将军饮马问题

1、第一讲将军饮马问题m 学习要点与方法点拨一、主要内容 (1)将军饮马问题的概念。(2)将军饮马问题在坐标系、一次函数、三角形、正方形中的应用。(3)将军饮马问题与勾股定理。二、本章重点掌握将军饮马问题的概念和解题思路，能解决将军饮马问题和一次函数、坐标系、几何图形和勾股定理等的综合习题。课前预习轴对称的性质与作法；一次函数的性质；勾股定理的性质；三角形、矩形、正方形的性质；三角形的三边关系、平移的性质。模块精讲、将军饮马问题的概念和基本思路起源：古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，有一位将军从位于 A点的军

2、营，返回位于 B点的家中，途中需要到达一条小河MN力,让马去河里喝水。那么，该如何选择路径，才能使将军回家的过程中，走过的路程最短？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。A点和B初一看，这个问题好像没有什么思路，那我们先把问题的概念转换一下。这个问题中 点在河MN的同一侧，那么，如果 A点和B点在河MN的不同侧呢？两点之间直线最短，先找线路再找点。区时我们好像有一点眉目了，我们要利用的定理就是: 邨我们再回到最开始时的问题，是不是有了启发呢？ 思路：为了找线路，可以利用轴对称的原理，先做对称，再转化成三角形的三边关系。例1,如图，一匹马从 S点出发，

3、先去河 OP边喝水，再去草地 OQ乞草，然后再回到 S点。该二、将军饮马与坐标系例2,已知A(2,3)、B(3,2) , M是x轴上的一个动点，N是y轴上的一个动点，求 AN+NM+BtW最小值，并求出此时 M N的坐标。思路：作对称两段折线一作一次对称一转化折线三段折线一作两次对称一转化折线连线段一最小值例 3,已知 A(-3,4)、B(-2,-5) 、M(0,m)、N(0,m+1),求 BM+MN+AN最小值，并求此时对应的 m的值。运用平移的性质例4,已知A(4,1)、B(-3,-2)，试在x轴上找一点 C,是|AC-BC|最大，求出点 C的坐标和这个 最大值。构造三角形，运用三角形的边

4、长关系三、将军饮马问题解题思路的归纳学习了几个常见的例子，我们再来整理一下思路。首先明白几个概念， 动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定 点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。1 .怎么对称，作谁的对称？简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的 。(不确定的点作对称式没有意义的)那么作谁的对称点?首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线? 一般而言都是动点所在直线。2 .对称完以后和谁连接？一句话：和另外一个顶点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。

5、3 .所求点怎么确定？首先一定要明白， 所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们 所画直线和已知直线的交4 .将军饮马一定是求最短距离吗？肯定不是。或者说求最短距离是将军饮马中的最简单一类题目。根据将军饮马的基本模型可以拓展出很多题型。根本原因是因为在作轴对称过程中不但是作了点的对称，还作了边长和角度的对称! 或者说边长和角度的对称才是最关键 。四、将军饮马与勾股定理例5,如图，将军的军营在 A处，与河岸的距离 OA=4km将军的家在 B处。且QA=7km QB=8km他下班回家的路上先把马牵到小河边去饮水，然后再回到家中，求他下班回家要走的最短路程。B小河例6,如图，/ POQ= 20

6、° , A为OQ上的点,在OQ±取点 A2 ,求AA + AiA> + A2B的最小值。例7, / AOB = 45° , P是/AOB内一点，PO = 10, Q R分别是 OA OB上的动点，求 PQRW长的最小值。五、三角形、正方形中的将军饮马例8,如图，在等边 ABC中，AB=6, AD)± BC, E是AC上的一点，M是AD上的一点，且 AE=2(求EM+EC勺最小值。例8图例9图例9,如图，在锐角 ABC中，AB=42, / BAC= 45° , / BAC的平分线交 BC于点D, M N分别 是AD和AB上的动点，则 BM+

7、MNJ最小值是 。例10,如图，正方形 ABCM边长为8, M在DC上,且DM= 2, N是AC上的一动点， DW MN41 最小值为。例10图例11图例11,在边长为2 cm的正方形ABCM,点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连 接PB PQ则 PBQ周长的最小值为 cm例12,一次函数y = kx + b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0) , B(0,4).(1)求该函数的解析式；【(2) O为坐标原点，设 OA AB的中点分别为 C D, P为OB上一动点，求PC+ PD的最小值, 并求取得最小值时 P点坐标.例13,如图，在坐标系 xOy中，有一条河,河岸分别为x轴和直

8、线MN直线MN< y轴的交点为A(0,2) , P、Q两地位于河的两岸，且P(0,5)、Q(5,-1)。现在需要在河上架一座桥，桥的端点 B C的坐标，使得从 P地到Q地的(桥必须垂直于河岸)，来沟通P、Q两地，求 M A B路程最短。总结：将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题(轴对称是工具，最短距离是题眼)。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现“线段 a+b的最小值”这样的条件或者问题。一旦出 现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。A -人学习效果能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽

9、象为数学中的“点”、“线”，把最短路径 问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的 异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想.课后巩固习题1,已知A(-1,4) , B(1,1),在x轴上找一点 C,使AC+BCt小。则 C点的坐标是 , AC+BCW 最小值是。2,已知A(-1,3) , B(-3,1) , M> x轴上一动点，N是y轴上一动点，则当 AN+NM+MB小时，M的坐标 是, N的坐标是 o3,已知

10、 A(-4,4) , B(-1,-3) , M(0,m), N(0,m+1),当 BM+MN+AN小时，点 M的坐标是 ,最 小值是。4,已知A(-4,5) , B(2,-2),在x轴上找一点 C,则当|AC-BC|最大时，点C的坐标是,最大 值是。5,如图，点A,B位于直线l的同侧，到直线l的距离AC = 10, BD = 30,且CD = 30,在直线l上找到一点 M 是AM+BM1短，则最短距离是 MP直线lO N题5图题6图6,如图，/ AOB= 45° ,点P在/ AO郎，且OP= 3,点M,N分别为射线 OA OB上的动点，则4 PMN 的周长的最小值为。7,如图，/ A

11、OB = 40°，点 P, Q都在/AOB内，/ AOP = / BOQ = 10° ,且 OP = OQ = 6 ,作点 P关于OA的对称点Pi ,作点Q关于OB的对称点Q ,则P1Q =O题7图题8图8,如图，/ AOB = 60°，点 P, Q都在/ AOB内，/ AOP = / BOQ = 15° ,且 OP = 8, OQ = 6。在射 线OA OB上分别存在点 M, N,是PM+MN+NIQ值最小，则最小值是 。9,如图， ABC中，AB=2, / BAC=30 ,若在 AC AB上各取一点 M N,使BM+MN勺值最小，则这个 最小值是多少？例10图10,如图所示，正方形 ABC曲面积为12, ABE是等边三角形，点 E在正方形ABCDJ,在又线 AC 上有一点 巳 使PA PE的和最小，则这个最小值为 。11,如图，若四边形 ABCD是菱形，AB=10cm, / ABC=45 , E为边BC上的一个动点，P为BD上 的一个动点，求PC+PE的最小值.12,如图，在锐角 ABC中，AB = 4 , / BAC = 45 &