计算方法实验

1、计算方法实验指导姓名学号院系 专业哈尔滨工业大学计算方法实验指导根据实际问题建立的数学模型，一般不能求出所谓的解析解，必须针对数学模型的特 点确定适当的计算方法，编制出计算机能够执行的计算程序，输入计算机，进行调试，完 成运算，如果计算结果存在问题或不知是否正确，还需要重新确定新的计算方法，再编制 出计算程序，输入计算机，重新调试，完成运算，直至获得正确的计算结果，这就是数值 计算的全部过程。学生在学习“计算方法”和“高级语言”等课程时普遍存在的问题是：只会套用教科 书中的标准程序进行数值计算， 很少有人能够独立地将学过的数值算法编制成计算机程序， 至于灵活应用已经掌握的算法求解综合性较大的课

2、题，则更是困难的事情。编写计算方法实验指导的目的是：突出数值计算程序结构化的思想。提高学生的 编程能力，加深对“计算方法”课程内容的理解和掌握，为”计算方法“课程的教学服务， 进一步奠定从事数值计算工作的基础。具体地1. 根据“计算方法”课程内容的特点，给出五个典型算法的分析流程，学生可以利用 所掌握的“高级语言”顺利地编制出计算机程序，上机实习，完成实验环节的教学要求。2. 所有的计算实习题目都经过任课教师逐一检验，准确无误。3. 充分利用循环的思想、迭代的思想，给出算法结构描述和程序语言的对应关系，有 利于学生编制相应的程序。4. 结合实习题目，提出实验要求，要求学生按规范格式写出相应的实

3、验报告，实验报 告成绩记入期末总成绩。需要提醒学生：不能简单地套用现成的标准程序完成实验题目， 应当把重点放在对算法的理解、程序的优化设计、上机调试和计算结果分析上，否则就失 去实验课的目的啦。5. 五个具体的实验题目是：实验题目 1 拉格朗日 (Lagrange) 插值实验题目2龙贝格(Romberg)积分法实验题目 3 四阶龙格库塔 (RungeKutta) 方法实验题目 4 牛顿 (Newton) 迭代法实验题目5高斯(Gauss)列主元消去法要求必须完成其中三个(如果全部完成更好) 。实验题目 1 拉格朗日 (Lagrange) 插值方法概要：j ;则满足条件a,b时，有误差给定平面上

4、n 1个不同的数据点(xk,f(xk) , k 0,1,L ,n ,人Xj , iPn(Xk)f (Xk) , k 0,1 丄,n的n次拉格朗日插值多项式是存在唯一的。若xk a, b, k 0,1,L , n，且函数f (x)充分光滑，则当x估计式f(n 1()f (x) Fn(x)(x xo)(x xJL (x Xn)，a,b(n 1)!拉格朗日插值算法实验实验目的：利用拉格朗日插值多项式Fn(x)求f (x)的近似值输 入：n 1个数据点(x-f&k)， k 0,1,L , n ;插值点x输 出：f (x)在插值点x的近似值巳(x)程序流程：1 置 y 0.0 ； k 02 当

5、k n 时，做 2.1 2.42.1 置 I 1.0 ；2.2 对 j 0,1,L ,k 1,k 1,L ,n，置 l l(x 百)/仪 Xj)2.3 置 y y l f (xj2.4 置 k k 13输出x, y4停机问题1拉格朗日插值多项式的次数n越大越好吗？考虑下面两个拉格朗日插值问题：1(1) 设f(x) 二，x 5,5，考虑等距节点的拉格朗日插值多项式巳(x),即将区1 x间5,5进行n等分，记h 100， Xk5.0 k h， k 0,1,L , n，构造Pn(x)，利用拉格朗n日插值多项式Pn(x)作为f (x)的近似值。分别取n 5，n 10，n 20，同时计算Pn(x)在x

6、0.75，x 1.75，x 2.75，x 3.75，x 4.75处的函数值。(2) 设f (x) ex，x 1,1，考虑等距节点的拉格朗日插值多项式Pn(x)，即将区间2 01,1进行n等分，记h 一，Xk1.0 k h， k 0,1,L ,n，构造Pn(x)，利用拉格朗日插n值多项式Pn(x)作为f(x)的近似值。分别取 n 5, n 10，n 20 ,同时计算Pn(x)在x 0.95，x 0.05，x 0.05，x 0.95处的函数值。问题2插值区间越小越好吗？考虑下面两个拉格朗日插值问题：1(1)设f (x) r，x 1,1，考虑等距节点的拉格朗日插值多项式R(x)，即将区1 x2 0间

7、1,1进行n等分，记h 2，Xk1.0 k h，k 0,1丄，n,构造Pn(x)，利用拉格朗日n插值多项式Pn(x)作为f (x)的近似值。分别取n 5, n 10，n 20 ,同时计算Pn(x)在0.95处的函数值。x 0.95, x 0.05, x 0.05, x(2)设f(x) ex, x 5,5，考虑等距节点的拉格朗日插值多项式Pn(x)，即将区间一 2 05,5进行n等分，记h ，Xk1.0 k h，k 0,1,L ,n，构造Pn(x)，利用拉格朗日n插值多项式Pn(x)作为f (x)的近似值。分别取n 5，n 10，n 20，同时计算Pn(x)在x 4.75，x 0.25，x 0.

8、25，x 4.75处的函数值。问题3在区间1,1考虑拉格朗日插值问题，为了使得插值误差较小，应如何选取插值节点？考虑下面两个拉格朗日插值问题：(1)设f (x)，x 1,1，考虑非等距节点的拉格朗日插值多项式Pn(x)，记1 xXk cos(2k 1)，k 0,1,L ,n，构造R(x)，利用拉格朗日插值多项式 R(x)作为f(x)的近2(n 1)似值。分别取 n 5 ,n 10, n 20，同时计算 Pn(x)在 x0.95 ,x 0.05 ,x 0.05 ,x 0.95处的函数值。(2)设f(x) ex , x 1,1，考虑非等距节点的拉格朗日插值多项式R(x)，记Xk cos(2k 1)

9、 , k 0,1,L ,n，构造R(x)，利用拉格朗日插值多项式 巳(x)作为f(x)的近 2(n 1)似值。分别取 n 5 ,n 10, n 20，同时计算 Pn(x)在 x0.95 ,x 0.05 ,x 0.05 ,x 0.95处的函数值。问题4考虑拉格朗日插值问题，内插比外推更可靠吗?考虑下面两个拉格朗日插值问题：(1)设f(x)J，关于以X。1 ,治4 , X2 9为节点的拉格朗日插值多项式P2(x),利用拉格朗日插值多项式P2(x)作为f(x)的近似值。同时计算F2(X)在x 5 , x 50 ,x 115， x 185处的函数值。(2) 设f(x)浪，关于以X。36，人49，X2

10、64为节点的拉格朗日插值多项式 F2(x)，利用拉格朗日插值多项式P2(x)作为f (x)的近似值。同时计算P2(x)在x 5，x 50， x 115， x 185处的函数值。(3) 设f(x)上，关于以xo 100，为121，X2 144为节点的拉格朗日插值多项式 F2(x)，利用拉格朗日插值多项式P2(x)作为f (x)的近似值。同时计算P2(x)在x 5，x 50， x 115， x 185处的函数值。(4) 设f(x) ,x，关于以xo 169，捲196，X2 225为节点的拉格朗日插值多项 式P2(x)，利用拉格朗日插值多项式 P2(x)作为f(x)的近似值。同时计算 P2(x)在x

11、 5， x 50， x 115， x 185处的函数值。思考题：1. 对实验1存在的问题，应如何解决？2. 对实验2存在的问题的回答，试加以说明3. 对实验3存在的问题的回答，试加以说明4. 如何理解插值问题中的内插和外推？写出实验报告实验题目2龙贝格(Romberg)积分法方法概要：利用复化梯形求积公式、复化辛普生求积公式、复化柯特斯求积公式的误差估计式计算积分f(x)dx。记h -_-， xk a k h， k 0,1,L ,n，其计算公式：an一般地，利用龙贝格算法计算积分，要输出所谓的T数表龙贝格(Romberg)积分法实验b实验目的：利用龙贝格(Romberg)积分法计算积分f(x)

12、dxa输入：a,b, N,输出：龙贝格T数表程序流程：1 置 h 口，m 1n2输出Ti3对i2,3丄,N，做 3.1 3,53.1置ii21 1置t211 "T1h f (a (k22 k 12)h)输出T23.2置S21-(4T2 T1)3输出S23.3对m1,置 C216S2S)输出C2，转 3.63.4对m2，置 R2163(64C2G)输出R2，转 3.63.5对m3，置 tolR2R如果tol ，则停机，否则转3.6h3.6RiR2,CiC2 , SS2,TiT2, h , m24停机问题1:利用龙贝格(Romberg)积分法计算积分1 oX2exdx ,103(2)1

13、ex sin xdx ,10(3)011十，101 1(4)0dx，1010问题2：被积函数无界，如何处理?提示：f(0) limsinx 1x 0 X10 6提示：引进变换t/1 X(3)1 COSX ,0.XdX，106提示:利用等式?0SXXdX1 1 dx0-.x1 COSX 10dX，第一个积分值等于2,第二个积分,X利用f(0)lim COS10 ；X 0.X也可以考虑利用分部积分1 COSXcosxdC- x)X，1(4)110 6提示：利用第一类 Gauss-Chebyshev求积公式问题3：积分区间无限，如何处理?2(1) e x dx,，10 610 2提示：利用weXdx

14、作近似1冷X，106提示：利用变换t .T（3）x236e cos xdx ，10提示：Gauss-Hermite 求积公式（4）e xsin2 xdx，10 60 7提示：Gauss-Lagurre 求积公式思考题:1. 输入的参数N有什么意义？2. 在实验1中二分次数和精度的关系如何？3. 在实验2中给出的提示具有普遍性吗？存在其它的方法吗？试加以说明4. 在实验3中给出的提示具有普遍性吗？存在其它的方法吗？试加以说明写出实验报告实验题目3四阶龙格一库塔（Runge Kutta）方法方法概要：给定常微分方程初值问题记Xn a n h， n 0,1 L ,N，利用四阶龙格一库塔方法可逐次求出

15、微分方程初值问题的数值解yn，n 1,2,L ,N四阶龙格一库塔(Runge Kutta)方法实验实验目的：利用四阶龙格一库塔(Runge Kutta)方法求解微分方程初值问题输 入：a,b, ,N输出：初值问题的数值解xn，yn，n 0,1,2,L ,N程序流程:1 置 xo a,yo,h2 对n 1,2,L ,N，做 2.1 2.42.1 置2.2 置x1x0 h2.3 输出 x1, y12.4 置 x°X1,y°y13停机问题1(1)准确解准确解问题 2（1）准确解（2）准确解问题 3（1）准确解（2）准确解（3）准确解思考题：1. 对实验 1，数值解和解析解相同吗？

16、为什么？试加以说明2. 对实验 2， N 越大越精确吗？试加以说明。3. 对实验 3，N 较小会出现什么现象？试加以说明 写出实验报告实验题目 4 牛顿 (Newton) 迭代法方法概要：求非线性方程 f(x) 0的根 x * ，牛顿迭代法计算公式一般地，牛顿迭代法具有局部收敛性，为保证迭代收敛，要求，对充分小的 0 ，* 2 * *O(x*, )。如果 f(x) C2a,b， f (x*) 0， f (x*) 0 ，那么，对充分小的 0，当O(x*, )时，由牛顿迭代法计算出的xn 收敛于 x* ，且收敛速度是2 阶的；如果f(x) Cma,b，f(x*) f (x*) Lf(m1)(x*)

17、 0， f(m)(x*) 0(m 1)，那么，对充分小的0，当O(X*,)时，由牛顿迭代法计算出的冷收敛于X*，且收敛速度是1阶的；牛顿(Newton)迭代法实验实验目的：利用牛顿迭代法求 f (X) 0的根输 入：初值 ，精度 1, 2 ，最大迭代次数 N输 出：方程f (x) 0根x*的近似值或计算失败标志程序流程：1 置 n 12 当 n N 时，做 2.1 2.4如果|F|!，输出Xo ；停机如果DF2，输出失败标志；停机2.2 置 x, x0 F /DF2.3 置 Tolx, x0如果Tol ,，输出x,；停机2.4 置 n n 1 , x x,3输出失败标志4停机问题 1: (1)

18、 cosx x 0, i 10 6, 2 10 4 , N 10, x0.7853981634(2) e x sinx 0 ,1 10 6,2 10 4 , N 10, x0 0.6问题 2: (1) x e x 0, 1 10 6 , 2 10 4 , N 10 , x 0.5(2) x2 2xe x e 2x 0 ,110 6 ,210 4 , N 20 , x 0.5问题3: (1)由下面的递推公式可以生成勒让德(Legendre)多项式 试确定 P2(x), F3(x), P4(x)和 F5(x) 确定F6(x),求P6(x)得所有零点，精度 10 60.9324695142,0.66

19、12093865,0.2386191861(2)由下面的递推公式可以生成切比雪夫勒让德(Chebyshev)多项式 试确定 T2(x),T3(x),T4(x)和 T5(x) 确定T6(x)，求T6(x )得所有零点，精度1062 j 1Xj cos()， j 0,1,L ,nJ 2(n 1)(3) 由下面的递推公式可以生成拉盖尔(Laguerre )多项式 试确定 L2(x), L3(x), L4 (x)和 L5(x) 求L5(x)得所有零点，精度 10 60.2635603197，1.4134030591，3.5964257710，7.0858100059，12.6408008443(4)

20、由下面的递推公式可以生成埃尔米特(Hermite )多项式 试确定 H2(x), H3(x), H4(x)和 H5(x) 确定H6(x)，求H6(x)得所有零点，精度10 62.3506049737，1.3358490740，0.4360774119思考题：1. 对实验1确定初值的原则是什么？实际计算中应如何解决?2. 对实验 2 如何解释在计算中出现的现象？试加以说明3. 对实验 3 存在的问题的回答，试加以说明写出实验报告实验题目 5 相对高斯 (Gauss) 列主元消去法方法概要：高斯(Gauss)列主元消去法：对给定的n阶线性方程组Ax b，首先进行列主元消元过程，然后进行回代过程，最

21、后得到解或确定该线性方程组是奇异的。如果系数矩阵的元素按绝对值在数量级方面相差很大，那么，在进行列主元消元过程前，先把系数矩阵的元素进行行平衡：系数矩阵的每行元素和相应的右端向量元素同除以 该行元素绝对值最大的元素。这就是所谓的平衡技术。然后再进行列主元消元过程。如果真正进行运算去确定相对主元，则称为显式相对Gauss列主元消去法；如果不进行运算，也能确定相对主元，贝U称为隐式相对Gauss列主元消去法。显式相对Gauss列主元消去法：对给定的n阶线性方程组Ax b，首先进行列主元消元过程，在消元过程中利用显式平衡技术，然后进行回代过程，最后得到解或确定该线性 方程组是奇异的。隐式相对Gaus

22、s列主元消去法：对给定的n阶线性方程组Ax b，首先进行列主元消元过程，在消元过程中利用隐式平衡技术，然后进行回代过程，最后得到解或确定该线性 方程组是奇异的实验目的：利用Gauss列主元消去法、显式相对 Gauss列主元消去法、隐式相对 Gauss列主元消去法求解线性方程组Ax b。输 入：n ； aij，bi，i, j 1,2,L ,n输 出：线性方程组Ax b的近似解x，i 1,2丄，n程序流程：一、Gauss列主元消去法1 对k 1,2,L ,n 1，做 1.1 1.3，消元过程1.1寻找最小的正整数p，k p n和apk max ajk。如果apk 0，输出奇异标 k j n志，停机

23、；1.2如果p k，那么交换p,k两行；1.3 对 i k 1丄，n，记 mik ai/akk，计算2. 如果ann 0输出奇异标志，停机；3. 置Xnbn / ann，回代过程n4对k n 1, ,2,1，置 Xk(bkj k 1akjXj)/akk二、显式相对Gauss列主元消去法1. 对k 1,2丄,n 1，做1.1 1.4，消元过程1.1对i k, k 1丄,n，计算q max%，如果s 0 ,输出奇异标志，停机；计 k j n J算aij aj /s , j k,k 1,L , n ；1.2寻找最小的正整数p , k p n和apk max ajk ,如果apk 0 ,输出奇异标 p

24、 k j n 志，停机；1.3如果p k，那么交换p,k两行；1.4 对 i k 1丄，n，记 mik aik / akk，计算2. 如果ann0输出奇异标志，停机；3. 置Xn bn / ann，回代过程n4. 对k n 1, ,2,1，置 Xk(bkj k 1akjXj)/akk隐式相对Gauss列主元消去法1. 对k 1,2丄,n 1，做1.1 1.3消元过程1.1对i k,k 1L ,n，计算smax ajk ,如果s 0 ,输出奇异标志，停机；寻k j n J找最小的正整数p , k p n和apk/sp maxaik/s ；kin1.2如果p k，那么交换p,k两行；1.3 对 i

25、 k 1,L ,n，记 mik aik/akk，计算2. 如果ann 0输出奇异标志，停机;nj k 1akjxj)/ akk3. 置 xn bn /ann ，回代过程4. 对 k n 1, ,2,1 ，置 xk (bk问题 1 实验题目：0.40960.12340.36780.2943x11.29510.22460.38720.40150.1129x21.12620.36450.19200.37810.0643x30.99890.17840.40020.27860.3927x41.24991)136.0190.86000x1226.8790.8602)98.81067.5900x2122.0

26、82)067.590132.0146.260x3110.680046.260177.17x4223.4311/21/31/4x125/121/23)1/31/31/41/5x277/601/41/51/6x357/601/41/51/61/7x4319 / 42010787x1327565x2234)86109x33375910x431实验题目的准确结果：1) x (x1,x2,x3,x4)T (1,1,1,1)T ；2) x (x1,x2,x3,x4)T (1,1,1,1)T ；3) x (x1,x2,x3,x4)T (1,1,1,1)T ；(4) x (x1,x2,x3,x4)T (1,1

27、,1,1)T 。问题 2197305206804x11361) 46.871.347.452.0x211.71)88.676.410.8802x325.11.455.906.1336.5x46.600.53980.71610.55540.2982x10.20582)0.52570.69240.35650.6255x20.05030.64650.81870.18720.1291x30.10700.58140.94000.77790.4042x40.18591012 x1133)1102 x213115 x37424 x124)21710 x2254109 x315思考题：1. 计算实验 1、实验

28、 2 的各个题目说明：对什么类型的线性方程组三种方法是一致的？2. 用三种方法计算实验 1、实验 2 的各个题目，哪种方法最好？试加以说明。3. 综合上述两种结论，总结三种方法的关系，试加以说明。写出实验报告1 本课程给出五类实验题目，供学生选用，要求必须完成其中三个实验2 实验课的目的是为了让学生深入理解和掌握“计算方法”课程的基本内容，同时有助 于培养学生的上机调试程序进行数值计算的动手能力，进一步提高利用数值方法求解数学 问题、分析计算结果、选择算法的综合能力。3 为了顺利完成实验教学的规定内容，建议学生按下面方法准备实验、进行实验、写出 实验报告：（1）应明确实验的目的，清楚实验的内容

29、，包括算法和误差分析；（2）写出内容摘要，包括算法的理论基础和对算法的初步认识；（3）上机前，编写好计算程序；（4）上机调试程序要做到快速、准确；（5）记录计算结果要做到真实、准确；（6）课后，认真写好实验报告，包括对算法的新认识和体会，要特别注意对计算结果 的分析和讨论，当然包括对计算结果的误差分析。实验报告一题目（摘要）Lagrange插值给定平面上n 1个不同的数据点（xk,f（xk） ,k 0,1,L , n , Xi Xj , i j ；则满足条件Fn(xQf(xQ , k 0,1丄，n的n次拉格朗日插值多项式是存在唯一的。若 Xk a,b,k 0,1,L ,n，且函数f(x)充分光滑，则当x a,b时，有误差估计式f(n 1)()f (x) Pn(x)(x xo)(x XjL(X Xn)，a,b(n 1)!前言：(目的和意义)目的：利用拉格朗日插值多项式 Pn(x)求f (x)的近似值意义：数学原理程序设计流程本实验采用CodeBlocks的C文件编写。Lagrange插值源程序：#i nclude?<stdio.h>?#i nclude?<co nio.h>?#in clude?<alloc.h>?float?lagra nge(float?*x,float?*y