高中文科数学导数练习题

1、专题8:导数(文)经典例题剖析考点一：求导公式。13_，.一 . 一例1. f (x)是f(x) -x3 2x 1的导函数，则f( 1)的值是。3解析：f x x2 2,所以 f 11 2 3答案：3考点二：导数的几何意义。1例2.已知函数y f (x)的图象在点M(1, f(1)处的切线万程是y -x 2,则 2f(1) f (1) 。11 5解析：因为k ,所以f 1-,由切线过点M (1, f(1),可得点M的纵坐标为一，222一5所以f 1,所以f 1 f 132答案：3例3.曲线y x3 2x2 4x 2在点(1, 3)处的切线方程是 。2解析：y 3x 4x 4, 点(1, 3)处

2、切线的斜率为k 3 4 45,所以设切线方程为y 5x b,将点(1, 3)带入切线方程可得 b 2,所以，过曲线上点(1, 3)处的切线方程为：5x y 2 0答案：5x y 2 0点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线 C： y x3 3x2 2x ,直线l ： y kx ,且直线l与曲线 C相切于点xo, yo xo 0 ,求直线l的方程及切点坐标。解析： 直线过原点，则kx0 0。由点x0,y0在曲线C上，则xoV。 %3 3x02 2x,比 x2 3x0 2。又 y 3x2 6x 2, 在xo, yo处曲线 C的切线斜率为k2f x0

3、 3x06x0 2223 ,、x0 3x0 2 3x06x0 2,整理得：2x0 3x0 0,解得：x0 一或 x0 02311（舍），此时，y0k- o所以，直线l的方程为y -x,切点坐标是8443 3 - O2, 8答案：直线l的方程为y1 33x ,切点坐标是 一,一428点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意 “切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例 5.已知 f x ax3 3x2 x1在R上是减函数，求 a的取值范围。解析：函数f x的导数为f x 3ax2 6x 1

4、。对于x R都有f x 0时，f x为减函数。由3ax2 6x 1 0x R可得a 0，解得a 3。所以，36 12a 0当a 3时，函数f x对x R为减函数。3.918(1)当 a 3时，f x 3x 3x x 13 x -。39由函数y x3在R上的单调性，可知当 a 3是，函数f x对x R为减函数。(2) 当a 3时，函数f x在R上存在增区间。所以，当a 3时，函数f x在R上不是单调递减函数。综合(1) (2) (3)可知a 3。答案：a 3点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题， 要有求导意识。考点五：函数的极值。例6.设函数f(x) 2x3 3ax2

5、3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。(1)求a、b的值；2(2)右对于任思的x 0,3,都有f(x) c成立，求c的取值范围。解析：(1) f (x) 6x2 6ax 3b ,因为函数f (x)在 x1及x 2取得极值，则有6 6a 3b 0, f 0 f 0 .即 24 12a 3b0.解得a 3(2)由(I)可知，f(x) 2x3 9x2 12x8cf (x) 6x218x 12 6(x 1)(x 2)。时,所以(01)时,f (x) 0;当 x (1,2)时,f (x) 0;当 x(2,3)时,f (x) 0。所以,1 时，f(x)取得极大值 f(1) 5 8c,又 f(0) 8c,

6、 f (3) 9 8c。则当 x 0,3f(x)的最大值为f(3) 9 8c。因为对于任意的 x0,3 ,有f(x) c2恒成立,29 8c c ,解得 c 1或c 9 ,因此c的取值范围为(，1)U(9,答案：(1) a 3, b 4； (2) (, 1)U(9,点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数fx的极值步骤:求导数求f x 0的根；将f x0的根在数轴上标出,得出单调区间,在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值。考点六：函数的最值。例7.已知a为实数，f x x2；(2)若 f0,求在区间2,2上的最大值和最小值。解析：(1) f x x3ax24x4a ，3x22ax

7、4 。f13 2a3x2x 4 3x0,即 3x 4则f x和fx在区间2,2上随x的变化情况如下表:x22, 1111343522f x十0一0十f x0增函数极大值减函数极小值增函数050-，、一 450 -。所以，f x在区间 2,2上的最大值为 f ，最27327-9小值为f 1 一。 22_4509答案：(1)f x3x2ax4；(2)最大彳I为f一一，最小彳1为f 1一。3272点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数f x在区间a,b上的最值，要先求出函数f x在区间a,b上的极值，然后与f a和f b进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例8.设函数

8、f(x) ax3 bx c (a 0)为奇函数，其图象在点 (1,f (1)处的切线与直线 x 6y 7 0垂直，导函数f(x)的最小值为 12。(1)求a, b, c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值。解析：(1) ; f(x)为奇函数，.二 f ( x)f (x),即 ax3 bx c ax3 bx c2c 0, f(x) 3ax b 的最小值为12, b12,又直线 x 6y 7 01的斜率为,因此，f(1)3ab 6,. a 2, b 12, c 0.6 f(x)2x312x。f (x)6x212 6(x 72)( x J2),列表如下

9、：x(,两灰(72,72)五近，)f(x)00f(x)增函数极大减函数极小增函数所以函数f(x)的单调增区间是(，业和(戊，)， f( 1) 10 , f(J2)8历,f (3) 18, f(x)在1,3上的最大值是f(3) 18,最小值是f(、.2)8,2。答案：(1)a 2,b 12, c 0； (2)最大值是f (3) 18,最小彳1是f (J2)8匹。点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。导数强化训练（一） 选择题1.已知曲线x21二的一条切线的斜率为1,则切点的横坐标为（A.B. 2C. 3D.2.曲线3x2 1在点（1,

10、1）处的切线方程为3.4.5.6.A.3x4B. y 3x 2 C. y 4x 3D.4x函数A. 1已知函数A.C.函数(xB.1）2（x 1）在x 1处的导数等于2C. 3 D. 4*）在* 1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为f(x)f(x)f(x)(A) 2函数f（x）(A) (2,(A) 函数f(x1)23(x1)(B) f (x) 2(x1)2(x1)22ax3x2(B)(x2 bxD.3xf (x) x9,已知(C) 3f （x）在x3时取得极值，则a= （ D ）(D) 4(E) 51是减函数的区间为（D ）,2) (C) (,0) (D) (0,2)C的图象的顶点在第四象

11、限,则函数f x的图象是（A ）B. 1 C . 2D. 4内是增函数，则 （A ）x10.三次函数f x ax3 x在x11.在函数y x3cc,1A. a 0B. a 0 C . a 1D. a -3 8x的图象上，其切线的倾斜角小于 一的点中，坐标为整数的点的个数4是A. 3B. 2(D )C. 1D. 012.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f (x)在开区间(a, b)内有极小值点( AA. 1个C. 3个B. 2个D. 4个(二)填空题13.曲线yx3在点1,1处的切线与x轴、14 .已知曲线y15 .已知f(n)(x)是

12、对函数17.已知函数f xx3 ax2 bx c,当x1时，取得极大值7;当x 3时，取得极4 ，一“ ， 一 一 ，、一-,则过点P(2,4) “改为在点P(2,4)”的切线方程是 3小值.求这个极小值及 a,b,c的值.18 .已知函数 f (x) x3 3x2 9x a.(1)求f(x)的单调减区间；(2)若f(x)在区间 2, 2.上的最大值为20,求它在该区间上的最小值 .19 .设t 0,点P (t,0)是函数f (x) x3 ax与g(x) bx2 c的图象的一个公共点, 两函数的图象在点 P处有相同的切线。(1)用 t 表示 a,b,c ;(2)若函数y f (x) g(x)在

13、(1, 3)上单调递减，求t的取值范围。20 .设函数 f xx3 bx2 cx(x R),已知 g(x) f (x) f (x)是奇函数。(1)求b、c的值。(2)求g(x)的单调区间与极值。21 .用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2： 1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？1 31222 .已知函数f(x) -x -ax bx在区间1,1), (1,3内各有一个极值点. 32(1)求a2 4b的最大值；(1)当a2 4b 8时，设函数y f(x)在点A(1, f (1)处的切线为l,若l在点A处穿过函数y f (x)的图象

14、(即动点在点 A附近沿曲线y f (x)运动，经过点 A时，从l的一侧进入另一侧)，求函数f(x)的表达式.强化训练答案:(四)填空题813. 一 14. y 4x 40 15. 7 16. 203（五）解答题217.解：f x 3x 2ax b。据题意,1, 3是方程3x22ax b 0的两个根，由韦达定理得2af x x3 3x2 9x c极小值 f 3333 32 9 3 225:极小值为一25, a 3,b9, c 218.解：(1) f (x)3x2 6x9.令 f (x) 0,解得 x1或x 3,所以函数f(x)的单调递减区间为(,1),(3,).当 y (3x t)(x t)0时

15、，函数y f(x) g(x)单调递减.8 12 18 a 22 a,(2)因为 f( 2) 8 12 18 a 2 a, f(2)所以f(2) f ( 2).因为在(一1, 3)上f (x)0 ,所以f (x)在T, 2上单调递增，又由于f (x)在2, 1上单调递减，因此f(2)和f( 1)分别是f(x)在区(02,2上的最大值和最小值.于是有22 a 20,解得a 2. 32故 f(x) x 3x 9x 2.因此 f ( 1) 1 3 9 27,即函数f (x)在区(h2,2上的最小值为7.19.解：(1)因为函数f (x) , g(x)的图象都过点(t, 0),所以f(t) 0,即 t2

16、23_2_2 一(2)yf (x) g(x) xt x txt ,y 3x2tx t (3x t)(xt). at 0.因为 t 0,所以 at2. g(t)0,即bt2 c 0,所以 c ab.又因为f (x) , g(x)在点(t , 0)处有相同的切线，所以 f (t) g (t).而 f (x) 3x2 a,g (x) 2bx,所以3t2 a 2bt.公.23.23将at代入上式得bt.因此cab t .故a t ,b t, c t.由 y 0,若t 0,则-x t；若t 0,则t x -.33由题意，函数y f (x) g (x)在(1, 3)上单调递减，则(1,3)(工用或(1,3

17、)(t,-).所以 t3或 - 3.即t9或t3.333又当 9 t3时，函数y f (x) g(x)在(1, 3)上单调递减.所以t的取值范围为(，93,).20.解：(1) f x x3 bx2 g(x) f (x) f (x) x3 bx2 个奇函数，所以g(0)0得c 0,2cx, f x 3x 2bx cx (3x2 2bx c) = x3由奇函数定义得b 3；c o从而(b 3)x2(c 2b) x c 是一由(I)知g(x) x3 6x,从而g(x) 3x 322.解：1 1)因为函数f(x) x 3f (x) x2 ax b 0在1,1),设两实根为x1,x2 ( x1x2)，

18、则 “ x1 a24b，且0 x2x1 4 .于是0 Va2 4b 4,0a24b016,且当 x11, x23,即 a 2,b 3 时等号成立.故 一一,一一a2 4b的最大值是16.(2)解法一：由f (1) 1 a b知f(x)在点(1, f (1)处的切线l的方程是.r 一，,、21y f(1) f (1)(x 1),即 y (1 a b)x a, 2因为切线l在点A(1, f (x)处空过y f (x)的图象，2 1.所以g(x) f (x) (1 a b)x 一 一a在x 1两边附近的函数值异号，则3 2 6,由此可知，(，衣)和(J2,)是函数g(x)是单调递增区间；(22, J

19、2)是函数g(x)是单调递减区间；g(x)在xJ2时,取得极大值，极大值为4j2,g(x)在x J2时，取得极小值，极小值为 4221.解：设长方体的宽为 x (rn),则长为2x (m),高为18 12x3h 4.5 3x(m)0X x -.42故长方体的体积为._ 2_2_33_3V x2x 4.53x9x6x m0x -2从而 V(x) 18x 18x2(4.5 3x)18x(1 x).令V x 0,解得x 0 (舍去)或x 1 ,因此x 1.3当 0 x 1 时，V x 0;当 1 x 时，V x 0,2故在x 1处V x取得极大值，并且这个极大值就是 V x的最大值。从而最大体积V V x一.2一.339161m,此时长万体的长为2 m,身为m.答：当长方体的长为2m时，宽为1 m高为m时，体积最大，最大体积为3m3122ax bx在区间1,1) , (