(1 -cos®)拉格朗日函数：1 , 1 L =T -V 血 m2)x2 m21cos xm2l2 2 _m2gl(1 _cos )2 2拉格朗日函数中不显含

28、广义坐标 x和时间t，存在循环积分和广义能量积分，即：=(m m2)x m2l cos 二常数.x:x1 1 T V(m m2)x2 m2l cos xm2l2 >2 m2gl(1 _ cos )=常数5-28图示质量为m2的滑块B沿与水平成倾角的光滑斜面下滑，质量为 m1的均质细杆 OD借助铰链O和螺旋 弹簧与滑块B相连，杆长为I，弹簧的刚度系数为 k。试求系统的首次积分。解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块B沿斜面的坐标S，以及杆0D与铅垂方向的夹角 为广义坐标。杆0D作平面运动,有：Vc = Vb Vcb则系统的动能为:1 2 11 2 2 1 2TmiVc( mJ

29、 )m2vB2 2 12 21 I1mJ ssin($'雳)2 scosQ ：)2m*2 '22 2241 2 1 . 1 2 g m2)smJ scos(；亠:;)m1l2 2 6设s = 0,=900时势能为零，系统的势能为:I1V = m.|g cos :-(叶 m2)gssink :拉格朗日函数L =T -V中不显含时间t,存在广义能量积分，即:1d11T V(g m2)s2mJ scos( 卜篇)mJ2 '2egcos - (mi m2)gssi"常数2 2 617#2m r22和moR。试求系统的首次积分。亠为广义坐标。5-29半径为r、质量为m的

30、圆柱，沿半径为 R、质量为m0的空心圆柱内表面滚动而不滑动，如图所示。空心圆柱可绕自身的水平轴 O转动。圆柱对各自轴线的转动惯量为 解：以圆柱和圆筒构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取 系统的动能为：T =m0R2寸21mvO1- (mr2) 22 2 2 2其中：V01 =(R"圆柱相对于圆筒作纯滚动，由圆柱轴心°以及圆柱上与圆筒相接触的点的速度关系，可得:1(R -r)-宀 r代入动能有：12 232 21 T(2m0 m)R2Jm(Rr)22 m(R r)R"442设 =°为零势位，系统的势能为：V = mg(R - r)(1 -cos )

31、,拉格朗日函数：131L =T -V(2m0 m)R2 m(R -r)22 - m(R -r)R+ - mg(R -r)(1 - cos)442拉格朗日函数中不显含广义坐标和时间t，存在循环积分和广义能量积分，即：:L；:T2 1''m0R一 mR( R - r) ' - Rr二 p02T V = lm0R211m(R-r)-卍2 m(R-r)2 2 mg(R - r)(1 - cos :)二 E042思考题与习题(拉格朗日方程)11-1.试用拉格朗日方程导出刚体的定轴转动微分方程和刚体的平面运动动力学方 程。11-2.在拉格朗日函数中可以不显含时间，也可以不显含某些广义坐标(循环坐标)，但它会不显含某些广义速度吗？为什么？11-3.从拉格朗日方程，我们可以很容易地看出